線性規(guī)劃知識(shí)復(fù)習(xí)、題型總結(jié)

．線性規(guī)劃．基知：一點(diǎn),y)在直線上，則坐適方，+C=000點(diǎn)在直Ax+By+C=0上方左或上，當(dāng)B>0時(shí)，Ax+By+C>0;當(dāng)B<0時(shí)，00+C<000點(diǎn)在直Ax+By+C=0下方左或下，B>0，當(dāng)B<0時(shí)，00+C>000注（1）在直Ax+By+C=0同一的有，它坐(代所得數(shù)符都同（2）直Ax+By+C=0的兩的點(diǎn)把的標(biāo)入所到數(shù)符相,即1.點(diǎn),y)和Q(x,y)直Ax+By+C=0同，有Ax+By+C+C)>01222.點(diǎn)和點(diǎn)Q(x)在線的側(cè)，有Ax+By+C+C)<0122二二一不式表平區(qū)①元次等Ax+By+C>0或<0）在平直坐系表直Ax+By+C=0某側(cè)有組成平區(qū)不包邊;②元次等Ax+By+C（≤）平直坐系表直Ax+By+C=0某側(cè)有組的面域包邊注：圖不括界成線;包邊畫實(shí).三判二一不式示一平區(qū)的法:方一:取殊檢;“直線界特點(diǎn)域原:由于在線Ax+By+C=0的同一的有(x,y),把的坐(代入Ax+By+C,得的數(shù)符都同所以需此線某側(cè)一特點(diǎn),y),從Ax+C的正即判00表示直哪側(cè)平區(qū).特殊,

當(dāng)≠時(shí)常原作特殊，C=0時(shí)可用，）（，0）當(dāng)特點(diǎn)若坐代適不式此所的域?yàn)楫媴^(qū)，則另側(cè)域需區(qū)。方二利規(guī)：當(dāng)B>0時(shí)示線Ax+By+C=0上方左或右）當(dāng)B<0時(shí)示線Ax+By+C=0下方左或右）當(dāng)B>0時(shí)示線Ax+By+C=0下方左或右）當(dāng)B<0時(shí)示線Ax+By+C=0上方左或右）四線規(guī)的關(guān)念①性束件②性標(biāo)數(shù)③性劃題④行、行和優(yōu)：典例一-------畫域用等式表示以

(1，(，(1

為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部的平面區(qū)域．

yzxy得(14p),yzxy得(14p),xy解直

的斜率為：

k

AB

41

，其方程為

y

．可求得直線的程為y直線的方程為y

．

的內(nèi)部在不等式

所表示平面區(qū)域內(nèi)，同時(shí)在不等式xy

所表示的平面區(qū)域內(nèi)，同時(shí)又在不等式

xy

所表示的平面區(qū)域內(nèi)（如圖所以已知三角形內(nèi)部的平面區(qū)域可由不等式組

yxx0

表示．說：不等式組可以用來平面內(nèi)的一定區(qū)域，注意三角形區(qū)域內(nèi)不包括邊界線．畫

xy

表示的區(qū)域，并求所有的正整數(shù)解

()

．解原等式等價(jià)于

yy3.

而求正整數(shù)解則意味著x，

y還有限制條件，即求．x依照二元一次不等式表示的平面區(qū)域，xy知表示的區(qū)域如下圖：xy對(duì)于的正整數(shù)解，容易求得，在其區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解為1)、2)、(13)、、(2,3)．設(shè)，0；，，

，用圖表示出點(diǎn)

()

的范圍．分：目中的，與x，y，是性關(guān)系．可借助于x，z的圍確定

(p,)

的范圍．解：由

zq127p),272

223223由

x0

，

y

，

z0

p得q畫出不等式組所示平區(qū)域如圖所示．3q說：目的條件隱蔽，應(yīng)考慮到已有的

，y

，

z

的取值范圍．借助于三元一次方程組分別求出

，y

，z

，從而求出p，q所滿足的不等式組找出

(p,)

