課程有限元考試復(fù)習(xí)

有限元的基本理論有限元分析的目的任何具有一定使用功能的構(gòu)件(稱為變形體(deformedbody))都是由滿足要求的材料所制造的，在設(shè)計(jì)階段，就需要對(duì)該構(gòu)件在可能的外力作用下的內(nèi)部狀態(tài)進(jìn)行分析，以便核對(duì)所使用材料是否安全可靠，以避免造成重大安全事故。描述可承力構(gòu)件的力學(xué)信息一般有三類：構(gòu)件中因承載在任意位置上所引起的移動(dòng)(稱為位移(displacement))構(gòu)件中因承載在任意位置上所引起的變形狀態(tài)(稱為應(yīng)變(strain))；構(gòu)件中因承載在任意位置上所引起的受力狀態(tài)(稱為應(yīng)力(stress))；若該構(gòu)件為簡(jiǎn)單形狀，且外力分布也比較單一，如：桿、梁、柱、板就可以采用材料力學(xué)的方法，一般都可以給出解析公式，應(yīng)用比較方便；但對(duì)于幾何形狀較為復(fù)雜的構(gòu)件卻很難得到準(zhǔn)確的結(jié)果，甚至根本得不到結(jié)果。離散方法一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，可以通過(guò)一系列的基底函數(shù)(basefunction)的組合來(lái)“近似”，也就是函數(shù)逼近，其中有兩種典型的方法：(1)基于全域的展開(kāi)(如采用傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi))

(2)基于子域(sub-domain)的分段函數(shù)(piecesfunction)組合(如采用分段線性函數(shù)的連接)；離散方法舉例：一個(gè)一維函數(shù)的兩種展開(kāi)方式的比較設(shè)有一個(gè)一維函數(shù)f(x),x∈[x0，xL]，分析它的展開(kāi)與逼近形式。如采用傅立葉級(jí)數(shù)(Fourierseries)展開(kāi)，則有基于子域[xi，xi+1]上的分段展開(kāi)形式，若采用線性函數(shù),有離散方法基于子域的展開(kāi)與逼近基于全域的展開(kāi)與逼近離散方法比較以上兩種方式的特點(diǎn)：第一種方式所采用的基本函數(shù)非常復(fù)雜，而且是在全域上定義的，，但它是高次連續(xù)函數(shù)，一般情況下，僅采用幾個(gè)基底函數(shù)就可以得到較高的逼近精度；即為力學(xué)分析中的經(jīng)典瑞利-里茲方法(Rayleigh-Ritzprinciple)的思想(2)第二種方式所采用的基本函數(shù)非常簡(jiǎn)單，而且是在子域上定義的，它通過(guò)各個(gè)子域組合出全域，但它是線性函數(shù)，函數(shù)的連續(xù)性階次較低，因此需要使用較多的分段才能得到較好的逼近效果，則計(jì)算工作量較大。即為現(xiàn)代力學(xué)分析中的有限元方法的思想，其中的分段就是“單元”的概念離散方法基于分段的函數(shù)描述的優(yōu)勢(shì)：(1)可以將原函數(shù)的復(fù)雜性“化繁為簡(jiǎn)”，使得描述和求解成為可能(2)所采用的簡(jiǎn)單函數(shù)可以人工選取，因此，可取最簡(jiǎn)單的線性函數(shù)，或取從低階到高階的多項(xiàng)式函數(shù)3)可以將原始的微分求解變?yōu)榫€性代數(shù)方程離散方法基于分段的函數(shù)描述的問(wèn)題：(1)因采用了“化繁為簡(jiǎn)”，所采用簡(jiǎn)單函數(shù)的描述的能力和效率都較低，(2)由于簡(jiǎn)單函數(shù)的描述能力較低，必然使用數(shù)量眾多的分段來(lái)進(jìn)行彌補(bǔ)，因此帶來(lái)較多的工作量。綜合分段函數(shù)描述的優(yōu)勢(shì)和問(wèn)題，只要采用功能完善的軟件以及能夠進(jìn)行高速處理的計(jì)算機(jī)，就可以完全發(fā)揮“化繁為簡(jiǎn)”策略的優(yōu)勢(shì)，有限元分析的概念就在于此。有限元分析過(guò)程示例1D三連桿結(jié)構(gòu)的有限元分析過(guò)程(7)有限元分析思路：1.將復(fù)雜的幾何和受力對(duì)象劃分為一個(gè)一個(gè)形狀比較簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)“構(gòu)件”，稱為單元；2.給出單元節(jié)點(diǎn)的位移和受力描述，構(gòu)建起單元的剛度方程；3.通過(guò)單元與單元之間的節(jié)點(diǎn)連接關(guān)系進(jìn)行單元的組裝，可以得到結(jié)構(gòu)的整體剛度方程；4.根據(jù)位移約束和受力狀態(tài)，處理邊界條件，并進(jìn)行求解桿單元的計(jì)算桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基本變量由于該問(wèn)題是沿x方向的一維問(wèn)題，因此只有沿x方向的基本變量，即：(1)定義沿x方向移動(dòng)為位移:u(x)(2)定義沿x方向的相對(duì)伸長(zhǎng)(或縮短)量為應(yīng)變：εx(x)

(3)定義沿x方向的單位橫截面上的受力為應(yīng)力：σx(x)

桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基本方程該問(wèn)題的三大類基本方程:(1)取出桿件的任意一個(gè)截面，可得到平衡方程(無(wú)體力)為(2)取出桿件x位置處的一段長(zhǎng)度dx，設(shè)它的伸長(zhǎng)為du，則它的相對(duì)伸長(zhǎng)量為(幾何方程):

(3)由該材料的拉伸試驗(yàn)，可得到該材料的虎克定律為(物理方程):

桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基本方程該問(wèn)題的邊界條件：(1)位移邊界條件BC(u)：(2)力邊界條件BC(p)：

