孫會(huì)元固體物理基礎(chǔ)第一章14電場(chǎng)中的自由電子課件

第四節(jié)金屬的電導(dǎo)率和熱導(dǎo)率

本節(jié)主要內(nèi)容：三、金屬的熱導(dǎo)率

一、特魯?shù)?洛侖茲近似下金屬的電導(dǎo)率二、索末菲近似下金屬的電導(dǎo)率一、特魯?shù)?洛侖茲近似下金屬的電導(dǎo)率1.電場(chǎng)下經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)方程按照特魯?shù)?洛侖茲模型，電子遵循碰撞近似和弛豫時(shí)間近似。碰后的電子無(wú)規(guī)取向,所以電子對(duì)動(dòng)量的貢獻(xiàn)僅源于沒(méi)有發(fā)生碰撞的那部分電子。無(wú)論是經(jīng)典的特魯?shù)?洛侖茲自由電子論，還是量子的索末菲自由電子論，在解釋金屬的電導(dǎo)和熱導(dǎo)問(wèn)題上都取得了成功,并成功解釋了維德曼—夫蘭茲定律。首先我們看一下特魯?shù)?洛侖茲自由電子論的結(jié)果。定義馳豫時(shí)間，借以概括電子和金屬離子的碰撞特征.馳豫時(shí)間,相當(dāng)于相繼兩次散射間的平均時(shí)間由弛豫時(shí)間τ的定義，dt時(shí)間內(nèi)，電子受到碰撞的幾率為dt/τ，從而電子沒(méi)有受到碰撞的幾率為(1-dt/τ)。假定t時(shí)刻電子的平均動(dòng)量為P(t)，經(jīng)過(guò)dt時(shí)間沒(méi)有受到碰撞的電子對(duì)平均動(dòng)量的貢獻(xiàn)為P(t+dt)。整理得取一級(jí)近似從而有所以，自由電子在外場(chǎng)下的動(dòng)力學(xué)方程為：設(shè)外場(chǎng)作用下電子的漂移速度(driftvelocity)為vd(t),則動(dòng)量從而,自由電子在外場(chǎng)下的動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)樽枘崃υ摲匠逃址Q為漂移速度理論對(duì)于穩(wěn)恒電場(chǎng)下，電子具有恒定的漂移速度所以：把它們代入自由電子在外場(chǎng)下的動(dòng)力學(xué)方程得到：整理后得到電子的漂移速度為相應(yīng)的電流密度又所以,電導(dǎo)率為2.穩(wěn)恒電場(chǎng)情形下金屬的電導(dǎo)率由經(jīng)典的玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)可得電子的平均速率。由此可得到電子的平均自由程：室溫下電子的平均速率大約為107

cm/s。對(duì)于普通的金屬,

的量級(jí)約10-14s,所以l

約1nm所以電子的平均速率：經(jīng)典統(tǒng)計(jì)下電子的動(dòng)能：

由電子的密度我們?nèi)菀椎贸鲭娮拥陌霃絩s的大小約為0.1nm左右，差不多和經(jīng)典下電子的平均自由程在一個(gè)量級(jí)，顯示了經(jīng)典模型的局限性。3.交變電場(chǎng)情形金屬的電導(dǎo)率

假設(shè)此時(shí)代入電子的動(dòng)力學(xué)方程得整理得由得到為直流電導(dǎo)率在恒定的外場(chǎng)作用下，電子受力為-eE由牛頓第二定律

此式說(shuō)明在外電場(chǎng)的作用下，電子動(dòng)量的改變表現(xiàn)為k空間相應(yīng)狀態(tài)點(diǎn)的移動(dòng)，即產(chǎn)生了費(fèi)米球的剛性移動(dòng)。在k空間移動(dòng)的速度為所以電子之間沒(méi)有發(fā)生碰撞時(shí)，對(duì)上式積分得此式表明，在K空間，從0t

