例說導(dǎo)數(shù)研究問題中“構(gòu)造函數(shù)”的方法

PAGE例說導(dǎo)數(shù)研究問題中“構(gòu)造函數(shù)”的方法郭世峰孫桂萍(甘肅省渭源縣第二中學(xué))【摘要】函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的解題思想和方法，也是中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面，數(shù)學(xué)解題中，可根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，抓住自變量，構(gòu)造合理的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，進一步研究函數(shù)的零點，達到比較實數(shù)的大小、研究函數(shù)、方程、不等式的目的?！娟P(guān)鍵詞】構(gòu)造函數(shù)導(dǎo)數(shù)方程不等式導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要方法,函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的解題思想和方法，也是中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面，如果在數(shù)學(xué)問題中合理構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象，進一步利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值得的方法等，研究函數(shù)的零點，方程、解不等式或證明不等式，比較實數(shù)的大小，可起到事半功倍的作用。下面結(jié)合一些具體的題目，就合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的方法和技巧進行分析。一、利用數(shù)學(xué)運算式中的相同點構(gòu)造函數(shù)例1.已知,則A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c解析：由于所以f(x)在上是減函數(shù)，又e<3<5,因而a>b>c，選A.點評：本題通過比較a、b、c之間的相同點，構(gòu)造函數(shù)f(x),通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系，可以得到函數(shù)在需要區(qū)間上的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性，由自變量e、3、5的大小關(guān)系，輕松比較a、b、c的大小關(guān)系。例2（2020年全國卷Ⅱ--12題）.若，則A.ln(y-x+1)>0B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0解析：原不等式可化為，令，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，顯然f(x)在R上是增函數(shù)，所以由f(x)<f(y)可得x<y,因此y-x+1>1,ln(y-x+1)>0,選A.點評：抓住2x與2y底數(shù)相同都是2，3-x與3-y底數(shù)相同都是3指數(shù)相同點構(gòu)造函數(shù)，再利用y=2x是增函數(shù)及y=3-x是減函數(shù)，易得函數(shù)是增函數(shù)，利用函數(shù)值大的自變量也大，可知x、y的大小關(guān)系。二、利用導(dǎo)數(shù)的運算法則構(gòu)造函數(shù)例3.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足且f(1)=0,則關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為（）A.B.C.D.解析：設(shè)，則因為，所以>0因此，g(x)在R上是增函數(shù)，又f(1)=0，所以不等式f(x)>0等價于g(x)>g(1),即x>1,故選D.點評:本題巧用,運用商的導(dǎo)數(shù)運算法則，構(gòu)造函數(shù)g(x)，再利用，及可得>0,從而函數(shù)g(x)是增函數(shù)，由f(x)>f(1)得x>1,順利將抽象不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題。例4.已知函數(shù)若存在，使得則實數(shù)b的取值范圍是.解析：因為等價于（x>0）,即>0,設(shè)g(x)=xf(x),即g(x)=,所以，需要存在，使得，也就是，設(shè)，所以h(x)在[1,2]上是增函數(shù)，故，因此，所以實數(shù)b的取值范圍是.點評：這里巧用積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g,(x)，構(gòu)造g(x)及h(x)解題，避免了對f(x)求導(dǎo)的復(fù)雜運算，簡化了解題過程。例5.（2015年高考全國卷.理科.12）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)x>0時，＜0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是A．B．C．D．解析:設(shè)g(x)=(x>0),則=，由＜0知所以g（x）在（0，）上是減函數(shù)，又f（x）是R上的奇函數(shù)，f（-1）=0因此f(0)=0,f(1)=0,f(x)>0等價于x>0時，g（x）>0，x<0時，g（x）<0.