對(duì)于以上的力邊界條件，只能作為一種近似。因?yàn)樵趚=l的端面,σx(x)不應(yīng)是均勻分布的。由圣維南原理，在遠(yuǎn)離x=l的截面,力的邊界條件才較好地滿足。桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基本方程從求解思路來(lái)說(shuō)，可以有兩類方法來(lái)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解：(1)直接求解方法：該問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，因此，可以由3個(gè)方程來(lái)直接求解3個(gè)變量。(2)基于試函數(shù)的間接方法：可以先選取一個(gè)變量(如位移)作為最基本的待求變量，將其它變量都用它來(lái)表達(dá)，并采用間接的近似求解方法；具體的做法為：先對(duì)待求的位移變量假設(shè)一種事先滿足位移邊界條件的可能解(其中有一些待定的系數(shù))，稱為試函數(shù)，讓該受力系統(tǒng)的勢(shì)能取最小值來(lái)最后確定出可能解(試函數(shù))中的那些待定系數(shù)；也可以讓該受力系統(tǒng)的內(nèi)部變形虛功等于外部施加力的虛功，來(lái)求出試函數(shù)中的那些待定系數(shù)。桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的直接求解基本方程C1及C2為待定常數(shù)邊界條件桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——虛功原理介紹平衡力系由于微小擾動(dòng)產(chǎn)生相應(yīng)的虛位移由于該系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，則有桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——虛功原理介紹假想在該平衡力系上作用有微小的擾動(dòng)(不影響原平衡條件)，且外力所作用的位置產(chǎn)生了微小的位移變化，即ΔA,ΔB。該假想的位移如果不影響原平衡條件，應(yīng)滿足以下幾何關(guān)系：任意擾動(dòng)的位移應(yīng)滿足的條件，稱為許可位移條件，把滿足許可位移條件的、任意微小的假想位移稱為虛位移桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——虛功原理介紹A點(diǎn)的虛功,即外力在A點(diǎn)虛位移PAΔA上所做的功B點(diǎn)的虛功,即外力在B點(diǎn)虛位移PBΔB上所做的功,負(fù)號(hào)表示力與位移的方向相反

桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——虛功原理介紹基于虛位移的虛功原理：對(duì)于一個(gè)處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，作用于系統(tǒng)上的所有外力在滿足許可位移條件的虛位移上所做的虛功總和恒為零。桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——虛功原理介紹虛功應(yīng)包括外力虛功δW和內(nèi)力虛功?δU，δU叫做虛應(yīng)變能由于彈性體在變形過(guò)程中，內(nèi)力是抵抗變形所產(chǎn)生的，其方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力虛功取負(fù)。由于虛功總和為零，則有桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——虛功原理介紹彈性力學(xué)中的虛功原理可表述為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)給物體以微小虛位移時(shí)，外力所做的總虛功等于物體的總虛應(yīng)變能(即應(yīng)力在由虛位移所產(chǎn)生虛應(yīng)變上所作的功)。注意這里的虛位移是指僅滿足位移邊界條件BC(u)的許可位移。桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——虛功原理求解設(shè)有滿足位移邊界條件的位移場(chǎng)：這是一個(gè)待定函數(shù)，也稱為試函數(shù)。待定:因?yàn)樗虚g有一個(gè)待定系數(shù)，需要通過(guò)一個(gè)原理來(lái)確認(rèn)它，下面由虛功原理來(lái)進(jìn)行確認(rèn)?；谏鲜降脑嚭瘮?shù)，則它的應(yīng)變、虛位移以及虛應(yīng)變?yōu)棣腸為待定系數(shù)的增量桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——虛功原理求解計(jì)算虛應(yīng)變能以及外力虛功桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——虛功原理求解虛功原理代入求解桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——最小勢(shì)能原理介紹設(shè)有滿足位移邊界條件BC(u)的許可位移場(chǎng)u(x)，計(jì)算該系統(tǒng)的勢(shì)能為U為應(yīng)變能，W為外力功對(duì)于如圖所示的算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——最小勢(shì)能原理介紹對(duì)于包含有待定系數(shù)的試函數(shù)u(x)而言，真實(shí)的位移函數(shù)u(x)應(yīng)使得該系統(tǒng)的勢(shì)能取極小值，即桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——最小勢(shì)能原理求解取滿足位移邊界條件的位移場(chǎng)u(x)=cx，計(jì)算應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)闂U件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解——最小勢(shì)能原理求解系統(tǒng)勢(shì)能計(jì)算求極值與虛功原理求解相同！桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例1D問(wèn)題的基于試函數(shù)的間接法求解分析：基于試函數(shù)的方法，包括虛功原理以及最小勢(shì)能原理，僅計(jì)算系統(tǒng)的能量，實(shí)際上就是計(jì)算積分，然后轉(zhuǎn)化為求解線性方程，不需求解微分方程，這樣就大大地降低了求解難度。同時(shí)，也可以看出，試函數(shù)的方法的關(guān)鍵就是如何構(gòu)造出適合于所求問(wèn)題的位移試函數(shù)，并且該構(gòu)造方法還應(yīng)具有規(guī)范性以及標(biāo)準(zhǔn)化，基于“單元”的構(gòu)造方法就可以完全滿足這些要求。局部坐標(biāo)系中的桿單元描述桿單元的描述單元的描述包括單元的幾何及節(jié)點(diǎn)描述、位移場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)、勢(shì)能，也就是要充分利用描述問(wèn)題的三大類變量以及三大類方程來(lái)計(jì)算單元的勢(shì)能，然后，由最小勢(shì)能原理(或虛功原理)來(lái)得到單元的方程。實(shí)際上，單元內(nèi)位移場(chǎng)的描述就是它的試函數(shù)的選取。局部坐標(biāo)系中的桿單元描述桿單元的描述(1)單元的幾何及節(jié)點(diǎn)描述圖所示為一個(gè)在局部坐標(biāo)系中的桿單元，由于有兩個(gè)端節(jié)點(diǎn)（Node1和Node2），則基本變量為節(jié)點(diǎn)位移(向量)列陣qe局部坐標(biāo)系中的桿單元描述桿單元的描述(1)單元的幾何及節(jié)點(diǎn)描述將每一個(gè)描述物體位置狀態(tài)的獨(dú)立變量叫做一個(gè)自由度，顯然，以上的節(jié)點(diǎn)位移為兩個(gè)自由度。節(jié)點(diǎn)力(向量)列陣Pe為局部坐標(biāo)系中的桿單元描述桿單元的描述(1)單元的幾何及節(jié)點(diǎn)描述若該單元承受有沿軸向的分布外載，可以將其等效到節(jié)點(diǎn)上，即表示為如式

所示的節(jié)點(diǎn)力。利用函數(shù)插值、幾何方程、物理方程以及勢(shì)能計(jì)算公式，可以將單元的所有力學(xué)參量(即場(chǎng)變量：u(x)

