2021年中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圖形的旋轉(zhuǎn)解答題（含答案共36題）

2021年中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編一圖形的旋轉(zhuǎn)解答題（含答案，共36題）

一.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共8小題）

1.（2021*黔西南州）如圖1,。為等邊內(nèi)一點(diǎn)，將線段4）繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得

到連接公，劭的延長(zhǎng)線與4;交于點(diǎn)G,與先交于點(diǎn)尸.

（1）求證：BD^CE\

（2）如圖2,連接必，小穎對(duì)該圖形進(jìn)行探究，得出結(jié)論：ZBFC=ZAFANAFE.小

穎的結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)給出證明；若不正確，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

2.（2021*綿陽(yáng)）如圖，點(diǎn)"是N/8C的邊防上的動(dòng)點(diǎn)，BX6,連接MC,并將線段的繞

點(diǎn)"逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN.

（1）作MHLBC,垂足//在線段8c上，當(dāng)NCMH=NB時(shí),判斷點(diǎn)兒是否在直線48上，

并說明理由；

3.（2021*德陽(yáng)）如圖，點(diǎn)￡是矩形》的邊8c上一點(diǎn)，將△力維繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△

4SE的位置，此時(shí)E&、E三點(diǎn)恰好共線.點(diǎn)伙”分別是〃^和〃；的中點(diǎn)，連接神、

NBy.

（1）求證：四邊形碼/V是平行四邊形；

⑵延長(zhǎng)四交朋于點(diǎn)尸，若四=",S3E|F=SMBH判斷與△陽(yáng)￡是

否全等，并說明理由.

4.（2021.畢節(jié)市）如圖1,在RtZ\/48。中，N54a90°,AB^AC,。為△48。內(nèi)一點(diǎn)，將

線段4?繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接CE,劭的延長(zhǎng)線與結(jié)交于點(diǎn)F.

（1）求證：BD^CE,8aLe￡

(2)如圖2,連接〃；DC,已知N6%n35°,判斷AF與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

5.(2021?湘西州)如圖，在△48C中，點(diǎn)。在48邊上，CB=CD,將邊以繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到維

的位置，4更得NECA=NDCB,連接鹿與〃?交于點(diǎn)月，且N6=70°,N4=10°.

(1)求證：AB=ED；

(2)求/〃F的度數(shù).

6.(2021-張家界)如圖，在矩形中，對(duì)角線4C與劭相交于點(diǎn)0,NAOB=60°,對(duì)

角線4?所在的直線繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(0°<a<120°),所得的直線/分別交

8c于點(diǎn)￡,F.

(1)求證：XAOE烏XCOF；

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a為多少度時(shí)，四邊形4月必為菱形？試說明理由.

7.(2021*北京)如圖，在△4861中，AB^AC,N以仁a,M為BC的中點(diǎn)、,點(diǎn)。在附C上,

以點(diǎn)力為中心，將線段力。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段連接維，DE.

(1)比較N54E與NO4。的大??；用等式表示線段南，BM,加之間的數(shù)量關(guān)系，并證明：

(2)過點(diǎn)〃作為8的垂線，交DE于點(diǎn)N,用等式表示線段所與物的數(shù)量關(guān)系，并證明.

E

B

MD

8.（2021*衡陽(yáng)）如圖，點(diǎn)￡為正方形為8CZ）外一點(diǎn)，N〃》=90°,將RtZ\/l維繞4點(diǎn)逆時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)90°得到尸，。尸的延長(zhǎng)線交維于〃點(diǎn).

（1）試判定四邊形4/7正的形狀，并說明理由；

（2）已知仍=7,66=13,求力/的長(zhǎng).

二.坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共1小題）

9.（2021*阜新）下面是小明關(guān)于“對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)的關(guān)系”的探究過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.

（1）三角形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，簡(jiǎn)稱G,G關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形為

G,關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形為G.則將圖形G繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，可以

得到圖形6.

（2）在圖2中分別畫出G關(guān)于y軸和直線片=/1的對(duì)稱圖形G,G.將圖形G繞點(diǎn)

（用坐標(biāo)表示）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，可以得到圖形G.

（3）綜上，如圖3,直線/儲(chǔ)尸-2/2和/2：y=*所夾銳角為a,如果圖形G關(guān)于直

線人的對(duì)稱圖形為G,關(guān)于直線/?的對(duì)稱圖形為G,那么將圖形G繞點(diǎn)（用坐

標(biāo)表示）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（用a表示），可以得到圖形G.

