全國注冊電氣工程師供配電基礎(chǔ)高等數(shù)學課件

1.8線性代數(shù)一、行列式二、矩陣三、n維向量四、線性方程組五、矩陣的特征值和特征向量六、二次型把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）．個不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示，且．1.階行列式概念1.8.1行列式全排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．在一個排列中，若數(shù)，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序．一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．逆序數(shù)n階行列式的定義余子式與代數(shù)余子式2.n階行列式的性質(zhì)3.克拉默法則定理定理4.行列式計算二階、三階行列式用對角線法利用行列式性質(zhì)化為上下三角利用展開定理降階P54例1-49,1-50例1解方程左端例2計算下列排列的逆逆序數(shù)，并討論它它們的奇偶性.解此排列為偶排列.例31.8.2矩矩陣1.矩陣的概念記作簡記為2）兩個矩陣為同型矩陣,并且對應元素相等,即則稱矩陣相等,記作同型矩陣與矩陣相相等1）兩個矩陣的行行數(shù)相等,列數(shù)相相等時,稱為同型矩陣.2.幾種特殊矩陣陣(2)只有一行的的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,不全為0記作

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)數(shù)的零矩矩陣是不不相等的的.例如(5)單單位陣：對角角線上全全為1的的對角陣陣稱為單位矩陣陣（或單位陣）.全為1(6)對對稱矩陣陣定義設(shè)為階方陣，如果A的元素滿足那末稱為對稱陣.對稱陣的的元素以以主對角角線為對對稱軸對對應相等等.說明定義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)稱為矩陣的伴隨矩陣.(7）伴伴隨矩陣陣1)加加法設(shè)有兩個矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為3.矩陣陣的運算算2)數(shù)數(shù)與矩陣陣相乘矩陣相加加與數(shù)乘乘矩陣合合起來,統(tǒng)稱為為矩陣的的線性運算算.并把此乘乘積記作作3)矩矩陣與矩矩陣相乘乘設(shè)是一個矩陣，是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中注意只有當?shù)诘谝粋€矩矩陣的列列數(shù)等于于第二個個矩陣的行數(shù)時時，兩個個矩陣才才能相乘乘.例4注：（1）矩矩陣乘法法一般不滿滿足交換律；；（其中為數(shù)）;

若A是階方陣，則為A的次冪，即并且（注：單位矩矩陣E在在矩陣乘乘法中的的作用類類似于數(shù)數(shù)1）定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例4）矩陣陣的轉(zhuǎn)置置轉(zhuǎn)置矩陣陣的運算算性質(zhì)注：若A為對稱陣陣，則5）方陣的的行列式定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運算性質(zhì)6）逆矩陣陣定義

對于階方陣，如果有一個階方陣

則說方陣是可逆的，并把方陣稱為的逆矩陣.使得定理1

方陣可逆的充要條件是，且

二階矩陣的的逆矩陣用用該公式求求，三階及及以上矩陣陣的逆矩陣陣用初等變變換求。逆矩陣的運運算性質(zhì)解：P57例例1-51定義1下面三種變變換稱為矩矩陣的初等等行變換:5.矩陣的的初等變換換定義2矩矩陣陣的初等行行變換與初初等列變換換統(tǒng)稱為初等變換．．初等變換的的逆變換仍仍為初等變變換,且且變換類型型相同．同理可定義義矩陣的初初等列變換換(所用記號號是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換初等變換的的作用1)求逆矩矩陣2)求矩陣陣和向量組組的秩3)解線性性方程組6.矩陣的的秩求矩陣秩的的方法：把矩陣用初初等行變換換變成為行行階梯形矩矩陣，行階階梯形矩陣陣中非零行行的行數(shù)就就是矩陣的的秩.例6解由階梯形矩矩陣有三個個非零行可可知1.8.3n維向量若干個同維維數(shù)的列向向量（或同同維數(shù)的行行向量）所所組成的集集合叫做向向量組．1.向向量及向量量組的概念念2.向量組組的線性相相關(guān)性1)線線性組合2)一個個向量能由由一個向量量組線性表表示3)兩兩個向量組組等價定理1解：考慮定義則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．由定義可得得：1、任一向向量組不是是線性相關(guān)關(guān)就是線性性無關(guān)。2、含零向量的的向量組一一定線性相相關(guān)。3、單個非非零向量一一定是線性性無關(guān)。4、兩個向向量線性相相關(guān)的充分分必要條件件是對應分分量成比例例。定理2解例8定理（1）部分分相關(guān)整體體相關(guān)。（2）線性性無關(guān)的向向量組，將將分量延長后仍然然線性無關(guān)關(guān)。（3）m個n維向量，當當維數(shù)n小于向量個數(shù)數(shù)m時一定線性性相關(guān)。3.最大大無關(guān)組與與向量組的的秩定義注：只含零向量量的向量組組沒有最大大無關(guān)組，，規(guī)定它的的秩為0.推論1推論21.8.4線性性方程組1.線性性方程組有有解的判定定條件基礎(chǔ)解系的的定義2.線性性方程組解解的結(jié)構(gòu)其中為對應齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.非齊次線性性方程組的的通解非齊次線性性方程組Ax=b的通解為齊次線性方方程組：系數(shù)矩陣陣化成行最最簡形矩陣陣，便可寫寫出其通解解；非齊次線性性方程組：：增廣矩陣化化成行階梯梯形矩陣，，便可判斷斷其是否有有解．若有有解，化成成行最簡形形矩陣，便便可寫出其其通解；3.線性性方程組的的解法例9求解齊次線線性方程組組解即得與原方方程組同解解的方程組組由此即得例10求解非齊次次方程組的的通解解對增廣矩陣陣B進行