垂直平分線的性質(zhì)

關(guān)于垂直平分線的性質(zhì)第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日

什么叫線段的垂直平線？線段垂直平分線的定義:經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）。垂直平分線，簡稱“中垂線”。復(fù)習(xí)回顧第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日ABCDo∟∵CD是AB的垂直平分線（中垂線）∴OA=OB；CD⊥AB第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日

怎樣作出線段的垂直平分線？（1）折紙法（2）過中點(diǎn)畫垂線法（3）尺規(guī)作法探究新知第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日作法：1、分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB長為半徑畫弧交于點(diǎn)E、F。

2、過點(diǎn)E、F作直線。 則直線EF就是線段AB的垂直平分線（圖16-11）－１２ABEF圖16-11尺規(guī)作法第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日1、為什么以“大于1/2AB長”為半徑？２、為什么這樣作出的直線EF就是線段AB的垂直平分線呢？設(shè)所作直線EF交AB于點(diǎn)O，請你根據(jù)三角形全等的判定定理給出證明

思考第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日O∟第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日ABPA=PBP1P1A=P1B……命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。PMNC畫一畫：作線段AB的垂直平分線MN，垂足為C；在MN上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB；量一量：PA、PB的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？歸納：由此你能得到什么規(guī)律？操作第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。ABPMNCPA=PB

直線MN⊥AB,垂足為C,

且AC=CB.已知：如圖，點(diǎn)P在MN上.求證：證明：∵M(jìn)N⊥AB垂足為C

∴∠PCA=∠PCB

在ΔPAC和ΔPBC中，

AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC∴PA=PB第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日線段垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。符號語言,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一點(diǎn)(已知),∴PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)距離相等).ABPMN文字語言：C∟第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日例題、如圖，在△ABC中，ED垂直平分AB，1)若BD＝10，則AD=

。2)若∠A＝50°，則∠ABD＝

。3)若AC＝14，△BCD的周長為24，則BC=

。學(xué)以致用第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日

高速公路AB

在某高速公路L的同側(cè)，有兩個工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？你的方案是什么?L實際問題1實戰(zhàn)演練第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日針對性訓(xùn)練1、如圖，已知直線MN是線段AB的垂直平分線，垂足為D，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，若AB=10cm，則BD=__________cm；若PA=10cm，則PB=__________cm.1題圖第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日2、如圖，在△ABC中，BC的中垂線交斜邊AB于D，圖中相等的線段有（）A、1組B、2組C、3組D、4組針對性訓(xùn)練12第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日3、已知，如圖，y軸垂直平分線段BC，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B、C在x軸上。（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是__________；（2）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是___________。針對性訓(xùn)練第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日如圖1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于50，求BC的長.變式1：如圖1，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若∠BEC=70°，則∠A=？圖1作業(yè)：第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日已知：在ΔABC中，ON是AB的垂直平分線OA=OC。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。例題擴(kuò)展ABCON證明：連結(jié)OB。

∵

ON是AB的垂直平分線（已知）

∴

OA=OB（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等）∵

OA=OC（已知）

∴

OB=OC（等量代換）

∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。

（到線段的兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。）第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日

線段的垂直平分線已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.求證：點(diǎn)P在AC的垂直平分線上;BACMNM’N’PPA=PB=PCPB=PC點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上分析：∵PA=PC∴點(diǎn)P在AC的垂直平分線上第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日例2：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90度，DE是AB的垂直平分線，連接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B的度數(shù)。AEDBC第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日試一試已知:如圖,在等腰三角形ABC中,腰AB的垂直平線MN交AC于點(diǎn)D,BC=8厘米,

ΔBDC的周長20厘米.求:AB的長.ABCDMN已知:如圖,D是BC延長線上的一點(diǎn),BD=BC+AC.求證:點(diǎn)C在AD的垂直平分線上.ABCD8第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日已知：如圖，△ABC中，AC=16cm，DE為AB的垂直平分線，△BCE的周長為26cm，求BC的長。做一做解:∵DE是AB的垂直平分線∴EA=EB(線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等）∵△BCE周長=CE+EB+BC又∵AC=CE+EA=CE+EB∴BC=△BCE周長-(CE+EB)=△BCE周長-AC=10cm第二十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日解:做一做已知：如圖，P為∠MON內(nèi)一點(diǎn)，OM⊥PA于E，ON⊥PB于F，EA=EP，F(xiàn)B=FP，若AB長為15cm，求△PCD的周長?！逴M⊥PA于E，EA=EP，點(diǎn)C在OM上，∴CA=CP