2023屆江蘇省蘇州市高三年級上冊學期期末學業(yè)質(zhì)量陽光指標調(diào)研數(shù)學試題【含答案】

2023屆江蘇省蘇州市高三上學期期末學業(yè)質(zhì)量陽光指標調(diào)研數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，若，則實數(shù)b的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】求出集合，根據(jù)，可得答案.【詳解】化簡得，，由，且，故.故選：C2．已知（，i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)（，i為虛數(shù)單位），利用復數(shù)相等求得，代入求解.【詳解】解：因為（，i為虛數(shù)單位），所以，所以，所以，故選：B3．設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結合關鍵無理數(shù)的估計值，可得答案.【詳解】，，由，則，故選：A.4．已知通過某種圓筒型保溫層的熱流量，其中，分別為保溫層的內(nèi)外半徑（單位：mm），，分別為保溫層內(nèi)外表面的溫度（單位：℃），l為保溫層的長度（單位：m），為保溫層的導熱系數(shù)（單位：）．某電廠為了減少熱損失，準備在直徑為120mm、外壁面溫度為250℃的蒸汽管道外表面覆蓋這種保溫層，根據(jù)安全操作規(guī)定，保溫層外表面溫度應控制為50℃．經(jīng)測試，當保溫層的厚度為30mm時，每米長管道的熱損失為300W．若要使每米長管道的熱損失不超過150W，則覆蓋的保溫層厚度至少為（

）A．60mm B．65mm C．70mm D．75mm【答案】D【分析】由已知求得，然后代入不等式求得的范圍即可．【詳解】由題意可得，，，設覆蓋的保溫層厚度至少為，則，，整理可得，即，解得，故選：D．5．若的展開式中的系數(shù)為60，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】C【分析】由二項式定理求得的關系,然后由均值不等式求得最小值．【詳解】，令，，所以，∴，，當且僅當，即時等號成立，故選：C．6．在平面直角坐標系中，已知雙曲線C：（，）的左頂點為，右焦點為F，過點F作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，過點P作x軸的垂線，垂足為Q．若，，成等差數(shù)列，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】不妨設漸近線方程為，計算點坐標得到，，，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，解得答案.【詳解】，，不妨設漸近線方程為，則直線為：，，解得，故，，，，，成等差數(shù)列，故，整理得到，解得或（舍）.故選：B7．已知正四面體的棱長為，為棱上的動點（端點、除外），過點作平面垂直于，與正四面體的表面相交．記，將交線圍成的圖形面積表示為的函數(shù)，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】取線段的中點，連接、，證明出平面，分析可知平面與平面平行或重合，分、、三種情況討論，計算出的面積，利用三角形相似可得出的表達式，即可得出合適的選項.【詳解】取線段的中點，連接、，因為、為等邊三角形，為的中點，則，，，、平面，平面，因為平面，所以，平面與平面平行或重合，且，取的中點，連接，則，且，故.①當時，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可知，，，所以，，故，如下圖所示：則，則；②當時，；③當時，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可知，，，所以，，故，如下圖所示：則，則.綜上所述，，故函數(shù)的圖象如C選項中的圖象.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)圖象的識別，解題的關鍵對分類討論，求出函數(shù)的解析式，進而辨別出函數(shù)的圖象.8．已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù).記函數(shù)，則（

）A．25 B．27 C．29 D．31【答案】D【分析】由已知條件得函數(shù)的圖象點對稱也關于直線對稱，由此求得其是周期函數(shù)，周期是4，由中心對稱得，然后求得，代入計算可得．【詳解】為奇函數(shù)，是由向左平移1個單位得到，則的圖象關于點對稱，所以，，為偶函數(shù)，是由向左平移2個單位得到，則的圖象關于直線對稱，所以，則，所以，從而，是周期函數(shù)，且周期為4，所以，因為的圖象關于直線對稱，也關于點對稱，所以的圖象關于點對稱，所以，所以，所以因為，，所以，故選：D．二、多選題9．已知向量，的夾角為60°，，，則與向量的夾角為銳角的向量有（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】顯然不可能平行，因此只要計算出數(shù)量積為正即可．【詳解】由已知各選項中向量與向量不平行，，，，，，只有BC選項符合題意．故選：BC．10．已知函數(shù)，則（

）A．的周期為 B．直線是曲線的切線C．在上單調(diào)遞增 D．點是曲線的對稱中心【答案】BCD【分析】判斷是否相等即可判斷A；根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可判斷B；利用導數(shù)計算即可判斷C；構造函數(shù)，再判斷函數(shù)的奇偶性即可判斷D.【詳解】解：對于A，因為，所以不是函數(shù)的周期，故A錯誤；對于B，，設切點為，，令，則，可取，則，所以過點的切線方程為，所以直線是曲線的切線，故B正確；對于C，，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，令，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，關于原點對稱，又因函數(shù)是由函數(shù)先向右平移個單位，再向上平移個單位所得的，所以函數(shù)點是曲線的對稱中心，故D正確.故選：BCD.11．已知正方體的棱長為，，，其中，，則下列說法中正確的有（

