快速傅里葉變換

快速傅里葉變換（fastFouriertransform）,即利用計(jì)算機(jī)計(jì)算離散傅里葉變換（DFT）的高效、快速計(jì)算方法的統(tǒng)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)FFT?？焖俑道锶~變換是1965年由J.W.庫(kù)利和T.W圖基提出的。采用這種算法能使計(jì)算機(jī)計(jì)算離散傅里葉變換所需要的乘法次數(shù)大為減少，特別是被變換的抽樣點(diǎn)數(shù)N越多，F(xiàn)FT算法計(jì)算量的節(jié)省就越顯著。簡(jiǎn)要介紹編輯有限長(zhǎng)序列可以通過(guò)離散傅里葉變換（DFT）將其頻域也離散化成有限長(zhǎng)序列。但其計(jì)算量太大，很難實(shí)時(shí)地處理問(wèn)題，因此引出了快速傅里葉變換（FFT）.1965年，Cooley和Tukey提出了計(jì)算離散傅里葉變換（DFT）的快速算法，將DFT的運(yùn)算量減少了幾個(gè)數(shù)量級(jí)。從此，對(duì)快速傅里葉變換（FFT）算法的研究便不斷深入，數(shù)字信號(hào)處理這門(mén)新興學(xué)科也隨FFT的出現(xiàn)和發(fā)展而迅速發(fā)展。根據(jù)對(duì)序列分解與選取方法的不同而產(chǎn)生了FFT的多種算法，基本算法是基2DIT和基2DIF。FFT在離散傅里葉反變換、線性卷積和線性相關(guān)等方面也有重要應(yīng)用?？焖俑凳献儞Q（FFT），是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對(duì)離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。它對(duì)傅氏變換的理論并沒(méi)有新的發(fā)現(xiàn)，但是對(duì)于在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或者說(shuō)數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散傅立葉變換，可以說(shuō)是進(jìn)了一大步。x（n）為N項(xiàng)的復(fù)數(shù)序列，由DFT變換，任一X（m）的計(jì)算都需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法，而一次復(fù)數(shù)乘法等于四次實(shí)數(shù)乘法和兩次實(shí)數(shù)加法，一次復(fù)數(shù)加法等于兩次實(shí)13?,快速傅里葉變換數(shù)加法，即使把一次復(fù)數(shù)乘法和一次復(fù)數(shù)加法定義成一次“運(yùn)算”（四次實(shí)數(shù)乘法和四次實(shí)數(shù)加法），那么求出N項(xiàng)復(fù)數(shù)序列的X（m），即N點(diǎn)DFT變換大約就需要NA2次運(yùn)算。當(dāng)N=1024點(diǎn)甚至更多的時(shí)候，需要N2=1048576次運(yùn)算，在FFT中，利用WN的周期性和對(duì)稱(chēng)性，把一個(gè)N項(xiàng)序列（設(shè)N=2k,k為正整數(shù)），分為兩個(gè)N/2項(xiàng)的子序列，每個(gè)N/2點(diǎn)DFT變換需要（N/2）A2次運(yùn)算，再用N次運(yùn)算把兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT變換組合成一個(gè)N點(diǎn)的DFT變換。這樣變換以后，總的運(yùn)算次數(shù)就變成N+2*（N/2）A2=N+NA2/2O繼續(xù)上面的例子，N=1024時(shí)，總的運(yùn)算次數(shù)就變成了525312次，節(jié)省了大約50%的運(yùn)算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進(jìn)行下去，直到分成兩兩一組的DFT運(yùn)算單元，那么N點(diǎn)的DFT變換就只需要Nlog2N次的運(yùn)算，N在1024點(diǎn)時(shí)，運(yùn)算量?jī)H有10240次，是先前的直接算法的1%，點(diǎn)數(shù)越多，運(yùn)算量的節(jié)約就越大，這就是FFT的優(yōu)越性?；舅枷刖庉婩FT的基本思想是把原始的N點(diǎn)序列，依次分解成一系列的短序列。