《彈性力學》試題參考答案與彈性力學復習題

11彈性力學復習資料一、簡答題試寫出彈性力學平面問題的基本方程，它們揭示的是那些物理量之間的相互關系在應用這些方程時，應注意些什么問題答：平面問題中的平衡微分方程：揭示的是應力分量與體力分量間的相互關系。應注意兩個微分方程中包含著三個未知函數(shù)ox、oy、Txy二Tyx，因此，決定應力分量的問題是超靜定的，還必須考慮形變和位移，才能解決問題。平面問題的幾何方程：揭示的是形變分量與位移分量間的相互關系。應注意當物體的位移分量完全確定時，形變量即完全確定。反之，當形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。平面問題中的物理方程：揭示的是形變分量與應力分量間的相互關系。應注意平面應力問題和平面應變問題物理方程的轉換關系。1 1 1U弓，尸耶-存尸V_Q按照邊界條件的不同，彈性力學問題分為那幾類邊界問題試作簡要說明。答：按照邊界條件的不同，彈性力學問題分為位移邊界問題、應力邊界問題和混合邊界問題。位移邊界問題是指物體在全部邊界上的位移分量是已知的，也就是位移的邊界值是邊界上坐標的已知函數(shù)。應力邊界問題中，物體在全部邊界上所受的面力是已知的，即面力分量在邊界上所有各點都是坐標的已知函數(shù)。混合邊界問題中，物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件;另一部分邊界則具有應力邊界條件。彈性體任意一點的應力狀態(tài)由幾個應力分量決定試將它們寫出。如何確定它們的正負號答：彈性體任意一點的應力狀態(tài)由6個應力分量決定，它們是：、 、 、 、 。正面上x y、z xy yz、 zx的應力以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。負面上的應力以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負。在推導彈性力學基本方程時，采用了那些基本假定什么是“理想彈性體”試舉例說明。答：答：在推導彈性力學基本方程時，采用了以下基本假定：假定物體是連續(xù)的。假定物體是完全彈性的。假定物體是均勻的。假定物體是各向同性的。假定位移和變形是微小的。符合(1)~(4)條假定的物體稱為“理想彈性體”。一般混凝土構件、一般土質地基可近似視為“理想彈性體”。什么叫平面應力問題什么叫平面應變問題各舉一個工程中的實例。答：平面應力問題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時體力也平行于板面并且不沿厚度變化。如工程中的深梁以及平板壩的平板支墩就屬于此類。平面應變問題是指很長的柱型體，它的橫截面在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，同時體力也平行于橫截面而且也不沿長度變化，即內在因素和外來作用都不沿長度而變化。在彈性力學里分析問題，要從幾方面考慮各方面反映的是那些變量間的關系答：在彈性力學利分析問題，要從3方面來考慮：靜力學方面、幾何學方面、物理學方面。平面問題的靜力學方面主要考慮的是應力分量和體力分量之間的關系也就是平面問題的平衡微分方程。平面問題的幾何學方面主要考慮的是形變分量與位移分量之間的關系，也就是平面問題中的幾何方程。平面問題的物理學方面主要反映的是形變分量與應力分量之間的關系，也就是平面問題中的物理方程。按照邊界條件的不同，彈性力學平面問題分為那幾類試作簡要說明答：按照邊界條件的不同，彈性力學平面問題可分為兩類：(1)平面應力問題：很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力。這一類問題可以簡化為平面應力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在b、b、€ 三個應力分量。xy y:x（2）平面應變問題：很長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力，而且體力也平行于橫截面且不沿長度變化。這一類問題可以簡化為平面應變問題。例如擋土墻和重力壩的受力分析。該種問題 匚,匚,。具,匚,0而一般€并不等于零。xzzx yzzy z什么是圣維南原理其在彈性力學的問題求解中有什么實際意義圣維南原理可表述為：如果把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那麼近處的應力分布將有顯著的改變，但遠處所受的影響可以不計.彈性力學的問題求解中可利用圣維南原理將面力分布不明確的情況轉化為靜力等效但分布表達明確的情況而將問題解決。還可解決邊界條件不完全滿足的問題的求解。什么是平面應力問題其受力特點如何，試舉例予以說明。答：平面應力問題是指很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，這一類問題可以簡化為平面應力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在€、€、T三個應力分量。xyxyyx什么是“差分法”試寫出基本差分公式。答；所謂差分法，是把基本方程和邊界條件（一般為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來表示,把求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題?；静罘止饺缦?2hh2<f2hf2+f廣2f0h2二、計算題1.已知過P點的應力分量€,15Mpa,€,25Mpa,t,20Mpa。求過P點，x y x^yl,cos3Oo、m,cos60o斜面上的X、Y、€、t。NNNN解：X,l€+mt,cos300x15+cos60。x20,22.99MpaNx xyY,m€+1t,cos600x25+cos30。x20,29.82MpaN yxy