）A．若平面，則 B．若平面，則C．存在，，使得 D．存在，使得對于任意的，都有【答案】AD【分析】建立空間直角坐標系，利用坐標表示向量，根據(jù)共面向量定理可判斷選項A，利用直線方向向量和面法向量垂直可判斷線面平行，可判斷選項B，通過向量求得模長，根據(jù)條件判斷方程是否有解，可判斷C，向量數(shù)量積為，可判斷D.【詳解】以為原點，所在直線為建立空間直角坐標系.因為正方體的棱長為，面為點，.設，又,又因為點面，所以若平面，則，故A正確.面的法向量，,,,平面,，，故B錯誤.,若,,,,令，易得，，，在無解，故C錯誤.,,,故D正確.故選：AD12．中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認為世界足球運動的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺的中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚中華傳統(tǒng)文化，我市四所高中各自組建了蹴鞠隊（分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”）進行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，則在比賽結束時（

）A．四支球隊的積分總和可能為15分B．甲隊勝3場且乙隊勝1場的概率為C．可能會出現(xiàn)三支球隊積分相同且和第四支球隊積分不同的情況D．丙隊在輸了第一場的情況下，其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為【答案】ACD【分析】舉例比賽的各種得分情況判斷AC，由互斥事件與獨立事件的概率公式計算概率判斷BD．【詳解】四支球隊共6場比賽，例如甲勝乙、丙、丁，而乙、丙、丁之間平，則甲得9分，乙、丙、丁各得2分，AC均正確；每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，則甲隊勝3場且乙隊勝1場的概率為，B錯；丙隊在輸了第一場的情況下，其積分仍超過其余三支球隊的積分，三隊中選一隊與丙比賽，丙輸，，例如是丙甲，若丙與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則丙只得4分，這時，甲乙、甲丁兩場比賽中甲只能輸，否則甲的分數(shù)不小于4分，不合題意，在甲輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意，若丙全贏（概率是）時，丙得6分，其他3人分數(shù)最高為5分，這時甲乙，甲丁兩場比賽中甲不能贏否則甲的分數(shù)不小于6分，只有平或輸，一平一輸，概率，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率，兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結論如何均符合題意，兩場甲都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是綜上概率為，D正確．故選：ACD．【點睛】難點點睛：本題考查獨立的概率與互斥事件的概率公式，難點在于分析丙在輸?shù)谝粓龅那闆r下如何才能使得分超過其他三人，方法是結合列舉法對六場比賽結果分步分析，確定每人的得分使之合乎題意．三、填空題13．已知圓臺的上、下底面半徑分別為4和5，高為2，則該圓臺的側面積為________．【答案】【分析】直接利用側面積公式計算得到答案.【詳解】圓臺的側面積為.故答案為：14．在平面直角坐標系中，已知圓C：，過點的直線l交C于A，B兩點，且，請寫出一條滿足上述條件的l的方程：________________．【答案】（答案不唯一，也滿足）【分析】分別討論直線l斜率存在、不存在的情況，設C到直線的距離為d，由得，結合點線距離公式即可求解判斷.【詳解】由題意得，半徑，，故在圓外，設C到直線的距離為d，由得，即，解得，當直線l斜率不存在時，即，此時，符合題意；當直線l斜率存在時，設為，即，則，即，解得，故直線為.故答案為：（答案不唯一，也滿足）四、雙空題15．記函數(shù)（）的最小正周期為T，給出下列三個命題：甲：；乙：在區(qū)間上單調(diào)遞減；丙：在區(qū)間上恰有三個極值點．若這三個命題中有且僅有一個假命題，則假命題是________（填“甲”、“已”或“丙”）；的取值范圍是________．【答案】