，ε(x)，σ(x)

和

用節(jié)點(diǎn)位移列陣qe及相關(guān)的插值函數(shù)來(lái)表示。局部坐標(biāo)系中的桿單元描述桿單元的描述(2)單元位移場(chǎng)的表達(dá)設(shè)該單元的位移場(chǎng)為u(x)，由Taylor級(jí)數(shù)，它可以表示為該函數(shù)將由兩個(gè)端節(jié)點(diǎn)的位移u1和u2來(lái)進(jìn)行插值確定，可取該式的前兩項(xiàng)來(lái)作為該單元的位移插值模式：待定系數(shù)局部坐標(biāo)系中的桿單元描述桿單元的描述(2)單元位移場(chǎng)的表達(dá)節(jié)點(diǎn)條件為：代入代入等于形函數(shù)矩陣局部坐標(biāo)系中的桿單元描述桿單元的描述(3)單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)由彈性力學(xué)中的幾何方程，有1D問(wèn)題的應(yīng)變幾何矩陣局部坐標(biāo)系中的桿單元描述桿單元的描述(4)單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá)由彈性力學(xué)中的物理方程，有1D問(wèn)題的應(yīng)力應(yīng)力矩陣局部坐標(biāo)系中的桿單元描述桿單元的描述(5)單元?jiǎng)菽艿谋磉_(dá)單元?jiǎng)菽鼙磉_(dá)式單元?jiǎng)偠染仃嚲植孔鴺?biāo)系中的桿單元描述桿單元的描述(5)單元?jiǎng)菽艿谋磉_(dá)單元?jiǎng)菽鼙磉_(dá)式節(jié)點(diǎn)力矩陣局部坐標(biāo)系中的桿單元描述桿單元的描述(6)單元的剛度方程求極

小值單元的剛度方程局部坐標(biāo)系中的桿單元描述變截面桿單元的推導(dǎo)有一受軸載荷的線性變截面桿件，兩端的截面積為A1和A2，長(zhǎng)度為l，材料的彈性模量為E，試建立描述該桿件的一個(gè)桿單元。局部坐標(biāo)系中的桿單元描述變截面桿單元的推導(dǎo)節(jié)點(diǎn)位移列陣為橫截面積為節(jié)點(diǎn)力列陣為由于為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，則單元的位移模式取為局部坐標(biāo)系中的桿單元描述變截面桿單元的推導(dǎo)由節(jié)點(diǎn)條件，可得到該單元的形狀函數(shù)矩陣由幾何方程，可得到該單元的幾何矩陣該單元的剛度方程為局部坐標(biāo)系中的桿單元描述變截面桿單元的推導(dǎo)剛度矩陣計(jì)算與等截面桿單元相比，該線性變截面桿單元的截面取了平均面積梁?jiǎn)卧挠?jì)算梁件分析的基本力學(xué)原理平面梁的基本變量位移：應(yīng)力：應(yīng)變：（中性層的撓度）σ(采用σx，其它應(yīng)力分量很小，不考慮)，該變量對(duì)應(yīng)于梁截面上的彎矩Mε(采用εx，沿高度方向滿足直線假定)下面取具有全高度梁的dx“微段”來(lái)推導(dǎo)三大方程梁件分析的基本力學(xué)原理平面梁的基本方程——三大類基本方程和邊界條件（1）平衡方程針對(duì)圖中的“微段”，應(yīng)該有三個(gè)平衡方程，首先由x方向的合力等效其中是以梁的中性層為起點(diǎn)的y坐標(biāo)，M為截面上的彎矩。梁件分析的基本力學(xué)原理平面梁的基本方程——三大類基本方程和邊界條件（1）平衡方程然后由y方向的合力平衡，有Q為截面上的剪力，再由彎矩平衡，梁件分析的基本力學(xué)原理平面梁的基本方程——三大類基本方程和邊界條件（2）幾何方程梁?jiǎn)栴}dx“微段”彎曲變形分析圖考慮梁的純彎變形。由變形后的幾何關(guān)系，可得到位于處纖維層的應(yīng)變(即相對(duì)伸長(zhǎng)量)為：R為曲率半徑與曲率κ的關(guān)系為梁件分析的基本力學(xué)原理平面梁的基本方程——三大類基本方程和邊界條件（2）幾何方程梁?jiǎn)栴}dx“微段”彎曲變形分析圖對(duì)于梁的撓度函數(shù)它的曲率κ的計(jì)算公式為曲率κ應(yīng)取為梁件分析的基本力學(xué)原理平面梁的基本方程——三大類基本方程和邊界條件（2）幾何方程梁?jiǎn)栴}dx“微段”彎曲變形分析圖代入梁件分析的基本力學(xué)原理平面梁的基本方程——三大類基本方程和邊界條件（3）物理方程利用虎克定律梁?jiǎn)栴}dx“微段”彎曲變形分析圖梁件分析的基本力學(xué)原理平面梁的基本方程——三大類基本方程和邊界條件對(duì)三大方程平衡方程、幾何方程、物理方程進(jìn)行整理，得到平面梁彎曲問(wèn)題的基本方程:

為梁截面的慣性矩。可以看出：將原始基本變量定為中性層的撓度.而其它力學(xué)參量都可以基于它來(lái)表達(dá)。梁件分析的基本力學(xué)原理平面梁的基本方程——三大類基本方程和邊界條件（4）邊界條件梁?jiǎn)栴}dx“微段”彎曲變形分析圖由于在建立平衡方程時(shí)已考慮了分布外載，因此不能再作為力的邊界條件。兩端的位移邊界BC(u)：兩端的力(彎矩)邊界BC(p)：將彎矩以撓度的二階導(dǎo)數(shù)來(lái)表示BC(p)：梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的微分方程求解1.若用基于dxdy微體所建立的原始方程（即原平面應(yīng)力問(wèn)題中的三大類方程）進(jìn)行直接求解，不僅過(guò)于繁瑣，而且不易求解2.若用基于以上“特征建?！焙?jiǎn)化方法所得到的基本方程進(jìn)行直接求解則比較簡(jiǎn)單，對(duì)如圖所示的均勻分布外載的情況，其方程為：梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的微分方程求解2.若用基于以上“特征建?！焙?jiǎn)化方法所得到的基本方程進(jìn)行直接求解則比較簡(jiǎn)單，對(duì)如圖所示的均勻分布外載的情況，其方程為：常微分方程其解的形式為梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的微分方程求解c0,c1,c2,c3為待定系數(shù)，可由四個(gè)邊界條件求出，最后有結(jié)果位于中點(diǎn)處的撓度為梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的微分方程求解計(jì)算平面梁彎曲問(wèn)題有關(guān)能量方面的物理量:應(yīng)變能外力功勢(shì)能梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的虛功原理求解假設(shè)有一個(gè)只滿足位移邊界條件BC(u)的位移場(chǎng)為：它的微小變化，即虛位移場(chǎng)為δc1為微小變化量，可以驗(yàn)證，式滿足位移邊界條件BC(u)，將滿足位移邊界條件BC(u)的試函數(shù)叫做許可位移。梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的虛功原理求解該簡(jiǎn)支梁的虛應(yīng)變能為對(duì)于梁的彎曲問(wèn)題，由式可得幾何方程代入虛應(yīng)變能方程梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的虛功原理求解代入梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的虛功原理求解該簡(jiǎn)支梁的外力虛功為由虛功原理δUδ=W，則梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的虛功原理求解由虛功原理δUδ=W，則所表示的位移模式中，真實(shí)的一組為滿足虛功原理時(shí)的位移，即梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的最小勢(shì)能原理求解為提高計(jì)算精度，可以選取多項(xiàng)函數(shù)的組合，這里取滿足位移邊界條件BC(u)的許可位移場(chǎng)梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的最小勢(shì)能原理求解計(jì)算應(yīng)變能U為梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的最小勢(shì)能原理求解相應(yīng)的外力功W為梁件分析的基本力學(xué)原理簡(jiǎn)支梁的最小勢(shì)能原理求解梁件分析的基本力學(xué)原理分析1：該方法得到的第一項(xiàng)與前面虛功原理求解出來(lái)的結(jié)果相同，與精確解相比，該結(jié)果比前面由虛功原理得到的結(jié)果更為精確，這時(shí)因?yàn)檫x取兩項(xiàng)函數(shù)作為試函數(shù)，這也是提高計(jì)算精度的重要途徑。以上求解過(guò)程所用的試函數(shù)

為許可基底函數(shù)的線性組合，因此，上述求解方法也是瑞利-里茲方法。簡(jiǎn)支梁的最小勢(shì)能原理求解梁件分析的基本力學(xué)原理分析2：以上的虛功原理求解以及最小勢(shì)能原理求解都是基于試函數(shù)的能量方法(也稱為泛函極值方法)，基本要點(diǎn)是不需求解原微分方程，但需要假設(shè)一個(gè)滿足位移邊界條件BC(u)的許可位移場(chǎng)。因此，如何尋找或構(gòu)建滿足所需要求的許可位移場(chǎng)是一個(gè)關(guān)鍵，并且，還期望這種構(gòu)建許可位移場(chǎng)的方法還應(yīng)具有標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范性。下面的重點(diǎn)將討論通過(guò)基于“單元”的位移函數(shù)的構(gòu)建就可以滿足這些要求。簡(jiǎn)支梁的最小勢(shì)能原理求解局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系中的純彎梁?jiǎn)卧?，其長(zhǎng)度為l，彈性模量為E，橫截面的慣性矩為Iz。平面純彎梁?jiǎn)卧拿枋鼍植孔鴺?biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧矫婕儚澚簡(jiǎn)卧拿枋?1)單元的幾何及節(jié)點(diǎn)描述設(shè)有兩個(gè)端節(jié)點(diǎn)（Node1和Node2），節(jié)點(diǎn)位移列陣為這表明該單元的節(jié)點(diǎn)位移有4個(gè)自由度。節(jié)點(diǎn)力列陣為各節(jié)點(diǎn)的擾度和轉(zhuǎn)角若該單元承受分布外載，可以將其等效到節(jié)點(diǎn)上，即可以表示為如式所示的節(jié)點(diǎn)力；和前面推導(dǎo)桿單元時(shí)的情形類似，利用函數(shù)插值、幾何方程、物理方程以及勢(shì)能計(jì)算公式，可以將單元的所有力學(xué)參量用節(jié)點(diǎn)位移列陣及相關(guān)的插值函數(shù)來(lái)表示。局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧矫婕儚澚簡(jiǎn)卧拿枋?2)單元位移場(chǎng)的表達(dá)由于有4個(gè)位移節(jié)點(diǎn)條件，可假設(shè)純彎梁?jiǎn)卧奈灰茍?chǎng)撓度為具有四個(gè)待定系數(shù)的函數(shù)模式，即節(jié)點(diǎn)位移條件a0,a1,a2,a3為待定系數(shù)局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧矫婕儚澚簡(jiǎn)卧拿枋鲋貙?xiě)位移函數(shù)代入單元形函數(shù)矩陣局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧矫婕儚澚簡(jiǎn)卧拿枋?3)單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)由純彎梁的幾何方程，有梁的應(yīng)變表達(dá)式各以中性層為起點(diǎn)的y方向的坐標(biāo)單元的幾何矩陣局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧矫婕儚澚簡(jiǎn)卧拿枋?4)單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá)由梁的物理方程:

E為彈性模量，S(x)