?=12?,m2?,2lmTN x y=cos23Oox15,cos26Oox25,2xcos30。xcos60。x20=34.82Mpat=lm(?一?),(12一m2)rN yx xy=cos3Ooxcos6Oox(25-15),(cos23Oo一cos26Oo)x20=14.33Mpa2.在物體內的任一點取一六面體，x、y、z方向的尺寸分別為dx、dy、dz。試依據(jù)下圖證明:t 3t_y,1+_xy,Y=0cydz dx 。yB證明：SF=0:y(?, dy)xdxxdz一(?)xdxxdzy dy y,(t,(t,zy,(T,xy dz)xdxxdy一(t)xdxxdydz zyCt x-dx)xdyxdz一(t)xdyxdzdx xy,Ydxdydz=0化簡并整理上式，得：d?tCt ,——y, ,Y=0dy dz dx11圖示三角形截面水壩，材料的比重為，承受比重為液體的壓力，已求得應力解為b=ax+bybX=cX+dy-pgy，試寫出直邊及斜邊上的邊界條件。yt=-dx一ayxy解：由邊界條件Il(a)+m(T)=XTOC\o"1-5"\h\z,xs y:xs\m(a)+1(t)=Yys x^s左邊界：l=cosP,m=-sinPcosP(ax+by)-sinP(-dx-ay)=0s s-sinP(cx+dy-pgy)+cosP(-dx-ay) =0s s右邊界：l=-1,m=0-(ax+by)=<gys(dx+ay)=0s4.已知一點處的應力分賣=30Mpa,b=-25Mpa,t=50Mpa，試求主應力b、b以及4.已知一點處的應力分賣y x^y 12 1與X軸的夾角。解:\(30+\(30+25)2+(50)2=59.56Mpa以=tgTlYb-a、, —x y2,T2xy=一55.06Mpa(59.56-(30))=tgt50=30.59。在物體內的任一點取一六面體,_Z，-xz,―以=tgTlYb-a、, —x y2,T2xy=一55.06Mpa(59.56-(30))=tgt50=30.59。在物體內的任一點取一六面體,_Z，-xz,―yz,z=0<y 。x、yz方向的尺寸分別為dx、dy、dz。試依據(jù)下圖證明:CTdxIB<xAbz籃d^y”TtzyI<Tyxd^<b如b,zdzz <z<T<z機~dxdx證明：SF=0:z(b,z,(Txz,(Tyz<b zdz)xdxxdy-(b)xdxxdy<z<T, dx)xdyxdzx<T, y^dy)xdzxdxy-(T )xxz-(T )xyzdyxdzdzxdx,Zdxdydz=0化簡并整理上式:<bT<T z ,―xz—, —,Z=0<z <x <y圖示懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為,設應力函數(shù),=Ax3+Bx2j+Cxy2+Dy3恒能滿足雙調和方程。試求應力分量并寫出邊界條件。解：所設應力函數(shù)。 相應的應力分量為：…=斗=2Cx+6Dyx dy2…=中一py=6Ax+2By—pyy fix2T=— =—2Bx—2Cyxy fixfiy邊界條件為：上表面（y=0），要求X=（—T） =0，B=0N xyy=0Y=（—…）=0，A=0N yy=0斜邊界：y=xtga,l=—sin以,m=cos以,邊界條件得：—（2Cx+6Dy）sin以—2Cycos以=02Cysin以一pycos以=0《彈性力學》試題參考答案（答題時間：100分鐘）、填空題（每小題4分）最小勢能原理等價于彈性力學基本方程中：平衡微分方程,應力邊界條件。一組可能的應力分量應滿足：平衡微分方程,相容方程（變形協(xié)調條件）。等截面直桿扭轉問題中，?dxdy=M的物理意義是桿端截面上剪應力對轉軸的矩等于桿D截面內的扭矩M。平面問題的應力函數(shù)解法中，Airy應力函數(shù)甲在邊界上值的物理意義為邊界上某一點（基準點）到任一點外力的矩。

