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3章立體的投影基本體的投影及其表面上的點(diǎn)平面3.1所示為一個正六棱柱的立體圖和投影圖。在投影圖中，改變投影軸的位置并不如圖3.1(a)所示的正六棱柱，它的上、下底面均為水平面，六個側(cè)棱面中，前后兩個圖3.1(b)所示，例如正六棱柱前后棱面之間的寬度都應(yīng)為y1，點(diǎn)M與后棱面之間的寬度為y2，作圖時一般可直接量取相等距離；也可以如圖3.2(b)所示，添加45°輔助線作圖。在平面立體表面上取點(diǎn)，其原理和方法與平面上取點(diǎn)相同。如圖3.1(b)所示，正六棱表面上點(diǎn)M的正面投影m′，要求出其他投影m，m′′。由于點(diǎn)M的正面投影是可見的，因此，點(diǎn)M必定在ABCD棱面上，而ABCD棱面為鉛垂面，水平投影a(d)b(c)具有積聚性，因此ma(d)b(c)上。由點(diǎn)的投影規(guī)律mm′即可求m′′M所在的表面ABCD的側(cè)面投影可見，故m′′可見。(a)立體 (b)投影3.1正六棱柱的投均為類似形。棱面△SAC為側(cè)垂面，其側(cè)面投影積聚為一直線，其他兩個投影為類似形。AB、BC為水平線，ACSB為側(cè)平線，SA、SC為一般位置直線。它3.2(b)所示，要作正三棱錐的投影，首先畫出三棱錐底面△ABC的各個投影，再作出錐頂S的各個投影，然后連接SA、SB、SC各棱線，即得正三棱錐的投影。(a)立體 (b)投影

3.2正三棱錐的投求兩點(diǎn)M、N的在其余兩投影面上的投影。 3.3正三棱錐表面取對于N3.3(b)所示。根據(jù)點(diǎn)N的水平投n的位置及可見N在正三棱錐S-ABC的側(cè)面SAC上，且平面SAC的側(cè)面投影有積聚性，可利用積聚性求出n′′，nn′′n′N所屬棱面△SACVn′為不可見。M3.3(c)所示。由于它所在的平面△SAB是一般位置平面，其三面投影△SAB平面上作輔助線，連接錐SM并延長AB于點(diǎn)D(即做輔助SD)。具體步驟是：連接線段s′m′，并延長交a′b′于點(diǎn)d′，過點(diǎn)d′，向鉛垂線與ab相交得d，連接sd，即為SD的水平投影m′作鉛垂投sdm，即M點(diǎn)的水平投影點(diǎn)。同理，可d、d′求出d′′，連s′′d′′，即為直SD的側(cè)面投影，過m′作水平線與s′′d′′相交，即得點(diǎn)M的側(cè)面投影m′′。如圖曲面3.4中畫出了球面的水平投影，是球面上的水平大圓的水平投影，這個水平3.4球的水平投影輪廓成[見圖3.5(a)]。)BB1的投影a′a1′b′b1′；在側(cè)面投影上為最最后兩條素線CC1DD1的投影c′′c1′′d′′d1′′。作圖時可先畫出水平投影的圓，再畫出其他兩個投影，結(jié)果如圖3.5(c)所示?？筛鶕?jù)在平面(上、下底圓)3.5(c)所示，已知點(diǎn)M的正面投影m′，由于m′是可見的，因此點(diǎn)M必定半個圓柱面上，水平投影m′m′′。(a)圓柱 (b)立體 (c)投影

3.5圓柱的投3.6(b所示為一軸線垂直于水平面的圓錐，底面為水平面，因此它的水平投影反映實(shí)形(圓，其正面和側(cè)面投影積聚成一直線。對圓錐面要分別畫出決定其投影范圍的外形輪廓線，其中最左素線SA、最右素線SB為圓錐面前后可見和不可見部分的分界線，即前半圓錐面可見，后半圓錐面不可見；在側(cè)面投影中，最前素線SC、最后素線SD是圓錐面左影，最后分別畫出其外形輪廓線，即完成圓錐的各個投影，如圖3.6(c)所示。(a)圓錐 (b)立體 (c)投影

3.6圓錐的投輔助素。如圖3.7(a)所示，過錐頂S與點(diǎn)K作輔助素線SG的三面投影，再點(diǎn)K在右前半圓錐面上，所以k可見，k′′不可見。緯圓法。如圖3.7(b)所示，過點(diǎn)K作平行于錐底的輔助圓，即在正面投影中過k′ 3.7圓錐表面取3.13.8(a)SAB的正面投影，求其水平投影為圓錐面上的曲線，又因a′b′了向W面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線(在軸線處)，所以AB的一a′b′c′3.8(b)所示。a′、b′、c′H和n′，然后，用緯圓法求出相應(yīng)的m、n和m′′、n′′。H面投影時圓錐面是可見面，則其表面上的線均可見，所以，用粗實(shí)saacnmbWC為左、右兩部分可見與不c′′n′′m′′b′′可見，用光滑粗實(shí)線連接；s′′a′′c′′不可見，用細(xì)虛線連接，其s′′a′′cc是橢圓弧與