的范圍．、已知滿條件：

x0,0

2x+y+a=6,x+2y+b=6（1）試畫出（x

）的存在的范圍；（2求

xy

的最大值。典例二------畫區(qū)，面x例3求等式組所表示的平面區(qū)域的面積．分：鍵是能夠?qū)⒉坏仁浇M所表示的平面區(qū)域作出來，判斷其形進(jìn)而求出其面積．而要將平面區(qū)域作出來的關(guān)鍵又是能夠?qū)Σ坏仁浇M中的兩個(gè)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)和變形，如何變形？需對(duì)絕對(duì)值加以討論．解不等式

x

可化為

y(x

或

y

；不等式

可化為

或

yx0)

．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出四條射線：AB：y(x，：yxDE：x，DF：yx則不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，由于

與

、

DE

與

DF

互相垂直，所以平面區(qū)域是一個(gè)矩形．根據(jù)兩條平行線之間的距離公式可得矩形的兩條邊的長(zhǎng)度分別為典例三-----求最

和．以其面積為．22y一與線截有的值題

AxB

A

4)ABCA(2,,B(C(1,0)中的三頂點(diǎn)如1所示，已知(x在內(nèi)及邊界運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你探究并討論以下問題：點(diǎn)

，

B(

C

0)

①

x

在點(diǎn)A處最大值6，邊界BC處最小值；

（圖）②

z

在點(diǎn)C處最大值1

，在點(diǎn)B處有最小值y

A

4)

y

xA4)B(

x

B(

xy3

0)

C

0)

xxxx，若

、y

滿足條件求

的最大值和最小值．

0.分：出可行域，平移直線找最優(yōu)解．解作出約束條件所表示的平面區(qū)，即可行域，如圖所示．作直線

l，y

1xz，表示斜率為，截距為的平行直線系，當(dāng)它222在可行域內(nèi)滑動(dòng)時(shí)，由圖可知，直l

過點(diǎn)A時(shí)

z

取得最大值，當(dāng)

l

過點(diǎn)

時(shí)，

z

取得最小值．∴

z

∴

z

min

注：

By可為

x表與直線yB

z平行的一組平行線其為距特別注B意：斜率范圍及截距符號(hào)。即注意平移直線的傾斜度和平移方向。變：滿足束件

xyxy25x分求，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，的大，小。二與線斜有的值題yyz0x0

表定P,y)與行內(nèi)動(dòng)M(x,y)連線斜率0例2設(shè)數(shù)

y

y，滿足，則y，

z

的最大值是__________解析：畫出不等式組所確定的三角形區(qū)域，

z

yyxx

表示兩點(diǎn)

OP(，y

確定的直線的斜率，要求z的大，即求可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最大值．可以看出直線斜率最大，故P3，．故答案為．即A點(diǎn)．∴2

xy

與

y

的交點(diǎn)，B(

A

4)4

0)

（圖）

如1所示，已知

ABC

中的三頂點(diǎn)

A(2,,B(C(1,0)

，點(diǎn)

(x

在

ABC

內(nèi)部及邊界運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你探究并討論以下問題：若目標(biāo)函數(shù)是

z

yy或zxx

，你知道其幾何意義嗎？你能否借助其幾何意義求得

z

和zmin

？三與離關(guān)最問z(x)0

2

y)0

2

或x)0

2

y)0

2

或

2

2

By

（配方）的構(gòu)示點(diǎn)（,y)到行內(nèi)動(dòng)N(x,y)的距的方距。0已

x

，

x

．求

x2

的最大、最小值．分：

z

2

，目標(biāo)函數(shù)是非線性的．而

2y

x

2

y

2

可看做區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方．問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題．解：由2y2

xy得可行域如圖所示)為xy2y2，(0,到，的距離分別為

5和．所22

25的最大、最小值分別是和．2y≥，已y≥，

z

2

y

2

的最小值2y，解析：作出可行域如圖，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A（，3（，1（7，

zx

2y5)2

表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)x，y）到定點(diǎn)（，5的距離的平方，過M作線的9垂線，易知垂足在段上故的小是MN．2練習(xí)給平面區(qū)域如圖所示使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>