充分利用DFT計(jì)算式中指數(shù)因子所具有的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和周期性質(zhì)，進(jìn)而求出這些短序列相應(yīng)的DFT并進(jìn)行適當(dāng)組合，達(dá)到刪除重復(fù)計(jì)算，減少乘法運(yùn)算和簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)的目的。此后，在這思想基礎(chǔ)上又開(kāi)發(fā)了高基和分裂基等快速算法，隨著數(shù)字技術(shù)的高速發(fā)展，1976年出現(xiàn)建立在數(shù)論和多項(xiàng)式理論基礎(chǔ)上的維諾格勒傅里葉變換算法（WFTA）和素因子傅里葉變換算法。它們的共同特點(diǎn)是，當(dāng)N是素?cái)?shù)時(shí)，可以將DFT算轉(zhuǎn)化為求循環(huán)卷積，從而更進(jìn)一步減少乘法次數(shù)，提高速度。算法類(lèi)型編輯FFT算法很多，根據(jù)實(shí)現(xiàn)運(yùn)算過(guò)程是否有指數(shù)因子WN可分為有、無(wú)指數(shù)因子的兩類(lèi)算法。有指數(shù)因子的算法經(jīng)典庫(kù)利-圖基算法當(dāng)輸入序列的長(zhǎng)度N不是素?cái)?shù)（素?cái)?shù)只能被1而它本身整除）而是可以高度分解的復(fù)合數(shù)，即心呻廠卬時(shí)，若Ni=N2=^=N=2,N=2則N點(diǎn)DFT的計(jì)算可分解為N=2xN/2，即兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT計(jì)算的組合，而N/2點(diǎn)DFT的計(jì)算又可分解為N/2=2xN/4,即兩個(gè)N/4點(diǎn)DFT計(jì)算的組合。依此類(lèi)推，使DFT的計(jì)算形成有規(guī)則的模式，故稱(chēng)之為以2為基底的FFT算法。同理，當(dāng)N=4時(shí)，則稱(chēng)之為以4為基底的FFT算法。當(dāng)N=N1-N2時(shí)，稱(chēng)為以N1和N2為基底的混合基算法。在這些算法中，基2算法用得最普遍。通常按序列在時(shí)域或在頻域分解過(guò)程的不同，又可分為兩種：一種是時(shí)間抽取FFT算法(DIT)，將N點(diǎn)DFT輸入序列x(n)、在時(shí)域分解成2個(gè)N/2點(diǎn)序列而x1(n)和x2(n)。前者是從原序列中按偶數(shù)序號(hào)抽取而成，而后者則按奇數(shù)序號(hào)抽取而成。DIT就是這樣有規(guī)律地按奇、偶次序逐次進(jìn)行分解所構(gòu)成的一種快速算法。分裂基算法(RSFFT)1984年由P.杜哈美爾和H.赫爾曼等導(dǎo)出的一種比庫(kù)利圖基算法更加有效的改進(jìn)算法，其基本思想是在變換式的偶部采用基2算法，在變換式的奇部采用基4算法。優(yōu)點(diǎn)是具有相對(duì)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，非常適用于實(shí)對(duì)稱(chēng)數(shù)據(jù)，對(duì)長(zhǎng)度N=2能獲得最少的運(yùn)算量(乘法和加法)，所以是選用固定基算法中的一種最佳折衷算法。計(jì)算方法編輯計(jì)算離散傅里葉變換的快速方法，有按時(shí)間抽取的FFT算法和按頻率抽取的FFT算法。前者是將時(shí)域信號(hào)序列按偶奇分排，后者是將頻域信號(hào)序列按偶奇分排。它們都借助于的兩個(gè)特點(diǎn)：一是周期性；二是對(duì)稱(chēng)性，這里符號(hào)*代表其共軛。這樣，便可以把離散傅里葉變換的計(jì)算分成若干步進(jìn)行，計(jì)算效率大為提高。時(shí)間抽取算法令信號(hào)序列的長(zhǎng)度為N=2,其中M是正整數(shù)，可以將時(shí)域信號(hào)序列x(n)分解成兩部分，一是偶數(shù)部分x(2n)，另一是奇數(shù)部分x(2n+1)，于是信號(hào)序列x(n)的離散傅里葉變換可以用兩個(gè)N/2抽樣點(diǎn)的離散傅里葉變換來(lái)表示和計(jì)算。考慮到和離散傅里葉變換的周期性，式⑴可以寫(xiě)成⑶其中(4a)(4b)由此可見(jiàn)，式⑷是兩個(gè)只含有N/2個(gè)點(diǎn)的離散傅里葉變換，G(k)僅包括原信號(hào)序列中的偶數(shù)點(diǎn)序列，H(k)則僅包括它的奇數(shù)點(diǎn)序列。