極限四則運算法則(精)

極限四則運算法則(精)第一頁，共25頁。第一章二、極限的四則運算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則一、無窮小運算法則第五節(jié)極限運算法則第二頁，共25頁。時,有一、無窮小運算法則定理1.有限個無窮小的和還是無窮小.證:考慮兩個無窮小的和.設(shè)當時,有當時,有取則當因此這說明當時,為無窮小量.第三頁，共25頁。說明:

無限個無窮小之和不一定是無窮小!例如，(P57題4(2))解答見課件第二節(jié)例5類似可證:有限個無窮小之和仍為無窮小.第四頁，共25頁。定理2.

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:設(shè)又設(shè)即當時,有取則當時,就有故即是時的無窮小.推論1.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2

.有限個無窮小的乘積是無窮小.第五頁，共25頁。例1.求解:

利用定理2可知說明:

y=0是的漸近線.第六頁，共25頁。二、極限的四則運算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理3.

若第七頁，共25頁。推論:若且則(P46定理5)利用保號性定理證明.說明:定理3可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形.提示:令第八頁，共25頁。定理4

.若則有提示:利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.說明:定理4可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形.推論1.(C為常數(shù))推論2.(n為正整數(shù))例2.設(shè)n次多項式試證證:第九頁，共25頁。為無窮小(詳見書P44)定理5.

若且B≠0,則有證:因有其中設(shè)無窮小有界由極限與無窮小關(guān)系定理,得因此為無窮小,

第十頁，共25頁。定理6

.

若則有提示:因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結(jié)論.第十一頁，共25頁。

x=3時分母為0!例3.

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項式,試證:證:說明:若不能直接用商的運算法則.例4.若第十二頁，共25頁。例5.

求解:

x=1時,分母=0,分子≠0,但因第十三頁，共25頁。例6

.

求解:分子分母同除以則“抓大頭”原式第十四頁，共25頁。一般有如下結(jié)果：為非負常數(shù))(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)第十五頁，共25頁。三、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理7.設(shè)且x滿足時,又則有證:

當時,有當時,有對上述取則當時故①因此①式成立.第十六頁，共25頁。定理7.設(shè)且x滿足時,又則有說明:若定理中則類似可得第十七頁，共25頁。例7.求解:令,仿照例4∴原式=(見P34例5)例4第十八頁，共25頁。例8.求解:

方法1則令∴原式方法2第十九頁，共25頁。內(nèi)容小結(jié)1.極限運算法則(1)無窮小運算法則(2)極限四則運算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時,用代入法(要求分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7第二十頁，共25頁。思考及練習1.是否存在?為什么?答:不存在.否則由利用極限四則運算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問第二十一頁，共25頁。3.

求解法1原式=解法2令則原式=第二十二頁，共25頁。4.

試確定常數(shù)a使解:令則故因此第二十三頁，共25頁。作業(yè)P491

(5)，(7)，