三.作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共8小題）

10.（2021?淮安）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，△48C的頂點(diǎn)A

&C都在格點(diǎn)上（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）.請(qǐng)僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并

保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）.

（1）將△48C繞點(diǎn)4按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,

畫出△/I8G;

(2)連接CG,△4CG的面積為；

(3)在線段CG上畫一點(diǎn)。，使得△人切的面積是面積的工.

5

!：A',：：3：

工K二二

IIIIpI

?IIIlvI

11.(2021?桂林)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是4(-1,

4),8(-3,1).

(1)畫出線段48向右平移4個(gè)單位后的線段48;

(2)畫出線段AB繞原點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180°后的線段4房.

(1)畫出關(guān)于x軸對(duì)稱的△48。，并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)畫出△/I80繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△480,并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，求點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)4所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留n).

13.(2021*黑龍江)如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，在平

面直角坐標(biāo)系內(nèi)，△480的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-1,3),8(-4,3),0(0,0).

(1)畫出△480關(guān)于*軸對(duì)稱的△48。，并寫出點(diǎn)臺(tái)的坐標(biāo)；

(2)畫出△/8O繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△480,并寫出點(diǎn)名的坐標(biāo)：

(3)在(2)的條件下，求點(diǎn)夕旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)民所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留TT).

14.(2021*達(dá)州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△46C的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是力(0,4),B(0,

2),C(3,2).

(1)將△/lb。以。為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△4SG;

(2)將△48C平移后得到民G,若點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)外的坐標(biāo)為(2,2),求的

面積.

15.(2021*江西)已知正方形483的邊長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)￡是3的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無

刻度直尺按下列要求作圖(保留作圖痕跡).

(1)在圖1中，將直線4c繞著正方形48勿的中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°;

(2)在圖2中，將直線/C向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.

16.(2021*麗水)如圖，在5X5的方格紙中，線段48的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求畫圖.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,畫出一條線段4C,使40=48,C在格點(diǎn)上；

(2)如圖2,畫出一條線段￡尸，使牛48互相平分，E,月均在格點(diǎn)上；

(3)如圖3,以A8為頂點(diǎn)畫出一個(gè)四邊形，使其是中心對(duì)稱圖形，且頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

17.(2021*安徽)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的網(wǎng)格中，△48C的頂點(diǎn)均在

格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))上.

(1)將△48C向右平移5個(gè)單位得到△48G,畫出△4SG；

(2)將(1)中的△48G繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到用％畫出△力反G.

四.幾何變換綜合題(共19小題)

18.(2021*重慶)在△力成;中，AB^AC,。是邊8c上一動(dòng)點(diǎn)，連接力〃，將繞點(diǎn)4逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)至的位置，使得外片180°.

(1)如圖1,當(dāng)N班。=90°時(shí)，連接維，交力C于點(diǎn)￡若BE平分NABC,劭=2,求

4月的長(zhǎng)；

(2)如圖2,連接取空的中點(diǎn)G,連接4G.猜想4G與3存在的數(shù)量關(guān)系，并證

明你的猜想；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。G,CE.若N0k?=120°,當(dāng)BD>CD,N43=150°

時(shí)，請(qǐng)直接寫出迎遠(yuǎn)的值.

CE

19.(2021*沈陽(yáng))在△48C中，AB^AC,△建中，CE=CD{CE^CA),BC^CD,ZD=a,

N4吩N￡W=180°,點(diǎn)反C,￡不共線，點(diǎn)戶為直線如上一點(diǎn)，旦PAPD.

(1)如圖1,點(diǎn)。在線段比■延長(zhǎng)線上，則N&;P=,4AB4(用含a的

代數(shù)式表示)：

(2)如圖2,點(diǎn)A￡在直線8C同側(cè)，求證：8戶平分N48C：

(3)若NABC=60°,BC=M+1,將圖3中的△，班繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BP

J?如時(shí)，直線外交劭于點(diǎn)G,點(diǎn)"是如中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出GM的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

20.(2021*朝陽(yáng))如圖，在RtZUSC中，AC^BC,ZACB=9Q"，點(diǎn)0在線段上(點(diǎn)0

不與點(diǎn)48重合)，且仍=%)，點(diǎn)〃是4C延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，作射線掰，將射線第繞

點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,交射線第于點(diǎn)〃

(1)如圖1,當(dāng)火=1時(shí)，判斷線段第與削的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,當(dāng)k>\時(shí)，判斷線段的與OV的數(shù)量關(guān)系(用含〃的式子表示)，并證明；

(3)點(diǎn)戶在射線8C上，若N8CW=15°,PN=kAM(/c*1),且更〈返二1,請(qǐng)直接寫

AC2

出的的值(用含

PC

圖1圖2備用圖

21.(2021?鞍山)如圖，在△4561中，AB^AC,NBAXa(00<a<180°),過點(diǎn)4作

射線4/交射線8c于點(diǎn)D,將4"繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到4花過點(diǎn)C作方〃4/交直線

AN于點(diǎn)F,在/附上取點(diǎn)￡使NAEB=NACB.

