2022人教版數學一輪復習1統(tǒng)計教案

統(tǒng)計【考綱要求】了解下列一些常見的統(tǒng)計方法，并能應用這些方法解決一些實際問題.【基礎知識】一、抽樣的方法抽樣一般分為簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣。（一）簡單隨機抽樣一般地，設一個總體的個體數為N，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣。簡單隨機抽樣是在特定總體中抽取樣本，總體中每一個體被抽取的可能性是等同的，而且任何個體之間彼此被抽取的機會是獨立的。如果用從個體數為N的總體中抽取一個容量為n的樣本，那么每個個體被抽取的概率等于。隨機抽樣包括抽簽法和隨機數表法1、抽簽法先將總體中的所有個體（共N個）編號（號碼可以從1到N），并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可以用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌。抽簽時，每次從中抽出1個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本。對個體編號時，也可以利用已有的編號。例如學生的學號，座位號等。2、用隨機數表法進行抽?。?）隨機數表是統(tǒng)計工作者用計算機生成的隨機數，并保證表中的每個位置上的數字是等可能出現的。（2）隨機數表并不是唯一的，因此可以任選一個數作為開始，讀數的方向可以向左，也可以向右、向上、向下等等。（3）用隨機數表進行抽樣的步驟：將總體中個體編號；選定開始的數字；獲取樣本號碼。（4）由于隨機數表是等概率的，因此利用隨機數表抽取樣本保證了被抽取個體的概率是相等的。（二）系統(tǒng)抽樣當總體的個數較多時，采用簡單隨機抽樣太麻煩，這時將總體分成均衡的部分，然后按照預先定出的規(guī)則，從每一部分中抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣稱為系統(tǒng)抽樣。系統(tǒng)抽樣的步驟為：（1）采取隨機方式將總體中的個體編號。（2）將整個的編號均衡地分段，確定分段間隔k。是整數時，，不是整數時，從N中剔除一些個體，使得其為整數為止。（3）第一段用簡單隨機抽樣確定起始號碼l。（4）按照規(guī)則抽取樣本：l；l＋k；l＋2k；……l＋nk系統(tǒng)抽樣時，將總體中的個體均分后的每一段進行抽樣時，采用簡單隨機抽樣；系統(tǒng)抽樣每次抽樣時，總體中各個個體被抽取的概率也是相等的;如總體的個體數不能被樣本容量整除時，可以先用簡單隨機抽樣從總體中剔除幾個個體，然后再按系統(tǒng)抽樣進行。需要說明的是整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率仍然相等。（三）分層抽樣當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進行抽樣。其中所分成的各部分叫做層。由于分層抽樣的要求不同，各層的抽樣的樣本容量也不相同，所以，應當按照實際情況，合理地將樣本容量分配到各個層，以確保抽樣的合理性，研究時可以根據不同的要求來分層抽樣。二、用樣本估計總體1、用樣本估計總體的兩個手段（用樣本的頻率分布估計總體的分布；用樣本的數字特征估計總體的數字特征），需要從總體中抽取一個質量較高的樣本，才能不會產生較大的估計偏差，且樣本容量越大，估計的結果也就越精確，分析數據的一種基本方法是用圖將它們畫出來，或者用緊湊的表格改變數據的排列方式，作圖可以達到兩個目的，一是從數據中提取信息，二是利用圖形傳遞信息。2、頻率分布是指一個樣本數據在各個小范圍內所占比例的大小。一般是用頻率分布直方圖反映樣本頻率分布。3、樣本的數字特征眾數：就是數據中出現次數最多的那個，比其他的都多，如果幾個數據出現的次數都是最多，則它們都是眾數；每個數據都只有一次，那么數據沒有眾數。所以眾數可以不止一個或者沒有。中位數：就是這些數據排列好了以后中間的那個數字，那么如果有偶數個數據，那么就是中間兩個數字的平均數，如果有奇數個數據，則中間那個就是數據的中位數。所以數據的中位數不一定在數據中。平均數：這個就是把所有數據相加，除以個數，就是數據的平均數。平均數：方差：標準差：4、莖葉圖莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數組中的數按位數進行比較，將數的大小基本不變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數，每個數具體是多少。當數據是兩位有效數字時，用中間的數字表示十位數，即第一個有效數字，兩邊的數字表示個位數，即第二個有效數字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖。