人教數(shù)學(xué)A版選修《空間向量及其運(yùn)算》對(duì)點(diǎn)講練

第三章間向量與立體幾何§空間向量及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一空間向量概念的應(yīng)用給出下列命題：①將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓；②若空間向量a、b滿足|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=;④若空間向量m、n、p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中假命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3解析①假命題．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)將構(gòu)成一個(gè)球面，而不是一個(gè)圓；②假命題．根據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量a與b的方向不一定相同；與eq\o(A1C1,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，應(yīng)有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④真命題．向量的相等滿足遞推規(guī)律；⑤假命題．空間中任意兩個(gè)單位向量模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯(cuò)．故選C.答案C知識(shí)點(diǎn)二空間向量的運(yùn)算化簡(jiǎn)：（）()解方法一（）()=+=+++=（+）+（+）=+=0。方法二（）()=+=（）+（）=+=0。在四面體ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，Q為△BCD的重心，設(shè)AB=bAC=cAD=d，試用b，c，d表示向量，、，，和。解如圖所示=+=db,=+=cb,=+=dc,=(+)=(bd+cd)=(b+c2d),=+=d+,=d+(b+c2d)=(b+c+d).知識(shí)點(diǎn)三證明共線問題已知四邊形ABCD是空間四邊形，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點(diǎn)，且=,=.求證：四邊形EFGH是梯形.證明∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)所以=,=,=-==()==（-）={-}=（）=,∴四邊形EFGH是梯形.知識(shí)點(diǎn)四證明共面問題正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BB1和A1D1證明：向量，，是共面向量.證明方法一如圖所示.=++=+-=（）。由向量共面的充要條件知，，，是共面向量。方法二連結(jié)A1D、BD，取A1D中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG(如圖所示)，則有FGDD1，BEDD1，∴FGBE.∴四邊形BEFG為平行四邊形．∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A∴，，都與平面A1BD平行∴，，共面.知識(shí)點(diǎn)五數(shù)量積的運(yùn)算如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，計(jì)算（1）·;(2)·;(3)·.解(1）·=·||=||·||·cos<·>60°=,所以·=,（2）·=||·||·cos<,>=×1×1×cos0°=,所以·=,(3)·=·=||·||·cos<,>=×1×1×cos120°=-，所以·=-，知識(shí)點(diǎn)六數(shù)量積的應(yīng)用已知點(diǎn)O是正△ABC平面外的一點(diǎn)，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分別是AB、OC的中點(diǎn)，試求OE與BF所成角的余弦值．如圖所示，設(shè)=a,=b,=c,則a·b=b·c=c·a=，|a|=|b|=|c|=1，=(a+b),=c-b,·=(a+b)·{c-b}={a·c+b·c-a·b-|b|2}=×{+--1}=-,∴cos〈,〉===∴異面直線OE與BF所成角的余弦值為.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對(duì)角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B、D間的距離．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，求證：A1O⊥平面GBD.證明如圖所示，設(shè)=a，=b，=c，則a·b=0，b·c=0，c·a=0，且|a|=|b|=|c|，而=+=+(+)=e+(a+b),=-=b–a,=+=(+)+=(a+b)-c∴·={c+a+b}·(b–a)=c·(b–a)+(a+b)·(b–a)=c·b-c·a+(|b|2-|a|2·={c+a+b}–{a+b-c}=(|a|2+|b|2)-|c|2=0∴A1O平面BDG知識(shí)點(diǎn)七空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求滿足下列條件的P點(diǎn)的坐(1)=();(2)=();解=（2，6，3），=（4，3，1）。（1）=()=(6,3,4)={3,,2},則P點(diǎn)的坐標(biāo)為{3，，2）.(2)設(shè)P（x,y,z）則，=（x–2,y+1,z–2）.又因?yàn)?-)=(3,,-2),所以x=5,y=,z=0,故P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，，0）.知識(shí)點(diǎn)八坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為D1D、BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點(diǎn)，應(yīng)用空間向量方法求解下列問題．(1)求證：EF⊥B1C(2)求EF與C1G所成的角的余弦值(3)求FH的長(zhǎng).解如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有E（0，0，）、F（，，0）、C（0，1，0）、C1（0，1，1）、B1（1，1，1）、G（0，，0）..（1）=（，，0）-（0，0，）={，，），=（0，1，0）-（1，1，1）=（-1，0，-1）.∴·=×(-1)+×0+(-)×(-1)=0,∴EF⊥B1C,即EF⊥B1(2)∵=（0,,0）-(0,1,1)=（0,-,-1）.∴||=又·=×0+×（-）+（-）×(-1)=,||=,∴cos〈E,〉==即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為.（3）∵F（，，0）、H（0，，），∴=（-，，），∴||=在長(zhǎng)方體OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法解下列問題(1)求直線AO1與B1E所成角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求點(diǎn)O1到點(diǎn)D的距離．解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）由題意得A（2，0，0），O1（0，0，2），B1（2，3，2），E（1，3，0）.∴=（-2，0，2），=（1，0，2），∴cos〈,〉=∴AO1與B1E所成角的余弦值為（2）由題意得⊥，∥，∵C（0，3，0），設(shè)D（x,y,0）,∴=(x,y,2),=(x2,y,0),=(2,3,0),∴解得∴D(,,0)∴|O1D|=|O1D|=考題賞析1．(福建高考)如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)．(1)求證：PO⊥平面ABCD；(2)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)A到平面PCD的距離．