(1)當(dāng)4"與線段8c相交時(shí)，

①如圖1,當(dāng)a=60°時(shí)，線段綏和〃之間的數(shù)量關(guān)系為.

②如圖2,當(dāng)a=90°時(shí)，寫出線段力￡,CE和C尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)當(dāng)tana=2,4Q5時(shí)，若△，如是直角三南形，直接寫出4尸的長(zhǎng).

3

22.(2021?濰坊)如圖1,在△48C中，2X)0°,NABC=30°,AC^X,。為△/48C內(nèi)部

的一動(dòng)點(diǎn)(不在邊上)，連接劭，將線段劭繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使點(diǎn)8到達(dá)點(diǎn)尸的

位置；將線段48繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使點(diǎn)4到達(dá)點(diǎn)￡的位置，連接力。CD,AE,

AF,BF,EF.

圖①圖②

(1)求證：4BD蛇XBFE-,

(2)①次的/T的最小值為；

②當(dāng)S■陰7T取得最小值時(shí)，求證：AD//BF.

(3)如圖2,M,N,。分別是*AF,熊的中點(diǎn)，連接幟NP,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中,

請(qǐng)判斷N的W的大小是否為定值.若是，求出其度數(shù)：若不是，請(qǐng)說明理由.

23.(2021*黑龍江)已知N486?60°，點(diǎn)打在直線8c上，以4尸為邊作等邊三角形〃F,

過點(diǎn)￡作EDI.AB于點(diǎn)ZZ請(qǐng)解答下列問題：

(1)如圖①，求證：AB^BF=2BD-,

(2)如圖②、圖③，線段/氏BF,劭又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需要

證明.

24.(2021?赤峰)數(shù)學(xué)課上，有這樣一道探究題.

如圖，已知△48C中，AB=AXm,BC=n,NBAC=a（0°<a<180°），點(diǎn)。為平面內(nèi)

不與點(diǎn)4。重合的任意一點(diǎn)，連接將線段3繞點(diǎn)戶順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得線段陽(yáng)，連

接CD、4P點(diǎn)、E、尸分別為BC、CD的中點(diǎn),設(shè)直線4戶與直線）相交所成的較小角為B,

探究巫的值和13的度數(shù)與m、〃、a的關(guān)系.

AP

請(qǐng)你參與學(xué)習(xí)小組的探究過程，并完成以下任務(wù)：

（1）填空：

【問題發(fā)現(xiàn)】

小明研究了a=60°時(shí)，如圖1,求出了空的值和B的度數(shù)分別為世_=,P

PAPA

=?

小紅研究了a=90°時(shí)，如圖2,求出了空的值和B的度數(shù)分別為旦巳=,B

PAPA

=?

【類比探究】

他們又共同研究了a=120°時(shí)，如圖3,也求出了旦E的值和B的度數(shù)；

PA

【歸納總結(jié)】

最后他們終于共同探究得出規(guī)律：里=（用含〃、〃的式子表示）；B=（用

PA

含a的式子表示）.

（2）求出a=120°時(shí)旦工的值和B的度數(shù).

PA

25.（2021*常州）在平面直角坐標(biāo)系x分中，對(duì)于44兩點(diǎn)，若在y軸上存在點(diǎn)T,使

得N/%'=90°,且TA=TA',則稱4A'兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，把其中一個(gè)點(diǎn)叫做另一個(gè)

點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn).已知點(diǎn)M（-2,0）、〃（-1,0）,點(diǎn)。（m,〃）在一次函數(shù)y=-2x+1的

圖象上.