叫做單元的應(yīng)力矩陣局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧矫婕儚澚簡(jiǎn)卧拿枋?5)單元?jiǎng)菽艿谋磉_(dá)該單元的勢(shì)能為其中應(yīng)變能局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧矫婕儚澚簡(jiǎn)卧拿枋?5)單元?jiǎng)菽艿谋磉_(dá)剛度矩陣局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧矫婕儚澚簡(jiǎn)卧拿枋?6)單元的剛度方程由最小勢(shì)能原理，剛度矩陣力矩陣局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧话闫矫媪簡(jiǎn)卧拿枋鰹橥茖?dǎo)局部坐標(biāo)系中的一般平面梁?jiǎn)卧?，在圖所示的純彎梁的基礎(chǔ)上疊加進(jìn)軸向位移(由于為線彈性問(wèn)題，滿足疊加原理，這時(shí)的節(jié)點(diǎn)位移自由度共有6個(gè)平面梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移列陣qe和節(jié)點(diǎn)力列陣Pe為：相應(yīng)的剛度方程為局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧话闫矫媪簡(jiǎn)卧拿枋鰧?duì)應(yīng)于圖中的節(jié)點(diǎn)位移和式中節(jié)點(diǎn)位移列陣的排列次序，將桿單元?jiǎng)偠染仃嚺c純彎梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行組合，可得到中的單元?jiǎng)偠染仃嚕淳植孔鴺?biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧芫驾d荷平面梁?jiǎn)卧牡刃Ч?jié)點(diǎn)載荷工程中的梁構(gòu)件，存在許多象圖所示的受均布載荷的情況，若就受均布載荷部分的梁構(gòu)件建立單元，則需要就所建立的梁?jiǎn)卧o出相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)等效載荷幾種受均布載荷作用的梁構(gòu)件局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧芫驾d荷平面梁?jiǎn)卧牡刃Ч?jié)點(diǎn)載荷幾種受均布載荷作用的梁構(gòu)件節(jié)點(diǎn)等效載荷若需要采用幾個(gè)或一個(gè)梁?jiǎn)卧?，均可以建立如右圖所示的單元，節(jié)點(diǎn)位移列陣節(jié)點(diǎn)力列陣單元的撓度位移場(chǎng)局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧芫驾d荷平面梁?jiǎn)卧牡刃Ч?jié)點(diǎn)載荷若而ξ=x/l；計(jì)算該單元的外力功為W為局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧芫驾d荷平面梁?jiǎn)卧牡刃Ч?jié)點(diǎn)載荷討論1：若憑一種直覺(jué)，直接按照靜力等效的方式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，即，每個(gè)節(jié)點(diǎn)各分一半進(jìn)行靜力等效，見(jiàn)右，則計(jì)算出的節(jié)點(diǎn)等效力為受均布載荷作用的直接靜力等效的節(jié)點(diǎn)載荷(每個(gè)節(jié)點(diǎn)分一半)計(jì)算出的M1和M2錯(cuò)誤！討論2：該等效節(jié)點(diǎn)載荷是按照外力功進(jìn)行計(jì)算的，是通用的均布載荷的節(jié)點(diǎn)等效載荷，與節(jié)點(diǎn)的實(shí)際約束狀態(tài)沒(méi)有關(guān)系。即原圖中的幾種情況的節(jié)點(diǎn)等效載荷都用下式局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧獞冶?簡(jiǎn)支平面連續(xù)梁的有限元分析連續(xù)平面懸臂簡(jiǎn)支梁有限元分析模型有一個(gè)連續(xù)平面懸臂簡(jiǎn)支梁，截面面積A=6650mm2，高度h=317mm，慣性矩I=118.6×106mm4，梁的彈性模量E=200GPa，承受的均布荷載p0=25000N/m。試確定節(jié)點(diǎn)3的豎向位移、節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3的轉(zhuǎn)角。同時(shí)計(jì)算節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2的反力。局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧獞冶?簡(jiǎn)支平面連續(xù)梁的有限元分析連續(xù)平面懸臂簡(jiǎn)支梁有限元分析模型由于該梁在其中的一個(gè)位置有一個(gè)支撐，因此采用兩個(gè)梁?jiǎn)卧?。則該結(jié)構(gòu)的整體節(jié)點(diǎn)位移列陣載荷列陣為F為施加的外載，R為支反力局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧獞冶?簡(jiǎn)支平面連續(xù)梁的有限元分析連續(xù)平面懸臂簡(jiǎn)支梁有限元分析模型由前面給出的梁的單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算公式，代入單元（1）的屬性值，有局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧獞冶?簡(jiǎn)支平面連續(xù)梁的有限元分析連續(xù)平面懸臂簡(jiǎn)支梁有限元分析模型計(jì)算單元（2）的剛度矩陣，有局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧獞冶?簡(jiǎn)支平面連續(xù)梁的有限元分析連續(xù)平面懸臂簡(jiǎn)支梁有限元分析模型計(jì)算總剛度矩陣，有局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧獞冶?簡(jiǎn)支平面連續(xù)梁的有限元分析

參考前面“受均布載荷平面梁?jiǎn)卧牡刃Ч?jié)點(diǎn)載荷”對(duì)單元的分布載荷進(jìn)行處理，分別計(jì)算單元（1）和單元（2）的載荷列陣，即局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧獞冶?簡(jiǎn)支平面連續(xù)梁的有限元分析合并兩個(gè)荷載列陣，形成總載荷列陣，有該結(jié)構(gòu)的整體剛度方程局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧獞冶?簡(jiǎn)支平面連續(xù)梁的有限元分析位移邊界條件：在節(jié)點(diǎn)1處，,在節(jié)點(diǎn)2處，剛度方程求解各節(jié)點(diǎn)位移值局部坐標(biāo)系中的平面梁?jiǎn)卧獞冶?簡(jiǎn)支平面連續(xù)梁的有限元分析求解得各節(jié)點(diǎn)反力和彎矩其中R為反力矩陣。將相關(guān)值代入式中，有連續(xù)平面懸臂簡(jiǎn)支梁有限元分析模型連續(xù)體結(jié)構(gòu)分析的有限元方法平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

矩形單元由于形狀簡(jiǎn)單和規(guī)范將作為“基準(zhǔn)”單元進(jìn)行研究，在實(shí)際的應(yīng)用中，可以根據(jù)真實(shí)情況將矩形單元“映射”

為所需要的任意四邊形單元。平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

單元的幾何和節(jié)點(diǎn)描述平面4節(jié)點(diǎn)矩形單元如圖所示，單元的節(jié)點(diǎn)位移共有8個(gè)自由度。節(jié)點(diǎn)的編號(hào)為1、2、3、4，各自的位置坐標(biāo)為(xi,yi),i=1,2,3,4，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移(分別沿x方向和y方向)為(ui,vi),i=1,2,3,4。平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

單元的幾何和節(jié)點(diǎn)描述采用無(wú)量綱坐標(biāo)：?jiǎn)卧?個(gè)節(jié)點(diǎn)的幾何位置：將所有節(jié)點(diǎn)上的位移組成一個(gè)列陣，記作qe；同樣，將所有節(jié)點(diǎn)上的各個(gè)力也組成一個(gè)列陣，記作pe：平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