如上圖，就是甲班和乙班10個同學的身高的莖葉圖，你能讀出它們嗎？三、變量間的相關關系1、概念：自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫相關關系。2、相關關系與函數關系的異同點。相同點：兩者均是指兩個變量間的關系。不同點：函數關系是一種確定關系，是一種因果系。如正方形的面積和邊長的關系就是一種函數關系。相關關系是一種非確定的關系，也不一定是因果關系。如產品的銷售額與廣告費的投入的關系。3、散點圖表示具有相關關系的兩個變量的一組數據的圖形叫做散點圖。正相關：如果散點圖中的點散布在從左小角到右上角的區(qū)域內，稱為正相關。負相關：如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內，稱為負相關。注:如果關于兩個變量統(tǒng)計數據的散點圖呈現發(fā)散狀,則這兩個變量之間不具有相關關系.【例題精講】例1已知數據x1，x2，…，x10的平均數eq\x\to(x)＝20，方差s2＝.求：(1)3x1,3x2，…，3x10的平均數和方差；(2)4x1－2,4x2－2，…，4x10－2的平均數和方差．解：(1)eq\x\to(x)′＝eq\f(1,10)(3x1＋3x2＋…＋3x10)＝eq\f(3,10)(x1＋x2＋…＋x10)＝3eq\x\to(x)＝3×20＝60；s′2＝eq\f(1,10)[(3x1－3eq\x\to(x))2＋(3x2－3eq\x\to(x))2＋…＋(3x10－3eq\x\to(x))2]＝eq\f(9,10)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(x10－eq\x\to(x))2]＝9s2＝9×＝.(2)eq\x\to(x)″＝4eq\x\to(x)－2＝4×20－2＝78；s″2＝16s2＝16×＝.例2在某種產品表面進行腐蝕刻線試驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間x的一組數據如下表所示：x(秒)510152030405060y(微米)610111316171923(1)畫出數據的散點圖；(2)根據散點圖，你能得出什么結論？(3)求回歸方程．解：(1)散點圖如圖所示(2)結論：x與y是具有相關關系的兩個變量，且對應n組觀測值的n個點大致分布在一條直線附近，其中整體上與這n個點最接近的一條直線最能代表變量x與y之間的關系．(3)計算得r=307992>.所以，x與y有很強的線性相關關系，由計算器計算得=438≈，=863≈，=+.例3某市十所重點中學進行高三聯(lián)考，共有5000名考生，為了了解數學學科的學習情況，現從中隨機抽出若干名學生在這次測試中的數學成績，制成如下頻率分布表：分組頻數頻率[80,90)①②[90,100)[100,110)[110,120)36[120,130)[130,140)12③[140,150)合計④(1)根據上面頻率分布表，推出①，②，③，④處的數值分別為，，，；(2)在所給的坐標系中畫出區(qū)間[80,150]上的頻率分布直方圖；(3)根據題中信息估計總體：(i)120分及以上的學生數；(ii)平均分；(iii)成績落在[126,150]中的概率．解：(1)①，②，③，④處的數值分別為：3,,,1.(2)頻率分布直方圖如圖所示(3)(i)120分及以上的學生數為：++×5000=2125；(ii)平均分為：eq\x\to(x)＝85×＋95×＋105×＋115×＋125×＋135×＋145×＝.(iii)成績落在[126,150]中的概率為：P＝eq\f(4,10)×＋＋＝.統(tǒng)計強化訓練【基礎精練】1．某地區(qū)共有10萬戶居民，該地區(qū)城市住戶與農村住戶之比為4∶6，根據分層抽樣方法，調查了該地區(qū)1000戶居民冰箱擁有情況，調查結果如下表所示，那么可以估計該地區(qū)農村住戶中無冰箱的總戶數約為()城市農村有冰箱356(戶)440(戶)無冰箱44(戶)160(戶)A．萬戶B．4.4萬戶C．萬戶D．萬戶2.如圖是根據《山東統(tǒng)計年鑒2022》中的資料作成的1997年至2022年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數的莖葉圖．圖中左邊的數字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數的百位數字和十位數字，右邊的數字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數的個位數字．從圖中可以得到1997年至2022年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數的平均數為()A．