（1）①如圖，在點(diǎn)8（2,0）、C（0,-1）、。（-2,-2）中，點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是（填

“8”、“C”或“〃”）；

②若在線段椒上存在點(diǎn)戶(1,1)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)P',則點(diǎn)P'的坐標(biāo)是;

(2)若在線段仞V上存在點(diǎn)。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。'，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)分別以點(diǎn)￡(4,2)、。為圓心，1為半徑作。旦QQ.若對(duì)?！晟系娜我庖稽c(diǎn)G,在

。。上總存在點(diǎn)G',使得G、G'兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

備用圖

26.(2021*貴港)已知在△48。中，。為比■邊的中點(diǎn)，連接42,將△47C繞點(diǎn)0順時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角為鈍角)，得到△&7F,連接力￡,CF.

(1)如圖1,當(dāng)N84a90°且時(shí)，則與C尸滿足的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)N84a90°且48手47時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫

出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)如圖3,延長(zhǎng)加到點(diǎn)。，使。。=),連接。￡,當(dāng)AgCF=5,a=6時(shí)，求〃￡的

長(zhǎng).

圖1圖2圖3

27.(2021?東營(yíng))已知點(diǎn)0是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)戶是直線/上的任意一點(diǎn)，分別過點(diǎn)/

和點(diǎn)8作直線/的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)。.我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為''足

中距

(1)［猜想驗(yàn)證］如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)0重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距”

OC和OD的數(shù)量關(guān)系是.

(2)［探究證明］如圖2,當(dāng)點(diǎn)戶是線段48上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”0C和勿的數(shù)量

關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)［拓展延伸］如圖3,①當(dāng)點(diǎn)。是線段仍延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距"0C和OD

的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明：若不成立，請(qǐng)說明理由；

②若NCOP=60°,請(qǐng)直接寫出線段4?、BD、0C之間的數(shù)量關(guān)系.

D

圖1圖2圖3

28.(2021-襄陽(yáng))在△/48C中，ZACB=90°,￡_=m,。是邊8C上一點(diǎn)，將△/劭沿志

BC

折疊得到△/(&),連接

(1)特例發(fā)現(xiàn)

如圖1,當(dāng)勿=1,4￡落在直線4C上時(shí).

①求證：/DAC=/EBG,

②填空：型的值為；

CE

(2)類比探究

如圖2,當(dāng)加豐1,然與邊8c相交時(shí)，在4。上取一點(diǎn)G,4更NACG=N8CE,CG交AE于點(diǎn)、

H.探究生的值(用含m的式子表示)，并寫出探究過程；

CE

(3)拓展運(yùn)用

29.(2021?長(zhǎng)春)如圖，在△48C中，ZC^90°,48=5,a=3,點(diǎn)。為邊47的中點(diǎn).動(dòng)

點(diǎn)夕從點(diǎn)4出發(fā)，沿折線48-8C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸不與點(diǎn)

4C重合時(shí)，連結(jié)心.作點(diǎn)/關(guān)于直線外的對(duì)稱點(diǎn)片,連結(jié)/D、A'4設(shè)點(diǎn)。的

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒.

(1)線段初的長(zhǎng)為;

(2)用含力的代數(shù)式表示線段8戶的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)彳在△/ISC1內(nèi)部時(shí)，求大的取值范圍；

(4)當(dāng)N44。與N8相等時(shí)，直接寫出1的值.

30.(2021*黑龍江)在等腰中，AE=DE,是直角三角形，Z015=90°,乙ABC

=LNAED,連接3、劭，點(diǎn)尸是放的中點(diǎn)，連接京

2

(1)當(dāng)N￡4X45°，點(diǎn)8在邊〃"上時(shí)，如圖①所示，求證：EF=LD；

2

(2)當(dāng)N￡40=45°,把△?8C繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)8落在邊47上時(shí)，如圖②所示，

當(dāng)N￡4P=60°,點(diǎn)8在邊力￡上時(shí)，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段)和CD又有

怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明.

CI^OA<OM<OA),NA0B=N

31.(2021*通遼)已知△408和△欣W都是等腰直角三角形

2

M0N=QQ°.

(1)如圖1,連接4/,BN,求證：AM=BN-,

(2)將△桃W繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)"恰好在48邊上時(shí)，求證：/"+以=2〃；

②當(dāng)點(diǎn)4M,〃在同一條直線上時(shí)，若"=4,QM=3,請(qǐng)直接寫出線段4/的長(zhǎng).

32.(2021-十堰)已知等邊三角形過/點(diǎn)作/C的垂線/,點(diǎn)。為/上一動(dòng)點(diǎn)(不與

點(diǎn)A重合），連接CP,把線段“繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到C0,連QB.