(2)單元位移場(chǎng)的表達(dá)節(jié)點(diǎn)條件共有8個(gè)，即x方向4個(gè)(u1,u2,u3,u4)，y方向4個(gè)(v1,v2,v3,v4)，因此，x和y方向的位移場(chǎng)可以各有4個(gè)待定系數(shù)，即取以下多項(xiàng)式作為單元的位移場(chǎng)模式該式為具有完全一次項(xiàng)的非完全二次項(xiàng)，右端的第四項(xiàng)是考慮到x方向和y方向的對(duì)稱性而取的，除此外xy項(xiàng)還有個(gè)重要特點(diǎn)，就是“雙線性”，當(dāng)x或y不變時(shí)，沿y或x方向位移函數(shù)呈線性變化，這與前面的線性項(xiàng)最為相容，而x2或y2項(xiàng)是二次曲線變化的。因此，未選x2或y2項(xiàng)。平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

(2)單元位移場(chǎng)的表達(dá)由節(jié)點(diǎn)條件，在x=xi，y=yi處，有代入求解待定系數(shù)a0，…，a3及b0，…，b3平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

(2)單元位移場(chǎng)的表達(dá)平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

(2)單元位移場(chǎng)的表達(dá)代入無(wú)量綱坐標(biāo)系變換平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

(2)單元位移場(chǎng)的表達(dá)寫(xiě)成矩陣形式形函數(shù)矩陣平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

(3)單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)由彈性力學(xué)平面問(wèn)題的幾何方程(矩陣形式)，有單元應(yīng)變的表達(dá)形函數(shù)矩陣平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

(3)單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)形函數(shù)矩陣算子矩陣平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

(4)單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá)由彈性力學(xué)中平面問(wèn)題的物理方程，可得到單元的應(yīng)力表達(dá)式：應(yīng)力函數(shù)矩陣平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

(4)單元?jiǎng)菽軋?chǎng)的表達(dá)將基于節(jié)點(diǎn)位移列陣qe表達(dá)的單元三大基本變量(u,ε,δ)，代入單元的勢(shì)能表達(dá)式中，4節(jié)點(diǎn)矩形單元的剛度矩陣平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

(4)單元?jiǎng)菽軋?chǎng)的表達(dá)將基于節(jié)點(diǎn)位移列陣qe表達(dá)的單元三大基本變量(u,ε,δ)，代入單元的勢(shì)能表達(dá)式中：4節(jié)點(diǎn)矩形單元的剛度矩陣平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

(4)單元?jiǎng)菽軋?chǎng)的表達(dá)4節(jié)點(diǎn)矩形單元的剛度矩陣t為平面問(wèn)題的厚度各子塊矩陣平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征平面問(wèn)題的4節(jié)點(diǎn)矩形單元描述

(4)單元?jiǎng)菽軋?chǎng)的表達(dá)dd一階極值平面問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征4節(jié)點(diǎn)矩形單元的線性應(yīng)變和應(yīng)力

由單元位移表達(dá)式4節(jié)點(diǎn)矩形單元的位移在x，y方向呈線性變化，所以稱為雙線性位移模式，正因?yàn)樵趩卧倪吔鐇=±a和y=±b上，位移是按線性變化的，且相鄰單元公共節(jié)點(diǎn)上有共同的節(jié)點(diǎn)位移值，可保證兩個(gè)相鄰單元在其公共邊界上的位移是連續(xù)的，這種單元的位移模式是完備和協(xié)調(diào)的，它的應(yīng)變和應(yīng)力為一次線性變化，因而比3節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元精度高。軸對(duì)稱問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征軸對(duì)稱問(wèn)題的基本變量及方程有許多實(shí)際工程問(wèn)題，其幾何形狀、約束條件以及載荷都對(duì)稱于某一固定軸，這類問(wèn)題為軸對(duì)稱問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題，采用柱坐標(biāo)（r,θ,z）比較方便。軸對(duì)稱問(wèn)題的微小體元rdrθdz以及有限元離散過(guò)程如圖所示，在每一個(gè)截面中，它的單元情況與一般平面問(wèn)題相同，但這些單元都為環(huán)形單元。軸對(duì)稱問(wèn)題中的微小體元rdrθdz軸對(duì)稱問(wèn)題有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征軸對(duì)稱問(wèn)題的基本變量及方程有許多實(shí)際工程問(wèn)題，其幾何形狀、約束條件以及載荷都對(duì)稱于某一固定軸，這類問(wèn)題為軸對(duì)稱問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題，采用柱坐標(biāo)（r,θ,z）比較方便。軸對(duì)稱問(wèn)題的微小體元rdrθdz以及有限元離散過(guò)程如圖所示，在每一個(gè)截面中，它的單元情況與一般平面問(wèn)題相同，但這些單元都為環(huán)形單元。軸對(duì)稱問(wèn)題的有限元離散(環(huán)形單元)形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分

由于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性，需要使用一些幾何形狀不太規(guī)整的單元來(lái)逼近原問(wèn)題，特別是在一些復(fù)雜的邊界上，有時(shí)只能采用不規(guī)整單元；但直接研究這些不規(guī)整單元?jiǎng)t比較困難，如何利用幾何規(guī)整單元（如三角形單元、矩形單元、正六面體單元）的結(jié)果來(lái)研究(推導(dǎo))所對(duì)應(yīng)的幾何不規(guī)整單元（叫做參數(shù)單元）的表達(dá)式。這將涉及到幾何形狀映射、坐標(biāo)系變換（等參變換、非等參變換）等問(wèn)題形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的三個(gè)方面的變換由前面的單元構(gòu)造過(guò)程可以看出，一個(gè)單元的關(guān)鍵就是計(jì)算它的剛度矩陣，以平面問(wèn)題為例，對(duì)于兩個(gè)坐標(biāo)系(x,y)

和(ξ,η)，單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算公式分別為在坐標(biāo)系(x,y)

中在坐標(biāo)系(ξ,

η)

中各自坐標(biāo)系中的單元幾何矩陣形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的三個(gè)方面的變換要實(shí)現(xiàn)兩個(gè)坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃嚨淖儞Q或映射，必須計(jì)算兩個(gè)坐標(biāo)系之間的三種映射關(guān)系坐標(biāo)映射偏導(dǎo)數(shù)映射面積(體積)映射形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的三個(gè)方面的變換設(shè)有兩個(gè)坐標(biāo)系：基準(zhǔn)坐標(biāo)系(ξ,η)和物理坐標(biāo)系(x,y)

；其中基準(zhǔn)坐標(biāo)系(ξ,η)用于描述幾何形狀非常規(guī)整的基準(zhǔn)單元(如矩形單元，正六面體單元)，而工程問(wèn)題中曲邊單元(往往其幾何形狀不太規(guī)整，但可以映射為規(guī)整的幾何形狀)是在物理坐標(biāo)系(x,y)中。