彈性力學平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：1cy+X=0,e=—（u+u）o

ij，ji ij2i,jj,i、簡述題（每小題6分）試簡述力學中的圣維南原理，并說明它在彈性力學分析中的作用。圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則近處的應力分布將有顯著的改變,但遠處的應力所受影響可以忽略不計。作用：（1）將次要邊界上復雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）將次要的位移邊界條件轉化為應力邊界條件處理。圖示兩楔形體，試分別用直角坐標和極坐標寫出其應力函數(shù)甲的分離變量形式。(a)題二（2）圖?((a)題二（2）圖?(x,y)=ax2+bxy+cy2甲(匚0)=r2f(0)(b)\?(x,y)=ax3+bx2y+cxy2+dy3…甲(r,0)=r3f(0)圖示矩形彈性薄板，沿對角線方向作用一對拉力P,板的幾何尺寸如圖，材料的彈性模量E、泊松比 已知。試求薄板面積的改變量団。題二（3）圖設當各邊界受均布壓力q時，兩力作用點的相對位移為AZ。由￡=￡（1-卩）q得,?7 ■■ ;-qya2+b2八、Al=￡*a2+b2= （1—卩）E設板在力P作用下的面積改變?yōu)锳，由功的互等定理有：qAS=P?Al將Al代入得:1—LX-AS=ia2+b21111顯然，AS與板的形狀無關，僅與E、卩、1有關。題二（4）圖,0；(1)…,q，rQr題二（4）圖,0；(1)…,q，rQrr,br,b4.圖示曲桿，在r,b邊界上作用有均布拉應力q,在自由端作用有水平集中力P。試寫出其邊界條件（除固定端外）。…rJb…dr,-PcosQQaJbbrdr,—PcosQa+bQ 2a,0,r,arQr,a\b?dr,PsinQrQa5.試簡述拉甫（Love）位移函數(shù)法、伽遼金（Galerkin）位移函數(shù)法求解空間彈性力學問題的基本思想，并指出各自的適用性Love、Galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學問題的基本思想：（1） 變求多個位移函數(shù)u（x,y）,v（x,y）,w（x,y）或u（r,Q）,u（r,Q）為求一些特殊函數(shù)，如調和函r Q數(shù)、重調和函數(shù)。（2） 變求多個函數(shù)為求單個函數(shù)（特殊函數(shù)）。適用性：Love位移函數(shù)法適用于求解軸對稱的空間問題；Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對稱的空間問題。三、計算題圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為P，設間距d很小。試求其應力分量，并討論所求解的適用范圍。（提示：取應力函數(shù)為Asin2Q+BQ） （13分）題三（1）圖