（1）如圖1,直接寫出線段北與8。的數(shù)量關(guān)系：

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。、夕在4?同側(cè)且4—4?時(shí)，求證：直線陽(yáng)垂直平分線段約：

（3）如圖3,若等邊三角形力&;的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P、8分別位于直線47異側(cè)，且△4。。

圖1圖2圖3

33.（2021?河北）在一平面內(nèi)，線段4420,線段繪=">="1=10,將這四條線段順次首

尾相接.把48固定，讓4）繞點(diǎn)/從開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a（a>0°）到某一位置時(shí)，

BC,必將會(huì)跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置.

論證：如圖1,當(dāng)力?！?c時(shí)，設(shè)48與3交于點(diǎn)0,求證：42=10；

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=60°時(shí)，N4OC的度數(shù)可能是多少？

嘗試：取線段CZ?的中點(diǎn)〃當(dāng)點(diǎn)"與點(diǎn)8距離最大時(shí)，求點(diǎn)"到48的距離；

拓展：①如圖2,設(shè)點(diǎn)。與8的距離為d,若NS"?的平分線所在直線交48于點(diǎn)只直接

寫出仍的長(zhǎng)（用含d的式子表示）；

②當(dāng)點(diǎn)C在48下方，且4）與CD垂直時(shí)，直接寫出a的余弦值.

.4-----------------------------------------------B

備用圖2

34.（2021*邵陽(yáng)）如圖，在Rt△力比■中，點(diǎn)戶為斜邊8c上一動(dòng)點(diǎn)，將△/加沿直線的折

疊，使得點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,，連接力,，CB',BB',PB'.

(1)如圖①，若PB'±AC,證明：PB'=AB'.

(2)如圖②，若M=4C,BP=3PC,求cosNb'4C的值.

(3)如圖③，若N4第=30°,是否存在點(diǎn)只使得AB=C8'.若存在，求此時(shí)里的值;

BC

若不存在，請(qǐng)說明理由.

35.(2021?成都)在RtZ\4861中，N4?B=90°,48=5,宓=3,將△力反;繞點(diǎn)8順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)得到BC,其中點(diǎn)4。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)4,C.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)4落在4C的延長(zhǎng)線上時(shí)，求而，的長(zhǎng)：

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C'落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接CC,交48于點(diǎn)K求8M的長(zhǎng)；

(3)如圖3,連接川'，CC,直線“交融’于點(diǎn)。，點(diǎn)￡為47的中點(diǎn)，連接底在

旋轉(zhuǎn)過程中，如是否存在最小值？若存在，求出紙的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

36.(2021*重慶)在等邊△4861中，AB=6,BDLAC,垂足為。，點(diǎn)￡為四邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸

為直線劭上一點(diǎn)，連接樂

(1)將線段標(biāo)繞點(diǎn)￡逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG,連接FG.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)8重合，且防的延長(zhǎng)線過點(diǎn)C時(shí)，連接。G,求線段0G的長(zhǎng)；

②如圖2,點(diǎn)￡不與點(diǎn)48重合，G廠的延長(zhǎng)線交8c邊于點(diǎn)“，連接￡〃，求證：B&BH=

MBF；

(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)￡為中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M為維中點(diǎn)，點(diǎn)〃在邊〃■上，豆D42NC,點(diǎn)F

從劭中點(diǎn)。沿射線勿運(yùn)動(dòng)，將線段中繞點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段配，連接所，

當(dāng)仍施最小時(shí)，直接寫出△/W的面積.

2

參考答案與試題解析

—.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(共8小題)

1.(2021*黔西南州)如圖1,。為等邊△力8C內(nèi)一點(diǎn)，將線段4)繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得

至?！赀B接龍，劭的延長(zhǎng)線與/4C交于點(diǎn)G,與好交于點(diǎn)尸.

(1)求證：BgCE；

(2)如圖2,連接￡4,小穎對(duì)該圖形進(jìn)行探究，得出結(jié)論：/BFXaAFB=LAFE.小

穎的結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)給出證明；若不正確，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

【解析】(1)證明：如圖1,：線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到

：.AD=AE,ZDAE=60°,

9：ZBAC=60°,

???/BAC=/DAE,

：.4BAD=4CAE,

在4ABD和AACE中,

'AB二AC

,ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：./\ABD^/\ACE(SAS),

:?BD=CE,

(2)解：結(jié)論正確，理由如下：

如圖2,過力作8a%的垂線段分別交于點(diǎn)KN,

圖2

Y△ABD^XACE、

???NABD=/ACE,

又?：/AGB=/CGF,

：.ZBFC=ZBAC=60°,

:?NBFE=V1G0,

■:XAB咯XACE、

***BD=CE,S/SABD-SeACE.

AXAMX劭=AXCEXAN,

22

:.AM=AN,

在和RtAXATV中,

fAF=AF

"AN'

：.Rt^AF/^^/\AFN(HD,

:./AFM^/AFN,

：.ZBFC=ZAFB^ZAFE^60°.

