盈虧問題(五年級教師版)

第8講

盈虧問題盈虧問題又叫盈不足問題指固定數(shù)量的物品平均分給固定的對象為種不同的分配標準，導致兩種不同的分配結(jié)果：一種標準分配后有剩余（盈）；另一種標準分配后不夠分（虧或不足）。此類問題，要求通過兩種分配結(jié)果的比較，求出物品總數(shù)量和固定對象的個數(shù)。標準的盈虧問題就是兩次分配的結(jié)果一盈一虧就叫盈虧問題本數(shù)量關(guān)系是：（盈虧）÷兩種分配標準的數(shù)量之差＝固定對象數(shù)量。廣義的盈虧問題一般還包括以下四種情況：一、兩次分配都有余（兩盈）；二、兩次分配都不夠分（兩虧）；三、一次有余，一次剛好夠分（盈適足）；四、一次分配不夠分，一次剛好夠分（虧適足）。解決盈虧問題常用比較的解題策略：通過兩次分配盈虧總額與分配數(shù)量的比較，先求出固定對象的個數(shù)，再求出分配物品的總數(shù)量。此類問題基本數(shù)量關(guān)系有：①盈適足問題：盈余部分÷兩種分配標準的數(shù)量之差＝固定對象數(shù)量。②虧適足問題：虧欠部分÷兩種分配標準的數(shù)量之差＝固定對象數(shù)量。③兩盈問題：（盈多－盈少）÷兩種分配標準的數(shù)量之差＝固定對象數(shù)量。④兩虧問題：（虧多－虧少）÷兩種分配標準的數(shù)量之差＝固定對象數(shù)量。⑤盈虧問題：（盈虧）÷兩種分配標準的數(shù)量之差＝固定對象數(shù)量。比較常規(guī)的盈虧問題，一般可以直接套用上面的數(shù)量關(guān)系，解決問題。較復(fù)雜的盈虧問題，一般需要先對題中的條件進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化，將相關(guān)問題先轉(zhuǎn)化成典型的盈虧問題，再求解。【例1“雛鷹小隊”的同學們參加植樹活動，如果每人栽5棵，還?？?；如果每人栽7棵，就缺棵問這個隊有多少人一共要栽多少棵樹

【解析】：可以畫出線段圖幫助理解題意，如下圖：觀察上圖，比較每人栽7棵與每人栽棵兩種情況，雛鷹小隊總?cè)藬?shù)是不變的。雛鷹小隊栽樹總棵數(shù)多出124=16（）；而每個人多栽：－（棵）；所以小隊人數(shù)為：（＋）÷－）=8人）。由小隊人數(shù)和任意一種栽法，可以求出栽樹總棵數(shù)：5×＋12=52（）或7×－（）【例2】學生春游，租了幾條讓學生們劃，每條船坐3人則空人的位置；如果每條船坐人則空出人位置，問有學生多少人共租了多少條船【解析】：這是兩虧問題，每條船坐人，空個位置即少人每條船坐5人空16個位置少16人，每條船坐5人每條船坐人空出了14個置，即每條船坐5人比每條船做人可以多坐14人。比較兩種坐船方案，租船總條數(shù)是不變的?？沙俗?cè)藬?shù)相差：－（）；每條船乘坐人數(shù)相差－3=2（人）；所以共租船：÷（條）。根據(jù)船的條數(shù)和任意一種租船方案，可以求出學生人數(shù)，如×－（人）。注：如果解題時，該題需要把題中的一種分配方案進行轉(zhuǎn)化才能化為盈虧問題求解，通常在求題中的第二個未知數(shù)時，按另一種分配方案求解比較方便?！纠?】解放軍某部調(diào)動批戰(zhàn)士分乘一批車輛趕往汛地抗洪。原計劃每輛汽車32人則出5人，他們被安排乘坐在其中的某輛車上進由于緊急任務(wù)調(diào)走一輛車這時只好重新安排每輛車乘35人這樣多出7人，他們被安排在其中的某輛車上，問原來共有多少輛車共派出多少名戰(zhàn)士【解析】：在重新安排時，每輛車35人，少了一輛車多出7人如果補上這輛車，可以坐上這7個，還可以再坐35－（人）。所以這個條件可以轉(zhuǎn)化為：仍然是

原來的車輛數(shù)，每輛車35人少了28人。轉(zhuǎn)化條件后，比較兩種安排乘坐情況，車輛數(shù)是不變的。乘坐總?cè)藬?shù)相差5＋28=33（人）；每輛車乘坐人數(shù)相差－（）；所以原來車輛數(shù)為：÷（）。再根據(jù)原計劃乘坐情況，可以求出戰(zhàn)士人數(shù)為11×＋5=357（）?！纠?】：少先隊員栽植一批苗，如果每個隊員栽6棵還剩12棵如其中個小隊員每人栽4棵而其余隊員栽8棵果缺2棵問這批樹苗有多少參加植樹的少先隊員有多少人【解析】：第二種方案中有個隊員每人栽4棵苗，假定這9個隊員每人也栽8棵，則需要再添樹苗×－）（棵）。因此題中條件“如果其中9個小隊員每人栽棵而其余隊員栽8棵結(jié)果缺2棵”可以轉(zhuǎn)化為：如果所有隊員每人栽8棵，就缺少樹苗36＋（）。從而把原題轉(zhuǎn)化為盈虧問題求解：少先隊員人數(shù)為：（＋）÷8－）（人）；這批樹苗總棵樹為：×＋（）。【例5】猴子分桃子，如有只子各分5個其余的各分3個則還剩余9個桃子。如果4只子各分3個其余的各分6個則剩余10個子。問猴子有多少只桃子有多少個【解析】：第一種分配方案中，有只猴子各分5個假定這2只猴子和其余猴子一樣也是分個在剩余的桃子就多出2×5－）=4（個）。因此題中條件“如果有2只子各分5個其余的各分3個，則還剩余個子?！笨梢赞D(zhuǎn)化為：每只小猴分3個則剩余：＋（）。第二種分配方案中只猴子各分3個這4只子和其余猴子一樣也是分6個，則需要再分掉：×6－）（個）因此題中條件“如果4只子各分3個其余的各分個則剩余10個桃子?！笨梢赞D(zhuǎn)化為：每只小猴分6個，則缺少－（）。從而把原題轉(zhuǎn)化為盈虧問題求解：共有猴子：（＋）÷6－=5（個）；共有桃子：×＋（－）×＋9=28（）。

