復(fù)變函數(shù)全書知識(shí)點(diǎn)

復(fù)變函數(shù)全書知識(shí)點(diǎn)第一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日復(fù)數(shù)的誕生先從二次方程談起:

公元前400年，巴比倫人發(fā)現(xiàn)和使用

則當(dāng)時(shí)無(wú)解，當(dāng)時(shí)有解．二千多年沒(méi)有進(jìn)展：尋找三次方程

的一般根式解．

G.Cardano(1501-1576):＂怪才＂，精通數(shù)學(xué)，醫(yī)學(xué)，語(yǔ)言學(xué)，文學(xué)，占星學(xué)．他發(fā)現(xiàn)沒(méi)有根，形式地表為第二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

L.Euler(1707-1783):瑞典數(shù)學(xué)家,13歲入大學(xué)，17歲獲碩士,30歲右眼失明，60歲完全失明．1748年：Euler公式C.Wessel(挪威1745-1818)和R.Argand(法國(guó)1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來(lái)表示．K.F.Gauss(德國(guó)1777-1855)與W.R.Hamilton(愛(ài)爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù)為一對(duì)有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對(duì)復(fù)數(shù)真實(shí)性的懷疑，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展．R.Descartes(笛卡兒):1596-1650,法國(guó)哲學(xué)家，坐標(biāo)幾何的創(chuàng)始人．1637他稱一個(gè)負(fù)數(shù)的開(kāi)方為虛數(shù)(imaginarynumber).

1777年：首次使用"i"表示，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論，并應(yīng)用到水利學(xué)，地圖制圖學(xué)

．

第三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問(wèn)題的有力工具。第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算定義對(duì)任意兩實(shí)數(shù)x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復(fù)數(shù)。1.復(fù)數(shù)的概念第四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

一般,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。復(fù)數(shù)z的實(shí)部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)復(fù)數(shù)的模判斷復(fù)數(shù)相等第五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數(shù)運(yùn)算四則運(yùn)算第六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運(yùn)算規(guī)律復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實(shí)數(shù)相同）即，第七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)3.共軛復(fù)數(shù)定義若z=x+iy,稱z=x-iy

為z的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)第八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示：

數(shù)z與點(diǎn)z同義.§1.2復(fù)數(shù)的幾何表示第十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

稱向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)z=x+iy的?；蚪^對(duì)值；以正實(shí)軸為始邊,以為終邊的角的弧度數(shù)稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角.(z≠0時(shí))第十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日輻角無(wú)窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz。

z=0時(shí)，輻角不確定。

計(jì)算argz(z≠0)

的公式第十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。

當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加。

當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減。

第十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指數(shù)表示法第十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此第十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2)顯然,r=|z|=1,又因此練習(xí)：寫出的輻角和它的指數(shù)形式。解：第十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)確定它所表示的平面圖形.例1將通過(guò)兩點(diǎn)z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來(lái)表示.

[解]

通過(guò)點(diǎn)(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為因此,它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)第十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0t1)取得知直線段的中點(diǎn)為例2求下列方程所表示的曲線:第十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：設(shè)z=x+iy

,

方程變?yōu)?iOxy幾何上,該方程表示到點(diǎn)2i和-2的距離相等的點(diǎn)的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和-2的線段的垂直平分線,方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。第二十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日Oxy-22iy=-x設(shè)z=x+iy

,那末可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-3第二十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日注:這里A是復(fù)數(shù),B是實(shí)數(shù).第二十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).用直線將復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z與N相連,必與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,

而N點(diǎn)本身可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作.

這樣的球面稱作復(fù)球面.4.復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)第二十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日擴(kuò)充復(fù)數(shù)域---引進(jìn)一個(gè)“新”的數(shù)∞:擴(kuò)充復(fù)平面---引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)”:無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

∞.約定:

注:若無(wú)特殊說(shuō)明,平面均指有限復(fù)平面.第二十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理1

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)

1.乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2§1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根

第二十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日幾何意義將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。定理1可推廣到n個(gè)復(fù)數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z2第二十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例：設(shè)則：即k=m+n+1則有第二十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理2

兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。證明Argz=Argz2-Argz1即：由復(fù)數(shù)除法的定義z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）第二十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日設(shè)z=reiθ，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。2.復(fù)數(shù)的乘冪定義n個(gè)相同的復(fù)數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個(gè)）。定義特別：當(dāng)|z|=1時(shí)，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