可以看出，前面所討論的幾種單元都是在基準(zhǔn)坐標(biāo)系(ξ,η)中進(jìn)行研究的。希望利用在基準(zhǔn)坐標(biāo)系(ξ,η)中所得到的單元表達(dá)來(lái)推導(dǎo)在物理坐標(biāo)系(x,y)中的單元表達(dá)，由此，可將已有的單元的應(yīng)用范圍大大的擴(kuò)大形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的函數(shù)映射設(shè)如圖所示的兩個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)映射關(guān)系為形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的函數(shù)映射由于基準(zhǔn)坐標(biāo)系(ξ,η)中的一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于物理坐標(biāo)系(x,y)

中的一個(gè)相應(yīng)點(diǎn)，就圖中的四個(gè)角點(diǎn)，有節(jié)點(diǎn)映射條件表明x方向和y方向各有4個(gè)節(jié)點(diǎn)條件，如果用多項(xiàng)式來(lái)表達(dá)坐標(biāo)映射關(guān)系，則x和y方向上可以分別寫(xiě)出各包含有4個(gè)待定系數(shù)的多項(xiàng)式，即代入求取待定系數(shù)(ai，bi)形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的函數(shù)映射

4節(jié)點(diǎn)矩形單元的單元位移函數(shù)式節(jié)點(diǎn)條件共有8個(gè)，即x方向4個(gè)(u1,u2,u3,u4)，y方向4個(gè)(v1,v2,v3,v4)，因此，x和y方向的位移場(chǎng)可以各有4個(gè)待定系數(shù)，取以下多項(xiàng)式作為單元的位移場(chǎng)模式x,y方向坐標(biāo)映射表達(dá)式形式完全相同！形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的函數(shù)映射x,y方向坐標(biāo)映射表達(dá)式待定系數(shù)代回重寫(xiě)！與4節(jié)點(diǎn)矩形單元形式完全相同！形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的函數(shù)映射將物理坐標(biāo)系(x,y)

中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值進(jìn)行排列，并寫(xiě)成一個(gè)列陣實(shí)現(xiàn)兩個(gè)坐標(biāo)系間的映射！形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的偏導(dǎo)數(shù)映射對(duì)物理坐標(biāo)系(x,y)

中的任意一個(gè)函數(shù)Φ(x,y)

，求它的偏導(dǎo)數(shù)，有偏導(dǎo)數(shù)的變換關(guān)系為寫(xiě)成矩陣形式雅可比矩陣形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的偏導(dǎo)數(shù)映射對(duì)物理坐標(biāo)系(x,y)

中的任意一個(gè)函數(shù)Φ(x,y)

，求它的偏導(dǎo)數(shù)，有逆形式|J|是矩陣J的行列式形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的偏導(dǎo)數(shù)映射寫(xiě)成顯式實(shí)現(xiàn)兩個(gè)坐標(biāo)系的偏導(dǎo)數(shù)映射關(guān)系！形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的面(體)積元映射在物理坐標(biāo)系(x,y)

中，由dξ和dη所圍成的微小平行四邊形，其面積為形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的面(體)積元映射

dξ和dη在物理坐標(biāo)系(x,y)

中的分量為其中i和j分別為物理坐標(biāo)系(x,y)

中的x方向和y方向的單位向量形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的面(體)積元映射代入求得(x,y)坐標(biāo)系中面積dA的變換計(jì)算公式！形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分兩個(gè)坐標(biāo)系之間的面(體)積元映射三維問(wèn)題，在(x,y,z)

坐標(biāo)系中，由dξ、dη和dζ所圍成的微小六面體的體積體積微元的變換(x,y,z)

坐標(biāo)系中體積dΩ的變換計(jì)算公式形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分參數(shù)單元的三種類型對(duì)照物理坐標(biāo)系(x,y)

中的任意四邊形單元與基準(zhǔn)坐標(biāo)系(ξ,η)

中的矩形單元之間的坐標(biāo)映射式，基于兩個(gè)形狀函數(shù)矩陣N(ξ,η)和N(ξ,η)中插值函數(shù)的階次，有單元變換的如下定義:等參元(iso-parametricelement)：幾何形狀矩陣N中的插值階次＝位移形狀矩陣N中的插值階次超參元(super-parametricelement)：幾何形狀矩陣N中的插值階次>位移形狀矩陣N中的插值階次亞參元(sub-parametricelement)：幾何形狀矩陣N中的插值階次<位移形狀矩陣N中的插值階次形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分參數(shù)單元的三種類型由于插值階次是由節(jié)點(diǎn)數(shù)量決定的，所以，可由幾何形狀變換的節(jié)點(diǎn)數(shù)和位移插值函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)直接判斷參數(shù)單元的性質(zhì).等參元超參元亞參元形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分參數(shù)單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算的數(shù)值積分對(duì)于一個(gè)實(shí)際的單元，可以實(shí)現(xiàn)整個(gè)單元?jiǎng)偠染仃囋趦蓚€(gè)坐標(biāo)系的變換計(jì)算:對(duì)于平面4節(jié)點(diǎn)等參元積分很難以解析的形式給出，一般都采用近似的數(shù)值積分法，常用的是Gauss積分公式，它是一種高精度和高效率的數(shù)值積分方法。形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算如圖所示為一個(gè)平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元，試采用4點(diǎn)Gauss積分計(jì)算該單元的剛度矩陣。材料的彈性模量為，泊松比為E=30×106MPa,μ=0.3，厚度為t=0.1m。平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算根據(jù)該單元的幾何形狀，可得到坐標(biāo)的映射函數(shù)為映射形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算根據(jù)該單元的幾何形狀，可得到坐標(biāo)的映射函數(shù)為映射形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算雅可比矩陣為計(jì)算雅可比矩陣中的各項(xiàng):形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算雅可比矩陣的行列式為位移函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)系的偏導(dǎo)數(shù)變換為：形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算應(yīng)變分量關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)系的計(jì)算表達(dá)式為形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算代入H,Q形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算平面應(yīng)力單元彈性系數(shù)矩陣為E=30×106MPa,μ=0.3形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算選擇4點(diǎn)Gauss積分，即積分位置以及權(quán)函數(shù)為形狀映射參數(shù)單元的一般原理和數(shù)值積分平面4節(jié)點(diǎn)四邊形等參元的剛度矩陣的計(jì)算該單元?jiǎng)偠染仃噯卧魏瘮?shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣在有限元方法中占有最重要的位置，同時(shí)它們也具有非常明確的物理意義，分析和了解它們的性質(zhì)對(duì)于我們更深層次地掌握有限元方法具有重要的作用。下面以一維桿單元為例進(jìn)行討論，其結(jié)論完全可以推廣到一般單元。單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)形狀函數(shù)矩陣的性質(zhì)以一維桿單元為例來(lái)討論一般情況下形狀函數(shù)矩陣的性質(zhì)，由第前面知識(shí)可知，桿單元的位移場(chǎng)為μ1,μ2為節(jié)點(diǎn)位移，N1(x),N2(x)為對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2的形狀函數(shù)，