【例6陳師給小朋友分紅花和黃花，黃花的朵是紅花的一半花每人分朵則多朵紅花每人分7朵則少5朵。問有多少個小朋友共有多少朵【解析】：因為黃花的朵數(shù)是紅花的一半，即紅花的朵數(shù)是黃花2倍因此題中條件“黃花每人分3朵，則多4朵；”可以轉(zhuǎn)化為：紅花每人分6朵，則多朵把題目轉(zhuǎn)化成盈虧問題求解：小朋友的個數(shù)為：（＋）÷（－）（）；共有紅花：×－朵）；共有花86＋÷（）。

8小友分蘋果，每人分18個還多出2個；每人分20個就有一位小朋友沒分到蘋果，問共有多少個小朋友共有多少個蘋果全同學分組勞動，每組8人。勞動中覺得每組人數(shù)太少，因而重編組，每組改為12人，這樣減少了2組，問參加勞動的學生有多少人在次大掃除中師分配若干人擦玻璃果中2人擦4塊其余每人擦塊則余22塊如果每人擦7塊正好擦完。求擦玻璃的人數(shù)和玻璃的塊數(shù)。有干個蘋果和梨，如果按1個蘋果配3個分一堆那么蘋果分完時還剩個，如果按半個蘋果配2個梨分一堆，那么梨分完時還剩半個蘋果，那么梨有多少個學思學校買來一批體育用品，羽毛球拍是乓球拍的2倍，分給同學們，每組分乒乓球拍副余乒乓球拍副，每組分羽毛球拍14副，則差副問：學而思學校買來羽毛球拍、乒乓球拍各多少副用根長繩測量井的深度，如果繩子兩折時多5米；如果繩子折時，米求子長度和井.

題解小友分蘋果，每人分18個還多出2個；每人分20個就有一位小朋友沒分到蘋果，問共有多少個小朋友共有多少個蘋果【解析】：轉(zhuǎn)化題中條件“每人分20只，就有一位小友沒分到蘋果”，即每人分20個蘋果，就少個蘋果?？梢援嫵雠c上題相似的線段圖幫助理解題意每人分20個果和每人分18個果兩種情況，小朋友總?cè)藬?shù)是不變的。分掉的蘋果總數(shù)相差＋20=22（）；每人多分：－（）；所以共有小朋友222=11（）。由小朋友總?cè)藬?shù)和任意一種分法，可以求出蘋果總數(shù)，如：—）×（個）。全同學分組勞動，每組8人。勞動中覺得每組人數(shù)太少，因而重編組，每組改為12人，這樣減少了組，問參加勞動的學生有多少人【解析】：轉(zhuǎn)化題中條件“每組12人，少組”，即按原定組數(shù)分組，每組2人，少了24人轉(zhuǎn)化條件后，比較第二次編組與第一次編組情況，編的組數(shù)沒變?？?cè)藬?shù)增加：×2=24（）；每組人數(shù)增加：－8=4（）；原定組數(shù)為：÷（人）。再根據(jù)第一次分組情況，可以求出學生人數(shù)為8×（人）。在次大掃除中師分配若干人擦玻璃果中2人擦4塊其余每人擦塊則余22塊如果每人擦7塊正好擦完。求擦玻璃的人數(shù)和玻璃的塊數(shù)。【解析】：第一種方案中，有2人擦塊玻璃，假定這兩人也擦5塊就可以多擦2×（－）（塊）。因此題中條件“如果其中人各擦塊，其余每擦塊則余22塊”可以轉(zhuǎn)化為：如果每人擦5塊則余－（塊）。從而把原題轉(zhuǎn)化為盈余問題求解：擦玻璃人數(shù)為：÷（－）（）；玻璃的塊數(shù)為：×（塊）。有干個蘋果和梨，如果按1個蘋果配3個分一堆那么蘋果分完時還剩個，如果按半個蘋果配2個梨分一堆，那么梨分完時還剩半個蘋果，那么梨有多少個

【解析】：第二分配方案中，半個蘋果2個就相當于個果配4個，還剩下半個蘋果，還需要添2個梨正好配完。因此題中條件“如果按半個蘋果配2個梨分一堆，那么梨分完時還剩半個蘋，”可以轉(zhuǎn)化為：如果按1個蘋果配4個，就缺個。從而把原題轉(zhuǎn)化為盈虧問題求解：共有蘋果：（＋）÷（－）（個）；共有梨4×＋2=14（）。學思學校買來一批體育用品，羽毛球拍是乓球拍的2倍，分給同學們，每組分乒乓球拍副余乒乓球拍副，每組分羽毛球拍14副，則差副問：學而思學校買來羽毛球拍、乒乓球拍各多少副【解析】：因為羽毛球拍是乒乓球拍的2倍如果每次分羽毛