B．303.6C．3．某校數學教研組為了解學生學習數學的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人進行問卷調查，則高一、高二、高三抽取的人數分別是()A．15,16,19B．15,17,18C．14,17,194．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測．若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數之和是()A．4B．5C．65．根據下面的列聯(lián)表：嗜酒不嗜酒總計患肝病7775427817未患肝病2099492148總計9874919965得出如下的判斷[P＝，P＝]①有%的把握認為肝病與嗜酒有關；②有99%的把握認為患肝病與嗜酒有關；③認為“患肝病與嗜酒有關”出錯的可能為1%；④認為“患肝病與嗜酒有關”出錯的可能為10%.其中正確命題的個數為()A．0B．1C．26．對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數據，下列說法正確的是()A．都可以分析出兩個變量的關系B．都可以用一條直線近似地表示兩者的關系C．都可以作出散點圖D．都可以用確定的表達式表示兩者的關系7．為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖如下圖，由于不慎將部分數據丟失，但知道前4組的頻數成等比數列，后6組的頻數成等差數列，設最大頻率為a，視力在到之間的學生數為b，則a，b的值分別為()A．,78B．,83C．,788．為了考察兩個變量x和y之間的線性相關性，甲、乙兩位同學各自獨立作了10次和15次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1、l2，已知兩人所得的試驗數據中，變量x和y的數據的平均值都相等，且分別都是s、t，那么下列說法正確的是()A．直線l1和l2一定有公共點(s，t)B．直線l1和l2相交，但交點不一定是(s，t)C．必有l(wèi)1∥l2D．l1與l2必定重合9．某校對高三年級的學生進行體檢，現將高三男生的體重(單位：kg)數據進行整理后分成五組，并繪制頻率分布直方圖(如圖所示)．根據一般標準，高三男生的體重超過65kg屬于偏胖，低于55kg屬于偏瘦．已知圖中從左到右第一、第三、第四、第五小組的頻率分別為、、、，第二小組的頻數為400，則該校高三年級的男生總數和體重正常的頻率分別為()A．1000,B．800,0.50C．800,10．期中考試以后，班長算出了全班40個人數學成績的平均分為M.如果把M當成一個同學的分數，與原來的40個分數一起，算出這41個分數的平均值為N，那么M∶N為()\f(40,41)B．1C.eq\f(41,40)D．211．一組數據的平均數是，方差是，若將這組數據中的每一個數據都加上60，得到一組新數據，則所得新數據的平均數和方差分別是()A．,B．,56.4C．,12．從某地區(qū)15000位老人中隨機抽取500人，其生活能否自理的情況如下表所示：則該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性約多的人數為()性性別人數生活能否自理男女能178278不能2321A．60B．50C．40答案：A13．某校開展“愛我海西、愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評委為參賽作品A給出的分數如莖葉圖所示．記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91.復核員在復核時，發(fā)現有一個數字(莖葉圖中的x)無法看清．若記分員計算無誤，則數字x應該是________.14．某企業(yè)有3個分廠生產同一種電子產品，第一、二、三分廠的產量之比為1∶2∶1，用分層抽樣方法(每個分廠的產品為一層)從3個分廠生產的電子產品中共抽取100件作使用壽命的測試，由所得的測試結果算得從第一、二、三分廠取出的產品的使用壽命的平均值分別為980h，1020h,1032h，則抽取的100件產品的使用壽命的平均值為________h.15．一個公司共有1000名員工，下設一些部門，要采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個容量為50的樣本，已知某部門有200名員工，那么從該部門抽取的員工人數為________．16．下圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖．根據樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數據落在[6,10)內的頻數為________，數據落在[2,10)內的概率約為________．