時(shí)刻，費(fèi)米球中心移動(dòng)為負(fù)號(hào)表示費(fèi)米球沿與外場(chǎng)相反的方向移動(dòng)那么，在弛豫時(shí)間內(nèi)費(fèi)米球中心在k空間的位移為:費(fèi)米球在外場(chǎng)作用下產(chǎn)生剛性移動(dòng)示意圖從0

時(shí)刻,費(fèi)米球中心逆電場(chǎng)方向移動(dòng)為考慮到動(dòng)量的變化關(guān)系：得電子在穩(wěn)恒電場(chǎng)下逆電場(chǎng)方向的速度增量：如圖所示，在外場(chǎng)作用下，費(fèi)米球從紅色位置向藍(lán)色位置平移。但是，如果我們具體分析在外電場(chǎng)的作用下費(fèi)米球的剛性移動(dòng)過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)只有費(fèi)米面附近的很少一部分電子才對(duì)金屬的電導(dǎo)有貢獻(xiàn).由于費(fèi)米球的半徑為kF,位移為k,電子在球內(nèi)均勻分布所以，藍(lán)色月牙形部分的電子所占的比例約為：由于I區(qū)和II區(qū)均位于原來(lái)的紅色球內(nèi),且關(guān)于ky–kz

面對(duì)稱。所以它們的傳導(dǎo)作用被抵消。只剩下費(fèi)米面附近未被補(bǔ)償?shù)乃{(lán)色月牙形部分的電子才有傳導(dǎo)電流作用。所以參與導(dǎo)電的電子數(shù)目約為由于這些電子以費(fèi)米速度逆電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)，則對(duì)電流的貢獻(xiàn)為電導(dǎo)率和前面得到的電導(dǎo)率形式上一樣，只是用F代替電子所占的比例為：三、金屬的熱導(dǎo)率金屬樣品中存在溫度梯度T時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生熱傳導(dǎo)，熱傳導(dǎo)的強(qiáng)弱用熱流強(qiáng)度JQ

來(lái)描述1.熱傳導(dǎo)

由于溫度不均勻，熱量從溫度高的地方向溫度低的地方轉(zhuǎn)移，這種現(xiàn)象叫熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)的定義告訴我們，產(chǎn)生熱傳導(dǎo)的條件是溫度不均勻。溫度不均勻的數(shù)學(xué)描述就是溫度梯度T高溫低溫2.熱流強(qiáng)度單位時(shí)間里通過(guò)單位橫截面積的熱量，稱為熱流強(qiáng)度當(dāng)溫度梯度T不太大時(shí)，熱流強(qiáng)度JQ與T成正比。即這就是熱傳導(dǎo)定律其中稱為材料的熱導(dǎo)率,負(fù)號(hào)表示熱流方向與溫度梯度方向相反。總是從高溫流向低溫。基于熱量由導(dǎo)電電子傳輸這個(gè)想法，同時(shí)又把自由電子看成是沒(méi)有相互作用的氣體，所以我們直接利用熱學(xué)中氣體分子運(yùn)動(dòng)論的結(jié)果(可參考李椿的熱學(xué)）

人們從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，金屬的熱導(dǎo)率遠(yuǎn)高于絕緣體，由于金屬和絕緣體的主要區(qū)別在于導(dǎo)電電子的有無(wú)，因而，人們斷定金屬中的熱量主要由導(dǎo)電電子傳輸。3.金屬的熱導(dǎo)率所以金屬的熱導(dǎo)率為:電導(dǎo)率：熱導(dǎo)率：則存在如下關(guān)系:可見(jiàn)，經(jīng)典的特魯?shù)?洛侖茲模型和索末菲模型均能解釋維德曼－夫蘭茲定律，但是索末菲的理論結(jié)果和實(shí)驗(yàn)符合的非常好，說(shuō)明索末菲模型在定量上要好于經(jīng)典的特魯?shù)?洛侖茲模型。但是，進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，維德曼－夫蘭茲定律在較低的溫度下不成立，在這一溫區(qū)，洛倫茲常數(shù)依賴于溫度。這主要是由于我們假定了電導(dǎo)過(guò)程和熱導(dǎo)過(guò)程有相同的弛豫時(shí)間，