解：d很小，???M€Pd，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形。將應力函數(shù)中(r,0)代入，可求得應力分量： ?€丄攀+丄^€—_±Asin2,； ?=竺=0；rrdrr2502 r2 0dr2 t=-*)=—(2Acos26+B)r， dr[rd，丿r2邊界條件：?,l,=o=O，tr,l,=o€。； ?」,=兀€°，t」,=兀=0r豐0 r力0 r力0 r力0代入應力分量式，有—(2A+B)=0 或 2A+B=0 (1)r2 取一半徑為r的半圓為脫離體，邊界上受有：?,T，和M=Pdrr,由該脫離體的平衡，得‘2tr2d,+M=0_轉r,—2將匚，代入并積分，有r,—(2Acos2,+B)r2d,+M=0一宿r(nóng)2Asin2,+Asin2,+B\22) 聯(lián)立式(1)、(2)求得：B= M= Pda=Pd兀兀' 2k代入應力分量式，得?== 2Pdsin2, ?=。t= 2Pdsin2,r 冗 r2 , r, 冗 r2 結果的適用性：由于在原點附近應用了圣維南原理，故此結果在原點附近誤差較大，離原點較遠處可適用。 圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應力?由材料力學公式給出，試由平衡微分方程 求出t,?，并檢驗該應力分量能否滿足應力表示的相容方程。(12分)題三（2）圖 解：（1）求橫截面上正應力€ 任意截面的彎矩為M，-%X3，截面慣性矩為I,卷，由材料力學計算公式有1)（2）由平衡微分方程求T、€xy y平衡微分方程：do 8c X+ xydx 8ydc do yx+ y8x 8y(2)(3)其中，X,0,Y,0。將式（1）代入式（2），有dcxydylh3dy積分上式，得xylh3x2y2xylh3x2y2+f1(x)利用邊界條件:xyy,±2 4bx"⑴，0即3q4lh34)c,x2(y2一1h2)4)TOC\o"1-5"\h\zxy lh3 4將式(4)代入式(3),有6q i do do 6q 1—x(y2--h2)+ =0或, x(y2—4h2)lh3 4dy dy lh3 4積分得11利用邊界條件:得:h尸一2,0y,+h糸x(_24€1加)€f2(x),-彳X務一扣)f2(X)，0由第二式，得f(x),-2X2 2l將其代入第一式,得將其代入第一式,自然成立。qqq

一2lX一引"一下X自然成立。將f2（X）代入by的表達式，有byy3 1qT_4h2y)一近(5)所求應力分量的結果:My—oX3ylh3TxyX2(y2一1h2)lh3 4 ’(6)byy31qT_4h2y)一近校核梁端部的邊界條件：（1）梁左端的邊界（X=0）：jh2b一hXX,02(2)梁右端的邊界(x=|dy，0,jh2T一h一2dy,0Xyx,0代入后可見：自然滿足。l）：h2b_h2Idy,XX，l2q——0

lh311xyx=ldy3qx2——0——-hlh3xx—lydy—(y2 dy=2qx3

——0——lh3x—lx—ldy——ql

—0-22ql3——0—3lh3可見，所有邊界條件均滿足。檢驗應力分量?具是否滿足應力相容方程:xxyy常體力下的應力相容方程為TOC\o"1-5"\h\zV2(? )=(實+祟)(? )—0xy ox2 dy2 xy將應力分量?具式（6）代入應力相容方程，有xxyy宗(?+?)=-普xy，畀(?+?)=-獸xy

ox2xylh3 oy2xy lh3V2(?+?)=(N+_°L)(?+?)—-24%xy豐0

xy Ox2 Oy2 xy lh3顯然，應力分量?,T 不滿足應力相容方程，因而式（6）并不是該該問題的正確解。xxyy3.一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為1,抗彎剛度EI為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為k。梁受有均勻分布載荷q作用，如圖所示。試：（1） 構造兩種形式（多項式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù)w（x）；（2） 用最小勢能原理或Ritz法求其多項式形式的撓度近似解（取1項待定系數(shù)）。（13分）多項式函數(shù)形式多項式函數(shù)形式三角函數(shù)形式題二（3