(1)證明在△PAD中，PA=PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD.又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（2）解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.則A（0，1，0），B（1，1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），所以=（1，1，0），=（1，1，1），cos〈，〉=,所以異面直線PB與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3).(3)解由(2)得CD＝OB＝eq\r(2)，在Rt△POC中，PC＝eq\r(OC2＋OP2)＝eq\r(2)，所以PC＝CD＝DP，S△PCD＝eq\f(\r(3),4)·2＝eq\f(\r(3),2).又S△ACD＝eq\f(1,2)AD·AB＝1，設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為h，由VP—ACD＝VA—PCD，得eq\f(1,3)S△ACD·OP＝eq\f(1,3)S△PCD·h，即eq\f(1,3)×1×1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×h，解得h＝eq\f(2\r(3),3).2．(四川高考)如圖所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BCAD，BEFA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？(3)設(shè)AB=BE，證明：平面ADE⊥平面CDE.解由題設(shè)知，F(xiàn)A、AB、AD兩兩互相垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸正方向，以射線AD為y軸正方向，以射線AF為z軸正方向，建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz.(1)證明設(shè)AB=a，BC=b，BE=c，則由題設(shè)得A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)．所以，=（0，b，0），=（0，b，0），于是=又點(diǎn)G不在直線BC上，所以四邊形BCHG是平行四邊形.（2）解C、D、F、E四點(diǎn)共面.理由如下：由題設(shè)知F（0，0，2c），所以=（-a，0，c），=（-a，0，c），=.又CEF，H∈FD，故C、D、F、E四點(diǎn)共面.（3）證明由AB=BE，得c=a，所以=（a，0，a），=（a，0，a）.又=（0，2b，0），因此·=0，·=0.即CH⊥AE，CH⊥AD.又AD∩AE=A，所以CH⊥平面ADE.故由CH∩平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE..1．空間的任意三個(gè)向量a，b,3a－2b，它們一定是(A．共線向量B．共面向量C．不共面向量D．既不共線也不共面向量答案B解析如果a，b是不共線的兩個(gè)向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共線，則a，b,3a－22．若a，b是平面α內(nèi)的兩個(gè)向量，則()A．α內(nèi)任意一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0C．若a，b不共線，則空間任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)D．若a，b不共線，則α內(nèi)任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)答案D解析當(dāng)a與b是共線向量時(shí)，A不正確，當(dāng)a與b是相反向量，λ＝μ≠0時(shí)，λa＋μb＝0，故B不正確，若a、b不共線，則平面α內(nèi)的向量都可用a、b表示，對(duì)空間向量不行，故C不正確，D正確，選D.3．有4個(gè)命題：①若p＝xa＋yb，則p與a、b共面；②若p與a、b共面，則p＝xa＋yb；③若=x+y，則P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，則=x+y其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．答案B解析命題①③正確，命題②④不正確.因命題②中若a∥b，則p不能用a，b表示，命題④中，若M、A、B三點(diǎn)共線，則也不能用、表示.4.設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足·=0，·=0，·=0，則△BCD是()A．鈍角三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．不確定答案B5．如圖所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于()B．6C．12答案C解析因?yàn)?++，所以2=2+2+2+2·=36+36+36+2×36cos60=144.所以||=12.6．若四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4，－1))B．(2,3,1)C．(－3,1,5)D．(5,13，－3)答案D7.在△ABC中，已知=（2，4，0），=（1，3，0），則∠ABC=____.答案135°解析因?yàn)?（2，4，0），=（1，3，0），所以·=212+0=10，||=,||=,所以cos〈,〉===.所以∠ABC=135°.8．等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C—AB—D的余弦值為eq\f(\r(3),3)，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則EM、AN所成角的余弦值等于________．答案eq\f(1,6)9.已知P，A，B，C四點(diǎn)共面且對(duì)于空間任一點(diǎn)O都有=2++λ，則λ=_____..答案.解析因?yàn)镻、A、B、C四點(diǎn)共面，所以=x+y+z，且x+y+z=1，所以2++λ=1，得λ=10．命題①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線；②向量a，b，c共面，則它們所在直線也共面；③若a與b共線，則存在惟一的實(shí)數(shù)λ，使b＝λa；④若A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M一定在平面ABC上，且在△ABC內(nèi)部．上述命題中真命題是________．答案④解析①中b為零向量時(shí)，a與c可以不共線，故①是假命題；②中a，b，c所在的直線其實(shí)不確定，故②是假命題；③中當(dāng)a＝0，而b≠0時(shí)，則找不到實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，故③是假命題；④中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC內(nèi)，故④是真命題．11．已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，則λ＝________.答案－eq\f(3,2)解析由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，a2＋λa·b＋a·b＋λb2＝0,18＋λ×3eq\r(2)×4×cos135°＋3eq\r(2)×4×cos135°＋16λ＝0,4λ＋6＝0，λ＝－eq\f(3,2).12.在四面體O-ABC中，=a，=b，=c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則=_____（用a，b，c表示）.答案eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c解析如下圖由三角形法則，易得==ba，==cb，==（cb