2.(2021*綿陽(yáng))如圖，點(diǎn)"是N/8C的邊外上的動(dòng)點(diǎn)，BX6,連接就;，并將線段位■繞

點(diǎn)的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN.

(1)昨MH,BC,垂足//在線段8c上，當(dāng)/時(shí)=/8時(shí)，判斷點(diǎn)兒是否在直線48上，

并說明理由；

■:4CMH=4B,乙CM出乙gQ0°,

N陰NU90°,

；.N8例=90°,即"_L/8,

線段圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°落在直線BA上,

即點(diǎn)〃在直線上，

(2)作于點(diǎn)優(yōu)

'：MXMN,NCMN=90°,

:.4MCN=45°,

'：NC//AB,

：.NBMX45°,

,:BC=b,N8=30°,

：.CD=3,MC=MQ[)=3近,

：.S=Md=]8,即以例.椒為鄰邊的正方形面積為6=18.

3.(2021*德陽(yáng))如圖，點(diǎn)￡是矩形力取》的邊8c上一點(diǎn)，將△?!維繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△

48后的位置，此時(shí)￡&、E三點(diǎn)恰好共線.點(diǎn)欣〃分別是和4E的中點(diǎn)，連接物V、

NB、.

(1)求證：四邊形畫“是平行四邊形；

(2)延長(zhǎng)四交力。于點(diǎn)尸，若E&=E、F,5…_=s『判斷△/)石尸與△陽(yáng)￡是

△AE,FZkCB<E

【解析[解：(1)證明：?..四邊形力燈步是矩形,

Z5=90°,

■:AAB、E\是△48E旋轉(zhuǎn)所得的，

：.AE^AEy,NAB、E、=ZAB、E=4B=90°,

是出的中點(diǎn)，

:.ES=LEE、,

2

■:M、〃分別是熊和/4石的中點(diǎn)，

：.MN//EBy,MN=LE&,

2

:.E&=MN,

四邊形雁區(qū)〃為平行四邊形，

(2)△陽(yáng)通△笫￡

證明：連接尸C,

?:E仄=僅E、=E、F,

S=S=S

"AAEnAAEBtAAEJBt-y^EAF)

同理，SAEBR=2S△的

13

S-S,

'AAE1FAEB1C

SREAF=S&FEC,

-：AF//EC,

：./\AEF底邊4尸上的高和△%;底邊上的高相等.

：.AF=EC.

'：AF//EC,

:./AFE=/FEC,

在尸和△C8E中，

'AF=CE

<ZAFE=ZFEC,

FEI=EB]

：./\AEyF^/\CBxE(.SAS').

4.(2021?畢節(jié)市)如圖1,在Rt△48c中，NBAC=9Q°,48=4C,。為宓內(nèi)一點(diǎn)，將

線段4)繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到作，連接CE,劭的延長(zhǎng)線與綏交于點(diǎn)尸.

(1)求證：BD^CE,BDLCE；

(2)如圖2,連接加；DC,已知/8a=135°,判斷然與外的位置關(guān)系，并說明理由.

【解析】證明(1)如圖1,：線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,

：.AD^AE,NDAE=90°,

；NW=90°,

/BAX乙DAE,

：.NBAgaCAE,

在△48。和△丸在中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE.

AD=AE

:.△ABD^XACE(SAS'),

J.BD^CE,/ABD=ZACE,

又‘：4AOB=4COF,

:./BFg/BAXQO。,

BDLCE-,

(2)AF//CD,理由如下：

如圖2,作AGLBF于G,AHLCE于H,

由(1)如XABD^XACE,

CE,S/\ABO=SAACE,

:.AHAH,

又,：AG'BF,AH1CE,

:.AFt舟/BFE,

義,：ZBFE=90°,

.?.N42=45°,

；N8〃C=135°,

:./FDX45°,

：.4AFD=ZFDC,

：.AF//CD.