3.8圓錐表面取3.9(b)所示，圓球的各面投影均為與其直徑相同的圓，但各個投影面上的圓，是(a) (b)立體 (c)投影

3.9球的投影及表面取3.9(c)所示，已知圓球面上M水平投影，作出正面投m′和側(cè)m′′。過點(diǎn)M作平行于正投影面的輔助緯圓，水平投影為12，正面投影是以12為直徑的圓，m′必在該圓上，由m作出m′，再由m、m′求出m′′。點(diǎn)M是半球上，因此正面投影m′可見，同理點(diǎn)M是在左半球上，側(cè)面投影m′′也可見。 3.10環(huán)的投影及表面取立體表面的(a)截交線 (b)截交線 (c)相貫3.11帶有交線的零3.2】3.13S-ABCP，求作截交線的三圖3.12平面截切平面立 圖3.13平面截切三棱PvPv重影，只須求水平投影和Pvs′a′、s′b′、s′c′1′、2′、3′為截平面與各棱線的交點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正3.3】3.14所示為一帶切口的三棱錐。已知一個缺口三棱錐的正面投影，3.14補(bǔ)全缺口三棱錐的水平投影和側(cè)AC，正垂截面分別與△SAB、△SACEFEG。由于組成切口的兩個gf'h'fhf"h"g'h'ghh"g"。3-1平面與圓柱相交的各種情圓3.4】3.15(a) 3.15平面與圓柱相1′′、5′′、3′′、7′′及水平投影1、5、3、7。作一般點(diǎn)。在截交線投影為已知的正面投影上定出一般點(diǎn)的位置，如點(diǎn)4′(6′)和點(diǎn)2′(8′)4、62、8，應(yīng)在圓柱面積聚性投影圓周上，再根據(jù)投影關(guān)系求出其側(cè)面投影4′′、6′′和2′′、8′′，一般點(diǎn)取多少可根據(jù)作圖準(zhǔn)確程度要求而定。圖3.15所示截平面與圓柱軸截交線隨截平面與圓柱軸線夾角β的變化而3.5】3.16所示，已知圓柱上方開一方槽后的正面投影和水平投影，試求由于截P的正面投p′有積聚性，所以ABDE的正面1′2′3′4′與p′ABDE的水平投影(12)和(34)在圓周上積聚成兩點(diǎn)。平面Q與P的情況類似，讀者可自己分析。由于截平面R是一水平面，其正面投影r′有積聚性，所以前半個圓柱面上的交線圓弧的3.16補(bǔ)畫開方槽圓柱的投3-2平面與圓錐相交的各種情且)(=(<圓3.6】3.17(a) 3.17正平面截切圓圓在圓錐表面上取點(diǎn)，求得其水平投影2、4和正面投影2′、4′?！纠?.7】如圖3.18所示，圓錐被正垂面截去左上端，截切掉的圓錐點(diǎn)畫線畫3.18正垂面截切圓3-2可知，截交線是橢圓，其正面投影積聚成2′1′、2′1、2和1′′、2′′，1、2，1′、2′和1′′、2′′也是橢圓長軸端點(diǎn)的三面投影。4′。3′、4′也是最前點(diǎn)和最后點(diǎn)的正面投影?？蛇^3′、4′作輔助水平圓，作出該輔助水平圓的水平投影，采用表面取點(diǎn)的方法，即可由3′、4′求得3、4，再求得3′′、4′′。于圓的直徑，如圖3.19所示。當(dāng)截平面傾斜于投影面時，截交線的投影為一般橢圓?！繄D3.19球面的截交 Qp′′、qp′、q′確定。交線的水平投影也積聚為直′′(3)RRr′，水平投影為13、24r1′′3′′、2′′4圓弧積聚為直線，并且是可見的，而兩平面的交線1′′2′′、3′′4′′為不可見，畫成細(xì)虛線。