由于g(x)是偶函數(shù)，所以不等式f(x)>0等價于或即或，因此x>1或-1<x<0,選B.點評:此題運用商的導(dǎo)數(shù)法則,構(gòu)造函數(shù)g(x),利用f（x）的奇偶性、單調(diào)性得到g(x)的奇偶性、單調(diào)性，及其特殊值g（-1）=g（1）=0，解決抽象不等式的解集。三、利用方程的解構(gòu)造函數(shù)例6.已知函數(shù)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)-3<a<0時，證明f(x)>4.分析：（1）（2）由（1）知又構(gòu)造函數(shù)則故所以，即所以f(x)>4.點評：直接計算f(x)的最小值非常困難，但巧妙運用“設(shè)而不求”思想，構(gòu)造以x2為自變量的函數(shù)g(x)，就可求出f(x)最小值的范圍，達到證明不等式的目的。例7.(1)試比較2lnx與的大?。?）若函數(shù)f(x)=x-lnx-m的兩個零點分別為x1,x2.①求m的取值范圍.②證明：x1+x2<2m.分析：（1）設(shè)，則所以g(x)在又g(1)=0,所以所以當(dāng)0<x<1時，，x=1時，當(dāng)x>1時（2）①所以當(dāng)0<x<1時，,x>1時，因此f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.即f(x)min=f(1)=1-m因為f(x)有兩個零點，所以1-m<0,故m>1.②因為x1、x2是f(x)的兩個零點，不妨設(shè)x1<x2,則0<x1<1<x2.所以x1-lnx1-m=0,x2-lnx2-m=0因此x1-m=lnx1>,x2-m=lnx2<即由于，所以，故x1+x2<2m.點評：本題通過構(gòu)造函數(shù)，利用它的單調(diào)性：及其特殊值f(1)=0,得出了2lnx與的大小，并以此為根據(jù)，推出從而證明x1+x2<2m。四、分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)求最值例8.已知函數(shù)f(x)=2alnx+x.(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點（1，f(1)）處的切線在x軸上的截距為2，求實數(shù)a的值.（2）若2alnx+x-e+1<0對任意的成立，求實數(shù)a的取值范圍.解析：（1）函數(shù)f(x)的圖象在點（1，f(1)）處的切線方程是y-1=(1+2a)(x-1)其在x軸上的截距為=2，因而a=-1.(2)因為2alnx+x-e+1<0對任意的成立，1<lnx<2所以恒成立.設(shè)，則由于（lnx）2>0,再設(shè)，則有所以h（x）在上是減函數(shù)，故,即因而g(x)在上是減函數(shù)，所以.所以a的取值范圍是。點評：本題第一小題，直接運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，思路明確；第二小題中，首先利用給定的區(qū)間上lnx>0,從而成功的分離參數(shù)a,進而構(gòu)造函數(shù)g(x),但在判斷g(x)的導(dǎo)數(shù)過程中，運用初等辦法，又無法直接判斷或解不等式，只能利用其結(jié)構(gòu)特征：分母大于0，對分子構(gòu)造函數(shù)h(x),利用h(x)的單調(diào)性、最大值小于零，得到g(x)的導(dǎo)數(shù)小于零，推出g(x)在區(qū)間上的最小值，順利的得到a的取值范圍。五、利用基本不等式構(gòu)造函數(shù)例9.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的極值.（2）設(shè)0<a<1,若曲線y=f(x)在兩個不同點M（m,f(m)）,N（n,f(n)）處的切線互相平行，求證：解析：（1）f(x)在無極值.當(dāng)a>0時，Δ=-4（a-1）(a+1),故時，Δ0，單調(diào)遞增，f(x)在無極值.當(dāng)0<a<1時所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此，f(x)在x1處取極大值，在x2處取極大值。（2）因為曲線y=f(x)在兩個不同點M（m,f(m)）,N（n,f(n)）處的切線互相平行，所以,即2mn=a(m+n),由于m>0,n>0, 且，可得所以因此f(m)+f(n)=2mn-2ln(mn)-2令mn=t,g(t)=2t-2lnt-2,則因為0<a<1,,所以g(t)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故g(t)所以點評：本題首先利用曲線y=f(x)在兩個不同點M（m,f(m)）,N（n,f(n)）處的切線互相平行，得到2mn=a(m+n)，從而利用基本不等式求出mn的范圍，為計算f(m)+f(n)轉(zhuǎn)化目標(biāo)：化為關(guān)于mn的函數(shù)，而且知道函數(shù)的定義域，為順利通過換元，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值，達到解決問題的目的。參考文獻:[1]曾宏建徐洪斌李波.2018年高考復(fù)習(xí)微專題創(chuàng)新設(shè)計.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.[J]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2018(3):31-34.[2]