5.(2021?湘西州)如圖，在△48C中，點(diǎn)。在48邊上，CACD,將邊以繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到第

的位置，4更得NECA=ZDCB,連接紙與47交于點(diǎn)尸，且N8=70°,N4=10°.

(1)求證：AB=ED：

(2)求的度數(shù).

【解析】解：(1)證明：；NECA=NDCB,

：.ZEC6ZACD=NDC濟(jì)ZACD,

賈NECgNBCA,

由旋轉(zhuǎn)可得CA=CE,

在和中，

'CB=CD

<ZBCA=ZDCE.

AC=EC

：.[\BCA^i\DGE(SAS).

:.AB=ED.

(2)由(1)中結(jié)論可得NQ厲=N8=70°,

又CB=CD,

：.NB=』CDB=1Q",

N郎=180°-N8〃￡=180°-70°X2=40°,

ZAFE=ZEDA^rZ40°+10°=50°.

6.(2021*張家界)如圖，在矩形483中，對(duì)角線4C與劭相交于點(diǎn)0,NAOB=60°,對(duì)

角線4C所在的直線繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(0°<a<120°),所得的直線/分別交力。，

BC于點(diǎn)、E,F.

(1)求證：XA0恒△COF;

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)南a為多少度時(shí)，四邊形4尸結(jié)為菱形？試說明理由.

【解析】證明：(1):?四邊形4861〃是矩形，

J.AD//BC,AgCO,

:./AEO=4CFO,

在△/<如和△GO尸中，

"ZAE0=ZCF0

■ZA0E=ZC0F,

AO=CO

：.t\AOE^LCOF(A4S)；

(2)當(dāng)a=90°時(shí)，四邊形4尸結(jié)為菱形，

理由：'：△AOE0XCOF、

：.0E=OF,

義〈AgCO,

二四邊形4尸匠?為平行四邊形，

義'：/AOE=qQ°,

四邊形AFCE為爰形.

7.(2021*北京)如圖，在1中，AB^AC,NBAXa,〃為宛■的中點(diǎn)，點(diǎn)。在欣7上,

以點(diǎn)力為中心，將線段力。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段連接DE.

(1)比較N仍￡與/力。的大??；用等式表示線段維，BM,勵(lì)之間的數(shù)量關(guān)系，并證明：

(2)過點(diǎn)〃作48的垂線，交〃《于點(diǎn)M用等式表示線段所與仞的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【解析】解：(1),:NDAE=NBAC=a,

：.ADAE-乙BAX/BAC-/BAD,

即NBAE=NCAD,

在△/維和△4;。中，

rAB=AC

，ZBAE=ZCAD,

AE=AD

:.△ABEQXACD(SAS),

:.BE=CD,

■:M為8C的中點(diǎn)，

BM^CM,

:.B日MABM：

(2)如圖，作日/J-熊交8c于“，交AB于F,

由(1)AA8EmAAC。得:ZABE=AACD,

'：ZACXaABC"

：.NABE=NABD,

在△弼和△班少中，

'NEBF=NHBF

<BF=BF,

ZBFE=ZBFH

：./\BEF^/\BHF(AS⑷，

:.BE=BH,

由(1)知：B&MABM,

:.M4MD,

'：MN//HF,

??E?N—MH"y

DNMD

：.EN^DN.

8.(2021*衡陽(yáng))如圖，點(diǎn)￡為正方形為8CZ)外一點(diǎn)，N〃》=90°,將RtZ\/l維繞4點(diǎn)逆時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)90°得到尸，。尸的延長(zhǎng)線交維于〃點(diǎn).

(1)試判定四邊形4/7正的形狀，并說明理由；

(2)已知仍=7,66=13,求力/的長(zhǎng).

DC

【解析】解：(1)四邊形力雁是正方形，理由如下：

???RtZ\4秋繞4點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△4DF,

???RtZs48慮RtZk4?尸，

:.NAEB=NAFD=9G,

：.^AFH=9Q°,

在四邊形力水中，NFAE=90°,/AEB=90°,N47/=90°,

???四邊形47照是矩形，

又?：AE=AF,

???矩形47名是正方形；

(2)設(shè)熊=k則由(1)以及題意可知：AE=EH=FH=AF=x,BH=7,BC=AB=\3,

在RtZk/l昆中，A^=A"BU,

即132=X?+07)2,

解得：x=5(負(fù)值舍去)，

???維=8/A￡77=5+7=12,

:?DF=BE=、2,

義、：DH=DF+FH,

?"〃=12+5=17.