17．某工廠人員及工資構成如表：人員經理管理人員高級技工工人學徒合計周工資2200250220200100人數16510123合計22001500110020001006900(1)指出這個問題中工資的眾數、中位數、平均數；(2)這個問題中，平均數能客觀地反映該工廠的工資水平嗎？為什么？【拓展提高】1.某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(稱為A類工人)，另外750名工人參加過長期培訓(稱為B類工人)．現用分層抽樣方法(按A類，B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人，調查他們的生產能力(生產能力指一天加工的零件數)．(1)A類工人中和B類工人中各抽查多少工人？(2)從A類工人中的抽查結果和從B類工人中的抽查結果分別如下表1和表2.表1：生產能力分組[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)人數48x53表2：生產能力分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)人數6y3618(i)先確定x，y，再完成下列頻率分布直方圖，就生產能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更??？(不用計算，可通過觀察直方圖直接回答結論)(ii)分別估計A類工人和B類工人生產能力的平均數，并估計該工廠工人的生產能力的平均數(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)．2.根據空氣質量指數API(為整數)的不同，可將空氣質量分級如下表：API0～5051～100101～150151～200201～250251～300>300級別ⅠⅡⅢ1Ⅲ2Ⅳ1Ⅳ2Ⅴ狀況優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染對某城市一年(365天)的空氣質量進行監(jiān)測，獲得的API數據按照區(qū)間[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]，(250,300]進行分組，得到頻率分布直方圖如圖．(1)求直方圖中x的值；(2)計算一年中空氣質量分別為良和輕微污染的天數．【基礎精練參考答案】1.A解析：由分層抽樣按比例抽取可得eq\f(160,1000)×100000＝16000.2B.解析：由已知得平均數eq\x\to(x)＝eq\f(290×4＋310×4＋300×2＋15＋8＋13,10)＝.3.B解析：分層抽樣要求每層中每個個體被抽到的概率均相等，據題意中每個個體被抽到的概率為eq\f(50,600＋680＋720)＝eq\f(1,40)，故高一、高二和高三分別被抽取的人數為600×eq\f(1,40)＝15,680×eq\f(1,40)＝17,720×eq\f(1,40)＝18.解析：依題意所求為(10＋20)×eq\f(20,40＋10＋30＋20)＝6.5.B解析：K2＝eq\f(9965×(7775×49－42×2099)2,9874×91×7817×2184)≈.55．70＞，所以我們有%的把握認為患肝病與嗜酒有關．解析：給出一組樣本數據，總可以作出相應的散點圖，但不一定能分析出兩個變量的關系，更不一定符合線性相關或有函數關系．解析：由頻率分布直方圖知組矩為.4．3～間的頻數為100××＝1.4．4～間的頻數為100××＝3.又前4組的頻數成等比數列，∴公比為3.根據后6組頻數成等差數列，且共有100－13＝87人．從而～間的頻數最大，且為1×33＝27，∴a＝，設公差為d，則6×27＋eq\f(6×5,2)d＝87.∴d＝－5，從而b＝4×27＋eq\f(4×3,2)(－5)＝78.解析：線性回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).而eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，即eq\o(a,\s\up6(^))＝t－eq\o(b,\s\up6(^))s，t＝eq\o(b,\s\up6(^))s＋eq\o(a,\s\up6(^)).∴(s，t)在回歸直線上．∴直線l1和l2一定有公共點(s，t)．解析：由題知第二小組的頻率為1－＋＋＋＝，又頻數為400，故總人數為1000，體重正常的頻率為＋＝.解析：設40個人的數學總分為z，則z＝40M且z＝41N－M，由40M＝41N－M得M＝解析：設這組數據分別為x1，x2，…，xn，則eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝eq\f(1,n)eq