二次函數(shù)基本定義

基本定義一般地，把形如

（a、b、c是常數(shù)）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項。x為自變量，y為因變量。等號右邊自變量的最高次數(shù)是2。頂點坐標

交點式為

（僅限于與x軸有交點的拋物線），與x軸的交點坐標是

和

頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù)),頂點坐標為（h,k)

[4]

，對稱軸為直線x=h，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同，當x=h時，y最大（?。┲?k.有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式。例：已知二次函數(shù)y的頂點(1,2)和另一任意點(3,10)，求y的解析式。解：設(shè)y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：與點在平面直角坐標系中的平移不同，二次函數(shù)平移后的頂點式中，h>0時，h越大，圖像的對稱軸離y軸越遠，且在x軸正方向上，不能因h前是負號就簡單地認為是向左平移。

[2]

具體可分為下面幾種情況：當h>0時，y=a(x-h)2的圖像可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到；當h<0時，y=a(x-h)2的圖像可由拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位得到；當h>0,k>0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；當h>0,k<0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；當h<0,k>0時，將拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；當h<0,k<0時，將拋物線y=ax2向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。

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交點式

[僅限于與x軸即y=0有交點時的與X軸交點的情況:當

時，函數(shù)圖像與x軸有兩個交點，分別是(x1,0)和(x2,0)。二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線

對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點為二次函數(shù)圖象的頂點P。特別地，當b=0時，二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）。是頂點的橫坐標（即x=？）。a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè)；a,b異號，對稱軸在y軸右側(cè)。

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頂點二次函數(shù)圖像有一個頂點P，坐標為P(h,k)。當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k（x≠0）

,

。

[2]開口二次項系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。當a>0時，二次函數(shù)圖象向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則二次函數(shù)圖像的開口越小。

[2]

決定位置因素一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當a>0,與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號當a>0,與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號可簡單記憶為左同右異，即當對稱軸在y軸左時，a與b同號（即a>0，b>0或a<0，b<0）；當對稱軸在y軸右時，a與b異號（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖象與y軸的交點處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導得到。

[2]

決定交點因素常數(shù)項c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點。二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C）點注意：頂點坐標為（h,k)，與y軸交于（0,C)。

[2]

與x軸交點數(shù)a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點。k=0時，二次函數(shù)圖像與x軸只有1個交點。質(zhì)疑點：a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函數(shù)圖像與x軸無交點。當a>0時，函數(shù)在x=h處取得最小值y=k，在x<h范圍內(nèi)是減函數(shù)，在x>h范圍內(nèi)是增函數(shù)（即y隨x的變大而變大），二次函數(shù)圖像的開口