3.20半球被平面截】PQP平面P、Q彼此相交于直線段，如圖3.21(a)所示。 3.21頂尖頭部的截交為1′、2′，側(cè)面投影為1′′、2′′，進(jìn)而求出1、2。分界點(diǎn)左邊為雙曲線，其中1、2、3為特殊點(diǎn)，4、5為一般點(diǎn)，具體作圖步驟讀者自己分析。右邊為直線，可直接畫出。兩曲面立體相交三種情況，如圖3.22(a)、(b)、(c)所示。兩立體表面的交線稱為相貫線。(a)兩平面立體相 (b)平面立體與曲面立體相 (c)兩曲面立體相3.22兩立體相交的種】 3.23兩圓柱相V投影輪廓線的交點(diǎn)為相I(1，1′，1′′III(3，3′，3′′)，同時它們又是最高點(diǎn)。從側(cè)面投影中可以直接得到最低點(diǎn)II(2，2′，2′′)IV(4，4′，4′′)，同時它們又是最前點(diǎn)和最后點(diǎn)。5′′、6′′、7′′、8′′，最后由水平、側(cè)面投影求得其正面投影5′、6′、7′、8′。兩內(nèi)表面相交圖[見圖3.24(b)]。 3.24兩圓柱】 3.25軸線交叉的兩圓柱相貫3.26軸線交叉的圓

為最簡單(直線或圓)。另外，有些也可應(yīng)用立體表面上取點(diǎn)、線的方法求之。 3.27輔助平面3.12】圖3.28所示為水平圓柱與半球相交。其公共對稱面平行于V面，故相貫線的正面投影為3.28圓柱與半球的相求一般點(diǎn)?？勺鬏o助平面，如取水平面P，它與圓柱面相交為一對平行直線，與球面相交為圓，直線與圓的水平投影的交點(diǎn)2、6即為共有點(diǎn)Ⅱ、Ⅵ的水平投影，由此可求出正面投影2′、6′這一對重影點(diǎn)的投影。3.13】3.29圓柱與圓錐的相貫V面的輪廓素線彼此相交，交點(diǎn)Ⅰ(1，1′，1為最高點(diǎn)，交點(diǎn)Ⅱ(2，2′，2為最低點(diǎn)，也是最點(diǎn)，交點(diǎn)Ⅳ(4，4′，4′′)為最后點(diǎn)；通過錐頂作與圓柱面相切的側(cè)垂面T，與圓柱面相切于TwV5′′就重合在R6′′、66′。點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ前后對稱，正面投影5′、6′重合。點(diǎn)Ⅴ、Ⅵ為相貫線的最右點(diǎn)。求一般點(diǎn)。為了連點(diǎn)的需要，再作水平面S，找出一般點(diǎn)Ⅶ(7，7′，7′′)、Ⅷ(8，8′，8′′)等。43.14】求圓臺與半圓球相貫線的投影(3.30)3.30圓臺與半圓球的相貫V1'、2'，即為所求正面轉(zhuǎn)向線上的T，它與圓錐面交于側(cè)面投影轉(zhuǎn)向線，與圓球面交于一條側(cè)平半圓，兩者的交點(diǎn)的投影為3"、4"，即為所求圓錐側(cè)面投影轉(zhuǎn)向線上的點(diǎn)。Q，與圓5、65'、6'56"。2'5'3'1'，后一3"5"2"6"43"(1)4位于圓面投影輪廓線的交點(diǎn)的連線(3.33)。如兩回轉(zhuǎn)面相交，以軸線的交點(diǎn)作為球心作一球Ⅵ即為兩曲面的共有點(diǎn)，即相貫線上的點(diǎn)(見圖3.31)。如球面的半徑變化則可求出一系列3.31圓柱與圓錐斜交時相R3A、Ba'、b'以及球面與圓柱面的交線圓C的正面投影c′，這兩組圓的正面投影相交，交點(diǎn)3'(4)、5'(6')即為兩曲面的共有點(diǎn)Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的正面投影。再作若干不同半徑的同心球面，可的水平圓的水平投影后即可求得5、6點(diǎn)。9、10是可見部分與不可見部分的分界點(diǎn)，因此左面部分的連線9-5-2-6-l0畫成細(xì)虛線，其余均畫成粗實(shí)線。(a 3.32公切于同一個球的圓柱、圓錐的見圖(a

3.33兩個同軸回轉(zhuǎn)體的相貫 3.34圓柱、圓錐相貫的特殊情的形狀，還要看它們與投影面的相對位置。見表3-3，分別以圓柱與圓柱相貫和圓柱與圓3-4所示3-3立體的形狀及相對位置對相貫線的影貫貫3-4立體的尺寸變化對相貫線的影】是圓柱與圓球的相貫線A、圓柱與圓錐的相貫線B、圓錐與圓球的相貫線C組合而成。欲求出組合相貫線，應(yīng)分別求出相貫線A、B、C以及它們的分界點(diǎn)，A。由于圓柱的軸線通過球心(共軸的兩回轉(zhuǎn)體)，因此相貫線為一圓，且面V