甲

【分析】甲，利用三角函數(shù)的周期性求出；乙，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出；丙，利用函數(shù)的極值點定義求出，結合已知可知甲是假命題，進而求解.【詳解】對于甲，，即，解得；對于乙，，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性得，解得，又，故，又，則，故，且，對于丙，，，由正弦函數(shù)的極值點得，解得；由這三個命題中有且僅有一個假命題，假設乙是假命題，則甲、丙是真命題，但顯然甲、丙矛盾，故該假設不成立；假設丙是假命題，則甲、乙是真命題，但顯然甲、乙矛盾，故該假設不成立；所以假命題是甲，則乙、丙是真命題，取交集的取值范圍是.故答案為：甲，.五、填空題16．若對任意，關于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為________．【答案】##0.75【分析】不等式化為恒成立，由于都是任意實數(shù)，因此不等式右邊相當于兩個函數(shù)相加：和，后者設，由導數(shù)求得其最小值，前者由二次函數(shù)性質(zhì)得最小值，兩者相加即得最小值，從而得的范圍，得出結論．【詳解】原不等式化為恒成立，由于是任意實數(shù)，也是任意實數(shù)，∴與是任意實數(shù)，它們之間沒有任何影響，，當且僅當時等號成立，設，則，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，所以的最小值是1，所以的最小值是，從而，的最大值是．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，一般可采用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，本題分離參數(shù)后，關鍵是對變量的理解，本題中由于都是任意實數(shù)，因此題中與可以看作是兩個不同的變量，因此不等式右邊轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的和，分別求出其最小值后得出結論．六、解答題17．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．(1)求A；(2)若，點D在邊BC上，，求AD．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理求得，再利用余弦定理求解作答.（2）利用（1）的結論，結合同角公式及和角的余弦公式求出三角函數(shù)值，再利用正弦定理求解作答.【詳解】（1）在中，由，得：，由余弦定理得，即，整理得，由余弦定理得，，而，所以.（2）因為，即，而，則，，所以，又，則，顯然是銳角三角形，由，所以，所以在中，18．記為數(shù)列的前n項和，已知，．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足求中的最大項與最小項．【答案】(1)(2)最大項為，最小項為【分析】（1）兩種方法解，方法一：先利用已知條件求出，然后根據(jù)已知條件建立方程，相減后變形構造數(shù)列利用遞推公式求得數(shù)列的通項公式；方法二：利用數(shù)列和與項的遞推公式構造項和項的遞推公式，然后，根據(jù)項和項的遞推公式進而求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）寫出的表達式，作差法比較數(shù)列的單調(diào)性，分析最大項和最小項即可.【詳解】（1）法一：在中，令，得，故，因為，①所以，②，得，即，③當時，將③式兩邊同時除以，得，所以，所以當時，，又因為，所以；法二：因為①，所以②，得，即③，從而④，得，即，所以為等差數(shù)列．在中，令，得，故，又因為為等差數(shù)列，所以；（2）由（1）得，當時，，且，所以，所以中的最大項為，最小項為．19．新能源汽車作為戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，代表汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展方向，發(fā)展新能源汽車，對改善能源消費結構、減少空氣污染、推動汽車產(chǎn)業(yè)和交通運輸行業(yè)轉(zhuǎn)型升級具有積極意義，經(jīng)過十多年的精心培育，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)取得了顯著成績，產(chǎn)銷量連續(xù)四年全球第一，保有量居全球首位．(1)已知某公司生產(chǎn)的新能源汽車電池的使用壽命（單位：萬公里）服從正態(tài)分布，問：該公司每月生產(chǎn)的2萬塊電池中，大約有多少塊電池的使用壽命可以超過68萬公里？參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則，，．(2)下表給出了我國2017~2021年新能源汽車保有量y（單位：萬輛）的數(shù)據(jù)．年份20172018201920202021年份代碼x12345新能源汽車保有量y153260381492784經(jīng)計算，變量的樣本相關系數(shù)，變量與的樣本相關系數(shù)．①試判斷與哪一個更適合作為與之間的回歸方程模型？②根據(jù)①的判斷結果，求出關于的回歸方程（精確到0.1），并預測2023年我國新能源汽車保有量．參考數(shù)據(jù)：令（），計算得，，，．參考公式：在回歸方程中，，．【答案】(1)450塊(2)①更適合作為y與x之間的回歸方程模型；②.【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布計算概率；（2）相關系數(shù)絕對值越大相關性越強，根據(jù)給出公式，代入數(shù)據(jù)計算可得回歸方程.【詳解】（1）因為新能源汽車電池的使用壽命，所以，所以塊．答：每月生產(chǎn)的萬塊電池中，使用壽命超過萬公里的大約有塊；（2）①因為，所以更適合作為y與x之間的回歸方程模型．②因為，，，所以．當時，萬輛．答：年我國新能源汽車保有量約為萬輛．20．如圖1，在長方形ABCD中，已知，，E為CD中點，F(xiàn)為線段EC上（端點E，C除外）的動點，過點D作AF的垂線分別交AF，AB于O，K兩點．現(xiàn)將折起，使得（如圖2）．(1)證明：平面平面；(2)求直線DF與平面所成角的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證平面，得平面，所以，再證平面，從而得證面面垂直；（2）直線DF與平面所成角為，記，設（），由，得，計算，利用基本不等式得最大值，從而得角的最大值．【詳解】（1）因為，，，平面，，所以平面．因為平面，所以．又因為，，平面，，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）連結FK，由（1）可知，直線DF與平面所成角為，記．在圖1中，因為，所以，又因為，所以．又因為，所以．設（），由，得，解得．在圖2中，因為，所以，所以，當且僅當時等號成立，又因為，所以的最大值為，即直線DF與平面所成角的最大值為．21．在平面直角坐標系中，已知拋物線：的焦點與橢圓：的右焦點關于直線對稱．(1)求的標準方程；(2)若直線與相切，且與相交于A，B兩點，求面積的最大值．（注：直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行，則稱該直線與拋物線相切，稱該公共點為切點）【答案】(1)(2)【分析】（1）求出橢圓焦點坐標，根據(jù)的焦點與的右焦點關于直線對稱，可求得拋物線焦點坐標，進而求得拋物線方程.（2）根據(jù)直線與相切，設出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得弦長和點到直線的距離，寫出面積，化簡利用重要不等式求最值.【詳解】（1）因為的右焦點為，的焦點與的右焦點關于直線對稱，所以的焦點為，所以，即，所以的標準方程為．（2）設與相切于點（），因為，所以，所以的斜率，