中考總復(fù)習(xí)圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系知識講解(提高)

最新整理最新整理..中考總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系—知識講解（提高）撰稿：張曉新審稿：杜少波【考綱要求】趨勢，不會有太復(fù)雜的大題出現(xiàn)；生活．【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1．圓的有關(guān)概念圓、圓心、半徑、等圓；弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等??；三角形的外接圓、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)心、圓心角、圓周角．要點詮釋：等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?．圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸；圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性．3．圓的確定不在同一直線上的三個點確定一個圓．要點詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。?．垂直于弦的直徑垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普撈椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?1)直徑CD(2)CA(3)A＝M(4)AC?C(5)AD?D．若上述5個條件有2個成立，則另外3個也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理注意：(1)(3)作條件時，應(yīng)限制AB圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也相等．圓周角1在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．2要點詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中．圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角（即它的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的對角考點二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系點和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝dPd＞r；PPd＜r．要點詮釋：圓的確定：①過一點的圓有無數(shù)個，如圖所示．②過兩點A、B的圓有無數(shù)個，如圖所示．③經(jīng)過在同一直線上的三點不能作圓．④不在同一直線上的三點確定一個圓．如圖所示．直線和圓的位置關(guān)系切線的判定切線的性質(zhì)切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點的半徑．切線長和切線長定理切線長經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．要點詮釋：直線l是⊙Ol上的一點三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.要點詮釋：任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S的一半，即(S名稱外心(三角形確定方法三角形三邊中垂線的圖形性質(zhì)(1)到三角形三個頂點的距外接圓的圓心)交點離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)

三角形三條角平分線的交點

(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.(1)基本概念兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義．(2)請看下表：要點詮釋：①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)含．其中相切和相交是重點．②同心圓是內(nèi)含的特殊情況．③圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個圓的相對運動來理解．④“R-r”時，要特別注意，R＞r．考點三、與圓有關(guān)的規(guī)律探究和圓有關(guān)的最長線段和最短線段論述．圓中最長的弦是直徑．如圖①，AB是⊙O的直徑，CD為非直徑的弦，則AB＞CD，即直徑AB是最長的弦．O內(nèi)任意一點，過點POAB，過PCD⊥ABP，則CDP圓外一點與圓上一點的連線中，最長的線段與最短的線段都在過圓心的直線上．OPOOA，延長PO⊙OB，則在點POPAO內(nèi)一點，直徑過點P于、B兩點，則PBPA與三角形內(nèi)心有關(guān)的角1IABCBIC92A．1EABC的兩外角平分線的交點，BEC902A．ABCE

1A．2ABC、EF1O是△ABC、F為切點，DFE92A．OABCEFP為DE上一點，則DPE

12A．【典型例題】1．已知：如圖所示，⊙O中，半徑OA＝4，弦BC經(jīng)過半徑OA的中點P，∠OPC＝60°，求弦BC的類型一、圓的性質(zhì)及垂徑定理的應(yīng)用1．已知：如圖所示，⊙O中，半徑OA＝4，弦BC經(jīng)過半徑OA的中點P，∠OPC＝60°，求弦BC的長．【思路點撥】要用好60直角三角形．【答案與解析】解：過O作OM⊥BC于M，連接OC．在Rt△OPM中，∠OPC＝60°，1OP

2OA2，∴PM＝1，OM＝3Rt△OMCBC＝2MC＝2OC2OM2213．【總結(jié)升華】圓的半徑、弦長的一半、弦心距三條線段組成一個直角三角形，其中一個銳角為弦所對圓心角的一半，可充分利用它們的關(guān)系解決有關(guān)垂徑定理的計算問題．2．O2．O中，弦AB與CD相交于點M，AD?C，連接A．若ACO【思路點撥】證明∠MCA＝∠MAC；(2)證明△AOM∽△ABC．【答案與解析】(1)∵AD?BMC＝MA．∴△MAC是等腰三角形．連接OM．∵ACOABC＝90°．∵△MAC是等腰三角形，OA＝OC，∴MO⊥AC．∴∠AOM＝∠ABC＝90°．∵∠MAO＝∠CAB，∴△AOM∽△ABC，AO AB∴AM

AC

，∴AO·AC＝AM·AB，∴AC2＝2AM·AB．【總結(jié)升華】形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，涉及面較廣，難度適中．舉一反三：變式】如圖所示，在中，AB＝2CD，則( )AB?C．AB?AB?D．AB與?D的大小關(guān)系無法確定【答案】解：要比較AB與?D的大小有兩種思路．把AB的一半作出來，比較1AB與?D的大??；2把?D作出來，比較AB與?D的大小．如圖所示，作O⊥A，垂足為，交AB于．則AF?F，且AE12

AB．∵AB＝2CD．∴AE＝CD．在Rt△AFE中，AF＞AE＝CD．∴AF＞CD．∴2AF?D，即AB?D．答案A.【高清課堂：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系ID:412074 經(jīng)典例題2】3．3．⊥半徑AOD．4若BD＝4.8，sinC＝5，求⊙O【思路點撥】OOE⊥ABE，連接BO，【答案與解析】)過OOE⊥ABE，1連接BO(如圖所示)，則C2BOAAOE．又∵BD⊥AO，∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠AOE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠AOE＝∠C．（2）在Rt△ABDsinABDAD，ABAD 4∴ABsinC5．設(shè)AD＝4k，則AB＝5k，BD＝3k＝4.8，k＝1.6．∴AB＝8，AE＝4．∵sinAOEAEOA