N(x)為形狀函數(shù)矩陣，即N(x)=[N1(x)N2(x)]單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)形狀函數(shù)矩陣的性質(zhì)

1.考慮單元左端發(fā)生單位位移，而右端固定時(shí)的情形令μ1=1,μ2=0節(jié)點(diǎn)1的形狀函數(shù)的意義N1(x)為：當(dāng)節(jié)點(diǎn)1的位移為1，而其它節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)的單元位移場(chǎng)。單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)形狀函數(shù)矩陣的性質(zhì)

2.考慮單元左端固定，而右端發(fā)生單位位移時(shí)的情形令μ1=0,μ2=1單元形狀函數(shù)性質(zhì)1：0/1性質(zhì)Ni表示在i點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移為1，其它節(jié)點(diǎn)位移為0時(shí)的單元位移場(chǎng)函數(shù)單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)形狀函數(shù)矩陣的性質(zhì)3.考慮單元發(fā)生剛體位移的情形設(shè)單元有剛體位移u0，由于是剛體位移，則單元的位移場(chǎng)函數(shù)及節(jié)點(diǎn)位移都為u0，即單元形狀函數(shù)性質(zhì)2：和1性質(zhì)單元的形狀函數(shù)滿足：在單元的任意點(diǎn)處n為單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)，它表明形狀函數(shù)能夠描述單元的剛體位移單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì)以一維2節(jié)點(diǎn)桿單元為例,它的剛度方程為1.考慮單元左端發(fā)生單位位移，而右端固定時(shí)的情形μ1=1,μ2=0k11為保持這樣一種狀態(tài)（即使節(jié)點(diǎn)2的位移為零，使節(jié)點(diǎn)1產(chǎn)生單位位移）而需要在節(jié)點(diǎn)1上所施加的力單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì)k11的物理含義剛度系數(shù)的物理含義單元?jiǎng)偠染仃囆再|(zhì)1：對(duì)角線元素的1/0性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨膶?duì)角線元素kii表示要使單元的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移(ui=1)，而其它節(jié)點(diǎn)位移為0時(shí)，需在節(jié)點(diǎn)i所施加的力。單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì)2.考慮單元左端固定，而右端發(fā)生單位位移時(shí)的情形μ1=0,μ2=1k12為保持這樣一種狀態(tài)（即使節(jié)點(diǎn)1的位移為零，使節(jié)點(diǎn)2產(chǎn)生單位位移）而需要在節(jié)點(diǎn)1上所作用的力，k12的物理含義單元?jiǎng)偠染仃囆再|(zhì)2：非對(duì)角線元素的1/0性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨姆菍?duì)角線元素kij表示要使單元的第j個(gè)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移(),而其它節(jié)點(diǎn)位移為0時(shí),需要在第i個(gè)節(jié)點(diǎn)所施加的力。單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃囆再|(zhì)3：對(duì)稱性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱的，即由功的互等定理推導(dǎo)：對(duì)于線性彈性體，第一種加載狀態(tài)下的外力在第二種加載狀態(tài)下發(fā)生的相應(yīng)位移上所做的功，等于第二種加載狀態(tài)下的外力在第一種加載狀態(tài)下發(fā)生的相應(yīng)位移上所做的功；根據(jù)前面所述剛度系數(shù)的性質(zhì)，系數(shù)kij和kji分別包含在這樣兩種加載狀態(tài)的外力中，其對(duì)應(yīng)的外力功是1×kij=1×kji，故kij=kji單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃囆再|(zhì)4：半正定性質(zhì)將基于節(jié)點(diǎn)表達(dá)的應(yīng)變能寫(xiě)成展開(kāi)的形式節(jié)點(diǎn)位移單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì)3.考察剛體位移假設(shè)一個(gè)單元在受相同外載情形下存在兩種狀態(tài)位移(即該單元可以任意移動(dòng)，但所受的力是保持平衡的)，仍以所一維桿單元的剛度方程為例：在節(jié)點(diǎn)載荷p1,p2作用下，該單元有位移單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì)3.考察剛體位移假設(shè)該單元此時(shí)在保持p1,p2作用狀態(tài)下有一剛體位移，則節(jié)點(diǎn)位移為μ0為剛體位移的平移量；則對(duì)應(yīng)于這兩種情形的單元?jiǎng)偠确匠虨閮墒较鄿p單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì)3.考察剛體位移有非零解的條件單元在保持p1,p2作用狀態(tài)下有一剛體位移時(shí)的節(jié)點(diǎn)位移為有非零解的條件單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃囆再|(zhì)5：奇異性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惖?，即Ke=0。所以在未加位移約束條件以前有限元?jiǎng)偠确匠痰慕獠皇俏ㄒ坏膯卧獎(jiǎng)偠染仃囆再|(zhì)6：行(或列)的代數(shù)和為零的性質(zhì)剛度矩陣的任一行（或列）代表一個(gè)平衡力系；當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移全部為線位移時(shí)(即為C0型問(wèn)題)，任一行（或列）的代數(shù)和應(yīng)為零。剛度矩陣的任一行在數(shù)值上等于某種特定位移狀態(tài)下的全部外力和支反力，它們當(dāng)然構(gòu)成一個(gè)平衡力系；而由對(duì)稱性可知，任意一列也就具有同樣性質(zhì)。在具體計(jì)算過(guò)程中，可以利用這一性質(zhì)檢查計(jì)算結(jié)果的正誤。單元形狀函數(shù)矩陣與剛度矩陣的性質(zhì)剛度矩陣的