不等式證明方法與技巧

關(guān)于不等式證明方法與技巧第一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六一、比較法比較法是證明不等式最基本的方法也是最常用的方法。兩種形式①作差法：②作商法：幾點(diǎn)說明①作較法證明不等式的思路:作差(商),變形,判斷；②作差法證題時,通常是進(jìn)行因式分解,利用各因式的符號進(jìn)行判斷,或進(jìn)行配方,利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；③作商法證題時,通常要考慮式子的正負(fù),尤其是作為除式式子的值必須確定符號;證冪指數(shù)、根式或乘積不等式時常用比商法。第二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六第三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六第四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六第五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六二、綜合法利用已知條件或某些已證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證的不等式，這種證明方法稱為綜合法。1、定義2、證明思路綜合法的證題思路是由因?qū)Ч?，也就是從已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直接推導(dǎo)出所要證的不等式。第六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六已知a,b,c均為正數(shù)，證明下列不等式:第七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六4、若a、b、c是不全相等得正數(shù)求證：lg＋lg＋lg

＞lga+lgb+lgc

第八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六三、分析法1、定義從求證的不等式出發(fā)，層層推出使這個不等式成立的充分條件，直到得到一個明顯成立的不等式或一個比較容易證明的不等式為止，這種證明方法叫做分析法。2、證明思路分析法的證題思路是執(zhí)果索因，也就是從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化為這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。這種方法在探求不等式的證明思路時是最有效的方法之一。第九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六第十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六典型練習(xí)證明方法一：比較法第十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六證明方法二：綜合法第十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六證明方法三：分析法第十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六

比較法（作商）分析法第十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六

綜合法分析綜合法第十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六四、換元法換元法是指結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、量與量之間關(guān)系不很明顯的命題，通過恰當(dāng)引入新變量，代換原題中的部分式子，簡化原有結(jié)構(gòu)，使其轉(zhuǎn)化為便于研究的形式。用換元法證明不等式時一定要注意新元的取值范圍。1、定義2、兩種形式（1）三角換元對于條件不等式的證明問題，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個變量不易用另一個變量表示，可考慮用三角代換，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題．（2）增量代換在對稱式(任意互換兩個字母,代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a＞b＞c)的不等式,常用增量進(jìn)行代換,代換的目的是減少變量的個數(shù),使要證的結(jié)論更清晰,思路更直觀,這樣可以使問題化難為易,化繁為簡。第十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六增量代換典型例題增量代換第十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六第十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六練習(xí):第十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六是根據(jù)已知或構(gòu)造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根、解集、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出要證的不等式的方法.五、判別式法1、定義2、注意考慮二次項系數(shù)是否可以為零第二十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六第二十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六六、反證法從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。1、定義2、證明思路反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進(jìn)行證明的，在使用反證法時，必須在假設(shè)中羅列出各種與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，則反證法都是不完全的．原結(jié)論詞大于（>）小于（<）都是都不是至少n個至多n個反設(shè)詞不大于（≤）不小于（≥）不都是至少有一個是至多n-1個至少n+1個原結(jié)論詞有無窮多個存在唯一的對任意p，使…恒成立反設(shè)詞只有有限多個不存在或至少存在兩個至少有一個p，使…不成立第二十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六第二十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六七、放縮法1、定義欲證不等式A≤B，可通過適當(dāng)放大或縮小，借助一個(或多個)中間量C作比較，使得A≤C與C≤B同時成立，由不等式的傳遞性知A≤B顯然成立，這種方法叫做放縮法。利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特征及已知條件，采取舍掉式中一些正項或負(fù)項，或者在分式中放大或縮小分子、分母、把式子中的某些項換以較大或較小的數(shù)，從而達(dá)到證明不等式的目的．此類證法是一種技巧性較強(qiáng)的不等變形，必須時刻注意放縮的跨度，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮(放的過大或過小)都會導(dǎo)致推證的失敗。2、證明思路第二十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六提示：第二十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六放縮法第二十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六補(bǔ)充例題:第二十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六第二十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六第二十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期六八、構(gòu)造函數(shù)法(導(dǎo)數(shù)法）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法.1、定義2、證明思路（1）構(gòu)造函數(shù)（