二.坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)(共1小題)

9.(2021.阜新)下面是小明關(guān)于“對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)的關(guān)系”的探究過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.

(1)三角形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，簡(jiǎn)稱G,G關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形為

G,關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形為G.則將圖形G繞0點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度,可以得

到圖形G.

(2)在圖2中分別畫出G關(guān)于y軸和直線的對(duì)稱圖形G,6.將圖形G繞(0,

1)點(diǎn)(用坐標(biāo)表示)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,可以得到圖形G.

(3)綜上，如圖3,直線A：y=-2x+2和/2:y=x所夾銳角為a,如果圖形G關(guān)于直

線人的對(duì)稱圖形為G,關(guān)于直線人的對(duì)稱圖形為G,那么將圖形G繞(2J)點(diǎn)

—33―

【解析】解：(1)由圖象即可知，將圖形G繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度，可以得到圖形G,

故答案為：0,180；

(2)G關(guān)于y軸和直線y=/1的對(duì)稱圖形G,G,如圖2所示，

?.?圖形G,G對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線交于點(diǎn)(0,1),

圖形G繞(0,1)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，可以得到圖形G,

即答案為：G,G如圖2；(0,1),90；

(3)圖形G關(guān)于直線4的對(duì)稱圖形為G,關(guān)于直線。的對(duì)稱圖形為G,

則直線4與直線A的交點(diǎn)即為圖形G,G對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線交點(diǎn)，

即旋轉(zhuǎn)中心，

_2

...圖形G繞點(diǎn)(2,2)旋轉(zhuǎn)可以得到圖形G,

33

如圖3,設(shè)4點(diǎn)，點(diǎn)4,點(diǎn)4,分別是在圖形G,G,G上的對(duì)應(yīng)點(diǎn),

設(shè)旋轉(zhuǎn)中心為只則N4/W'即為旋轉(zhuǎn)角，

連接力只A'P,A''P,

:兩直線所夾的銳角為a,

由圖象的對(duì)稱性可知，^^APA'+^^APA''=180°-a,

22

：.AA'PA''=360°-2(久仍T+LN仍T)=360°-(360°-2a)=2a,

22

圖3

圖2

三.作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共8小題）

10.（2021?淮安）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，△/48C的頂點(diǎn)A

8、C都在格點(diǎn)上（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）.請(qǐng)僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并

保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）.

（1）將繞點(diǎn)4按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為區(qū)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,

畫出區(qū)G:

（2）連接CG,△"G的面積為互；

一2一

（3）在線段ca上畫一點(diǎn)僅使得的面積是面積的2.

5

"—r—I—1—I—T—?

?III??

：：：：：：

[?4HE3二二

tilII

??????

【解析】解：（1）如圖：

圖中△48G即為要求所作三角形;

(2)，；40=k2+22=近,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知力仁九九Z04^=90°,

：.XACC、的面積為』X4cxACy=$,

22

故答案為：s；

2

(3)連接)交CG于。，即為所求點(diǎn)。理由如下:

'：GF//CyE,

：./\CFD^/\(\ED,

.CD二CF=1

?,叩=C[ET

:.CXLCG,

5

的面積=△4s面積的2.

5

11.(2021?桂林)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段48的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是4(-1,

4),5(-3,1).

(1)畫出線段/S向右平移4個(gè)單位后的線段48;

后的線段4房.

【解析】解：(1)如圖，線段48即為所求.

(2)如圖，線段48即為所求.

(1)畫出△XW關(guān)于X軸對(duì)稱的△480,并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)：

(2)畫出△490繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△力房0,并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，求點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)4所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留n).

(3)點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)4所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)=9°兀><疝=4宜”

1802

13.(2021.黑龍江)如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，在平

面直角坐標(biāo)系內(nèi)，△480的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-1,3),8(-4,3),0(0,0).

(1)畫出△48。關(guān)于x軸對(duì)稱的△480,并寫出點(diǎn)名的坐標(biāo)；

(2)畫出△480繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△48。，并寫出點(diǎn)8的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，求點(diǎn)5旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)房所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留n).

【解析】解：(1)如圖，△48。即為所求，B、(-4,-3).

(2)如圖，民0即為所求，Bz(3,4).

(3)點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)房所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)=毀上豆=旦二.

1802

14.(2021-達(dá)州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△人仇?的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是力(0,4),B(0,

2),C(3,2).

(1)將△/)&?以。為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△48G；

(2)將平移