二次函數(shù)基本定義_第1頁
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文檔簡介

基本定義一般地,把形如

(a、b、c是常數(shù))的函數(shù)叫做二次函數(shù),其中a稱為二次項系數(shù),b為一次項系數(shù),c為常數(shù)項。x為自變量,y為因變量。等號右邊自變量的最高次數(shù)是2。頂點坐標(biāo)

交點式為

(僅限于與x軸有交點的拋物線),與x軸的交點坐標(biāo)是

頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù)),頂點坐標(biāo)為(h,k)

[4]

,對稱軸為直線x=h,頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同,當(dāng)x=h時,y最大(?。┲?k.有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式。例:已知二次函數(shù)y的頂點(1,2)和另一任意點(3,10),求y的解析式。解:設(shè)y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。注意:與點在平面直角坐標(biāo)系中的平移不同,二次函數(shù)平移后的頂點式中,h>0時,h越大,圖像的對稱軸離y軸越遠(yuǎn),且在x軸正方向上,不能因h前是負(fù)號就簡單地認(rèn)為是向左平移。

[2]

具體可分為下面幾種情況:當(dāng)h>0時,y=a(x-h)2的圖像可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到;當(dāng)h<0時,y=a(x-h)2的圖像可由拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位得到;當(dāng)h>0,k>0時,將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象;當(dāng)h>0,k<0時,將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象;當(dāng)h<0,k>0時,將拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象;當(dāng)h<0,k<0時,將拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。

[5]

交點式

[僅限于與x軸即y=0有交點時的與X軸交點的情況:當(dāng)

時,函數(shù)圖像與x軸有兩個交點,分別是(x1,0)和(x2,0)。二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線

對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點為二次函數(shù)圖象的頂點P。特別地,當(dāng)b=0時,二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸(即直線x=0)。是頂點的橫坐標(biāo)(即x=?)。a,b同號,對稱軸在y軸左側(cè);a,b異號,對稱軸在y軸右側(cè)。

[2]

頂點二次函數(shù)圖像有一個頂點P,坐標(biāo)為P(h,k)。當(dāng)h=0時,P在y軸上;當(dāng)k=0時,P在x軸上。即可表示為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(x≠0)

,

[2]開口二次項系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。當(dāng)a>0時,二次函數(shù)圖象向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則二次函數(shù)圖像的開口越小。

[2]

決定位置因素一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當(dāng)a>0,與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號當(dāng)a>0,與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號可簡單記憶為左同右異,即當(dāng)對稱軸在y軸左時,a與b同號(即a>0,b>0或a<0,b<0);當(dāng)對稱軸在y軸右時,a與b異號(即a0或a>0,b<0)(ab<0)。事實上,b有其自身的幾何意義:二次函數(shù)圖象與y軸的交點處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值??赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

[2]

決定交點因素常數(shù)項c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點。二次函數(shù)圖像與y軸交于(0,C)點注意:頂點坐標(biāo)為(h,k),與y軸交于(0,C)。

[2]

與x軸交點數(shù)a<0;k>0或a>0;k<0時,二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點。k=0時,二次函數(shù)圖像與x軸只有1個交點。質(zhì)疑點:a<0;k<0或a>0,k>0時,二次函數(shù)圖像與x軸無交點。當(dāng)a>0時,函數(shù)在x=h處取得最小值y=k,在x<h范圍內(nèi)是減函數(shù),在x>h范圍內(nèi)是增函數(shù)(即y隨x的變大而變大),二次函數(shù)圖像的開口

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