級數的收斂速度與正項級數判斂法的關系

n度與正項級數判斂法的關系級數斂散的速度問題，無論對于理論研究者或是實際工作者都具有意義。在做理論研究判斷正項級數斂散性時，利用比較判別法必須事先選擇好斂散性，如n1n2數收斂得不夠慢，因此想要得到更好的判別法就必須尋找收斂得更慢的級數作為比較的“標尺”。通過探究達朗貝爾判別法、拉貝判別法產生缺陷的原因以及幾項正項級數收斂速度的比較，得出級數的收斂速度與正項級數判斂an與r果limn0，就稱bn比an收斂較慢。nrB如果limn0，就稱nAbn比an發(fā)散較慢。an與bn都收斂，如果limnnb，就稱義4設正項級數an與，就稱bn比ban1(n1an與bn都收斂(發(fā)散)，并有自然數N,使nbn1)，則說bn比an收斂(發(fā)散)較慢。bnn123vnv1v2v3 n充分大時，總有不等式nvn則由級數(2)收斂可推出級數(1)收斂，而由級數(1)發(fā)散可推出(2)un1vN有 則由級數(2)收斂可知級數(1)收斂，而由級數(1)發(fā)散可知級數(2)若n為正項級數，且limnx 柯西根值判別法) n設n為正項級數，且limnnln 設nnnn對正項級數n，如果有nn1當1或者1而u1時級數發(fā)散。2u2n 如果f(x)(x0)是非負的不增函數，則級數f(n)與積分f(x)dx1n1n正項級數的項加以比較后得到原級數n1nnn的收斂(發(fā)散)級數(幾何級數、P-級數等)加以比較。定理3、因其中達朗貝爾判別法、柯西判別法、拉貝判別法在其形式及證明上有諸面從這三種判別法出發(fā)，探究產生缺陷的根本原因。對于正項級數a首先看達朗貝爾判別法的極限形式，當n1的極限n1n1nnlimn111nlimn1n1rn)。n1n的對應項，其中na而qn；aqn收斂得快。那么，反過來，如果給定的正項級nn1n1n判別法及其極限形式對1n1nn1nn1limnlimn1n22(1)nq1)收斂得快。此時11n2其次，若r1，給定的級數0，于是判斷n1n1nnnnn。可是如果給定的正項級數n1nn1nn綜上所述，凡是比任何收斂的等比級數收斂的速度都慢的收斂的正項級數，以及一般項趨于0的發(fā)散的正項級數，都不能用達朗貝爾判別法及其極可見，用達朗貝爾判別法、柯西判別法來判定級數收斂時，都受到幾何1n1npalimnlimnnnppn1n1nlimaqnnp0n1nnn即:limn1n1可見任何收斂的 p一般項比任何收斂的n1n一般項0時要慢得多。此外，對于0p1，廣義調和級數雖然發(fā)1p、如果設nvn是滿足定理2中(3)式的兩個收斂級數，由前面定度的比較另外我們又知道，正項級數斂散性判別法中著名的比值判別法、拉貝判別法、高斯判別法實際正是分別以下列級數1n1n1nn2n(lnn)作為比較標準由比較原則導出的，現(xiàn)在利用上述后兩種定義證明下面結論：當(1)中三類級數都收斂時，在收斂速度上是后一個總比前一個慢。證明：(利用定義3)n1n，，n，，nnbn1nlimn1n為求上式右邊極限，可先求相應連續(xù)變量x時的極限，而利用洛必達法則不難求得該極限值為0，從而lim0，由定義3，命題得證。nbnnn2n(lnn)q)1pncn1qn(lnn)qpqN，于是limbnlimn(lnpn)qlimncnnnnxqb當qN時，有l(wèi)imn0nclimxlimxlnxqxpxp2q(lnxq)1limp1xxp1q!qlimq10p1px0limn0limnncnN剛才證明的結論，此時有l(wèi)imlimlimnnp1npn(lnn)qbncn1n(n1)[ln(n1)]qlnln(p1pln(n1)lnn(2)qg(x)lnx(x2)n,n1(n2)上應用柯西中值定理得1)lnlnf(1))1)nlng()1111由np1n1(p)nlnn1qpq時就有(2)式成立，從而由定nn(lnn)pn1npdAlembertaussCauchy判別法)有效；而以級數n1n(lnn)p別法、擬對數判別法)又較以P級數為標準建立的判別法有效。1沿著這種思路下，們又有級數較級數n1nlnn(lnlnn)pn1n1n(lnn)p斂一般地，級數串(1n1nn1nn1nrn1nr1nna先證n是收斂的。由積分中值定理，nrn1rn)rnxarn1rnnk1rk)2(r0rn)2r(n)nrk)nrk)收斂，由比較原則，有：rk1rknn1krnn1nnn1n1n1數收斂快的級數，這些判別法才有效，如果級數的通項收斂速度較慢，這些判別法就無能為力，但可以尋求通項收斂速度更慢的收斂級數作比較，獲得判別2n22，，選擇收斂(發(fā)散)較慢的級數作比較標準，相應的判別法所能判定的級數就比較廣泛(即該判別法應用范圍較廣)。這時，我們也該說該判別法比采用收斂(發(fā)散)較快的級數為比較標準的判別法更強或更精確。在上面判別法中，高斯判別法強于拉貝判別法，而后者又強于比值判別法，并且較弱例如，拉貝判別法的極限式可寫為rlimn(1nn1)nnn1nnrqr132n1242nsnn所以用比式判別法無法判斷級數的斂散性，現(xiàn)在利用拉貝判別法來討論n1nn1n121(n)可知此級數發(fā)散n1nn1212nn21(n)可知此級數發(fā)散判別法雖然判別的范圍r1ln()設n是正項級數，如果limnnlnnlnnn12p12nnn12nlimnn1112nnnnexf(ex)limxf(x)nn1n1x(x)f((x))f(x)n1n11例：判斷級數的斂散性nx1xfgxlimxxxf(x)x1x211故級數發(fā)散。n1p，，1plimxf(x)limexxpx1x(lnxxplimx(limx(lxn)x0,p1p111當0p1時，發(fā)散n1n(lnn)p散“比較標準”的方法，來建立對所有的正項級數斂散性判別都有效的判別法