雖然k=0，1,2,…，N-1,但是G(k)和H(k)的周期都是N/2，它們的數(shù)值以N/2周期重復(fù)。因?yàn)橛谑怯墒舰呛褪舰鹊玫?5a)(5b)因此，一個(gè)抽樣點(diǎn)數(shù)為N的信號(hào)序列x(n)的離散傅里葉變換，可以由兩個(gè)N/2抽樣點(diǎn)序列的離散傅里葉變換求出。依此類(lèi)推，這種按時(shí)間抽取算法是將輸入信號(hào)序列分成越來(lái)越小的子序列進(jìn)行離散傅里葉變換計(jì)算，最后合成為N點(diǎn)的離散傅里葉變換。通常用圖1中蝶形算法的信號(hào)流圖來(lái)表示式⑸的離散傅里葉變換運(yùn)算。例如，N=8=2的抽樣點(diǎn)的信號(hào)序列x(n)的離散傅里葉變換，可用如圖2所示的FET算法的信號(hào)流圖來(lái)計(jì)算。N=2點(diǎn)的離散傅里葉變換的計(jì)算全由蝶形運(yùn)算組成，需要M級(jí)運(yùn)算，每級(jí)包括N/2個(gè)蝶形運(yùn)算，總共有個(gè)蝶形運(yùn)算。所以，總的計(jì)算量為次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和Nlog2N次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。FFT算法按級(jí)迭代進(jìn)行，計(jì)算公式可以寫(xiě)成⑹N抽樣點(diǎn)的輸入信號(hào)具有N個(gè)原始數(shù)據(jù)x0(n),經(jīng)第一級(jí)運(yùn)算后，得出新的N個(gè)數(shù)據(jù)x1(n)，再經(jīng)過(guò)第二級(jí)迭代運(yùn)算，又得到另外N個(gè)數(shù)據(jù)x2(n)，依此類(lèi)推，直至最后的結(jié)果x(k)=xM(k)=X(k)在逐級(jí)迭代計(jì)算中，每個(gè)蝶形運(yùn)算的輸出數(shù)據(jù)存放在原來(lái)存貯輸入數(shù)據(jù)的單元中，實(shí)行所謂“即位計(jì)算”，這樣可以節(jié)省大量存放中間數(shù)據(jù)的寄存器。蝶形運(yùn)算中加權(quán)系數(shù)隨迭代級(jí)數(shù)成倍增加。由圖2可以看出系數(shù)的變化規(guī)律。對(duì)于N=8,M=3情況，需進(jìn)行三級(jí)迭代運(yùn)算。在第一級(jí)迭代中，只用到一種加權(quán)系數(shù)；蝶形運(yùn)算的跨度間隔等于1。在第二級(jí)迭代中，用到兩種加權(quán)系數(shù)即、；蝶形運(yùn)算的跨度間隔等于2。在第三級(jí)迭代中，用到4種不同的加權(quán)系數(shù)即、、、；蝶形運(yùn)算的跨度間隔等于4?？梢?jiàn)，每級(jí)迭代的不同加權(quán)系數(shù)的數(shù)目比前一級(jí)迭代增加一倍；跨度間隔也增大一倍。輸入數(shù)據(jù)序列x(n)需重新排列為x(0)、x(4)、x(2)、x(6)、x(l)、x(5)、照)、*7)，這是按照二進(jìn)制數(shù)的碼位倒置所得到的反序數(shù)，例如N=8中數(shù)“1”的二進(jìn)制數(shù)為“001”，將其碼位倒轉(zhuǎn)變?yōu)椤?00”，即為十進(jìn)制數(shù)“4”。頻率抽取算法按頻率抽取的FFT算法是將頻域信號(hào)序列X(k)分解為奇偶兩部分，但算法仍是由時(shí)域信號(hào)序列開(kāi)始逐級(jí)運(yùn)算，同樣是把N點(diǎn)分成N/2點(diǎn)計(jì)算FFT，可以把直接計(jì)算離散傅里葉變換所需的N次乘法縮減到次。在N=2的情況下，把N點(diǎn)輸入序列x(n)分成前后兩半⑺時(shí)間序列x1(n)±x2(n)的長(zhǎng)度為N/2,于是N點(diǎn)的離散傅里葉變換可以寫(xiě)成(8a)(8b)頻率信號(hào)序列X(2l)是時(shí)間信號(hào)序列x1(n)+x2(n)的N/2點(diǎn)離散傅里葉變換，頻率信號(hào)序列X(2l+1)是時(shí)間信號(hào)序列【x1(n)-x2(n)】的N/2點(diǎn)離散傅里葉變換，因此，N點(diǎn)離散傅里葉變換的計(jì)算，通過(guò)兩次加(減)法和一次乘法，從原來(lái)序列獲得兩個(gè)子序列，所以，頻率抽取算法也具有蝶形運(yùn)算形式。以2為基數(shù)的FFT基本蝶形運(yùn)算公式為⑼其計(jì)算量完全和時(shí)間抽取算法一樣，即只需次乘法運(yùn)算和Nlog2N次加(