4，∴

4

．∴OA＝5．）延長AOO于（如圖所示）∴∠C′＝∠C．∵AC′為⊙O的直徑，∴∠ABC′＝90°．∴∠C′+∠BAD＝90°．∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C′＝∠C．（2）在Rt△BDCsinCsinC

BDBC，∴BC

4.80.86．Rt△ABC′中，∵sinC

AB 4 ，AC 5∴設(shè)AB＝4k，則AC′＝5k，BC′＝3k＝6．∴k＝2．∴OA1AC1105．2 2【總結(jié)升華】圓周角的頂點移動到使其一邊經(jīng)過圓心．4．已知：如圖所示，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝30°，M是OA上一點，過M作AB的垂線交AC于類型二、圓的切線判定與性質(zhì)的應(yīng)用4．已知：如圖所示，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝30°，M是OA上一點，過M作AB的垂線交AC于N，交BC的延長線于點E，直線CFEN于點F(1)求證：CFO(2)設(shè)⊙O的半徑為1，且AC＝CE，求MO的長．【思路點撥】連接OC，證OC⊥CF是證切線的常用方法．【答案與解析】證明連接OC．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°．在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE＝90°，∴∠E＝30°．∴∠E＝∠ECF，∴∠ECF＝30°．∴∠ECF+∠OCB＝90°．又∵∠ECF+∠OCB+∠OCF＝180°，∴∠OCF＝90°．∴CF為⊙O的切線．解在Rt△ACB∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝AB·cos30°＝21BC＝AB·sin30°＝2×2

3 3，2＝1．∵AC＝CE，∴BE＝BC+CE＝1+3．在Rt△BEM中，∠E＝30°，∠BME＝90°，1 1 3∴MB＝BE·sin30°＝(1 3) ．2 21 3∴MO＝MB－OB＝

1

31．2 2【總結(jié)升華】有關(guān)切線的判定，主要有兩種類型，若題目已經(jīng)給出了直線與圓有公共點，可采用“連半徑證垂線段等于半徑”的方法，簡稱“作垂直證半徑舉一反三：【變式】如圖所示，△ABC中，AB＝C，BC＝a，CA＝b，面積為S．⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，求內(nèi)切圓半徑r．【答案】解：連接OD、OE、OF、OA、OB、OC，則OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，∴SS △ABO

1cr1(abc)r，△BCO 2 2∴S

1ar1br1cr1(abc)r，2 2 2 2∴r

2Sabc．5．如圖所示，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切線，ED⊥AB于F．類型三、切線的性質(zhì)與等腰三角形、勾股定理綜合運用5．如圖所示，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切線，ED⊥AB于F．判斷△DCE設(shè)⊙O的半徑為1，且OF 31，求證△DCE≌△OCB．2【思路點撥】【思路點撥】（1）由于AB是直徑，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，結(jié)合OA=OC，易證△AOC是正三角形，于是∠OCD=60°，結(jié)合CD是切線，易求∠DCE=30°，在Rt△AEF中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E，可證△CDE為等腰三角形；2在R△ABC∠A=60°AB=AC=AO=BC=3CE=AE-AC=3，那么BC=CE，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，從而可證△OBC≌△DCE．【答案與解析】解：(1)∵∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°．又∵OA＝OC，∴△AOC是正三角形．∵CD是切線，∴∠OCD＝90°．∴∠DCE＝180°-60°＝90°－30°．∴∠DCE＝∠DECED⊥ABF，∴∠CED＝90°－∠BAC＝30°．故△CDE為等腰三角形．(2)證明：在△ABC中，3∵AB＝2，AC＝AO＝1，∴BC＝ ．3OF

31，∴AFAOOF2

312．又∵∠AEF＝30°，∴AE＝2AF＝31．∴CE＝AE－AC＝3＝BC．而∠OCB＝∠ACB－∠ACO＝30°＝∠ABC，故△CDE≌△COB．【總結(jié)升華】舉一反三：變式如圖所示以PQ為直徑的圓與一個以5為半徑的圓相切于點正方形ABCD的頂點A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點Q，則AB＝ ．【答案】解：連接PQ并延長交AB于E，設(shè)大圓的圓心為O，連接OA．設(shè)AB＝2x，則AE＝x，OB＝2x-2．在Rt△OAE中，OA＝5，∵OA2＝OE2+AE2，即52＝(2x-2)2+x2，∴x＝3．∴AB＝6．答案：66．如圖所示，⊙O的直徑AB＝4，點P是AB延長線上的一點，PC切⊙O于點C，連接AC．PM平分∠APCACM．6．如圖所示，⊙O的直徑AB＝4，點P是AB延長線上的一點，PC切⊙O于點C，連接AC．PM平分若∠CPA＝30°，求CPCMPPAB化，請求出∠CMP的度數(shù)；PBA⊙OC，那么∠CMP【思路點撥】作輔助線，連接OC作輔助線，連接OC的值和OC的長，可將PC1（∠COP+∠CPO），故∠CMP2【答案與解析】解:(1)連接OC，則∠OCP＝90°．∵OA＝OC，∴∠COP＝2∠CAP＝60°．∴CP＝OC·tan60°＝1AB·tan60°＝2 3，2∴CP＝2 3．∵PM平分∠CPA，∴MPA1CPA1(9COP)1(960)15．2 2 2∴∠CMP＝30°+15°=45°.(2)設(shè)∠CPA＝α，∵PM平分∠CPA，∴∠MPA＝1∠CPA1．2 2∵∠OCP＝90°，∴∠COP＝90°-α．又∵OOC，∴CAP＝1(9)．2∴∠CMP＝∠CAP+∠MPA

1(9)145．2 2（3）∠CMP的大小沒有變化（3）∠CMP的大小沒有變化∵∠CM