一棣模佛(DeMoivre)公式。第三十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日問(wèn)題給定復(fù)數(shù)z=rei，求所有的滿足ωn=z的復(fù)數(shù)ω。3.復(fù)數(shù)的方根（開(kāi)方）——乘方的逆運(yùn)算當(dāng)z≠0時(shí)，有n個(gè)不同的ω值與相對(duì)應(yīng)，每一個(gè)這樣的ω值都稱為z的n次方根，第三十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日當(dāng)k=0，1，…，n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的根，而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。幾何上，的n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，為半徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。xyo第三十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.區(qū)域的概念鄰域復(fù)平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為點(diǎn)z0的δ（去心）鄰域。記為Ｕ(z0,δ)即，設(shè)G是一平面上點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn)對(duì)任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G，則稱z0是G的內(nèi)點(diǎn)?！?.4復(fù)平面上的點(diǎn)集第三十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日開(kāi)集若G內(nèi)的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱G是開(kāi)集。連通是指區(qū)域設(shè)D是一個(gè)開(kāi)集，且D是連通的，稱

D是一個(gè)區(qū)域。D-區(qū)域邊界與邊界點(diǎn)已知點(diǎn)P不屬于D，若點(diǎn)P的任何鄰域中都包含D中的點(diǎn)及不屬于D的點(diǎn)，則稱P是D的邊界點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界。P第三十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日有界區(qū)域與無(wú)界區(qū)域若存在R>0,對(duì)任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，則D是有界區(qū)域；否則無(wú)界。閉區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,第三十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.簡(jiǎn)單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。第三十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日重點(diǎn)設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對(duì)于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當(dāng)t1≠t2時(shí)，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點(diǎn)。定義稱沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C為簡(jiǎn)單曲線或Jardan曲線;若簡(jiǎn)單曲線C滿足z(a)=z(b)時(shí)，則稱此曲線C是簡(jiǎn)單閉曲線或Jordan閉曲線。z(a)=z(b)簡(jiǎn)單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡(jiǎn)單閉曲線第四十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.單連通域與多連通域簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)任一條簡(jiǎn)單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：一個(gè)是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個(gè)是無(wú)界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個(gè)是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界定義

復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域。第四十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例如

|z|<R（R>0）是單連通的；

0≤r<|z|≤R是多連通的。單連通域多連通域多連通域單連通域第四十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.復(fù)變函數(shù)的定義—與實(shí)變函數(shù)定義相類似定義

§1.5復(fù)變函數(shù)第四十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第四十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1例2第四十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：定義域函數(shù)值集合

2.映射的概念——復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w第四十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。

在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)表達(dá)兩對(duì)變量u，v

與x，y

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可借助于幾何直觀.復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射（變換）第四十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3解—關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射見(jiàn)圖1-1~1-2—旋轉(zhuǎn)變換(映射)見(jiàn)圖2例4解第四十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o第四十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4第五十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

3.反函數(shù)或逆映射例設(shè)z=w2

則稱為z=w2的反函數(shù)或逆映射∴為多值函數(shù),2支.定義設(shè)w=f(z)的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.第五十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例已知映射w=z3

，求區(qū)域0<argz<在平面w上的象。例第五十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.函數(shù)的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0

的充分小去心鄰域時(shí),它的象點(diǎn)f(z)就落入A的一個(gè)預(yù)先給定的ε鄰域中§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性第五十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

(1)

意義中的方式是任意的.

與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高.(2)A是復(fù)數(shù).

2.運(yùn)算性質(zhì)復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系：定理1(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.第五十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理2

以上定理用極限定義證!第五十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1例2例3第五十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.函數(shù)的連續(xù)性定義定理3第五十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4證明f(z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。證明xy(z)ozz第五十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

定理4連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)

仍為連續(xù)函數(shù);

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的模也連續(xù)。有界性：第五十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二章解析函數(shù)基礎(chǔ)§2.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第六十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(1)導(dǎo)數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)。稱此極限值為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。第六十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1第六十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2)求導(dǎo)公式與法則①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數(shù)).證明對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0，有----實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣第六十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導(dǎo)，則

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)第六十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0。第六十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3問(wèn)：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)？例2解解第六十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo)。證明第六十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

(1)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得多，這是因?yàn)棣→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零的原故。(2)在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的,

但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。思考題第六十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：所以在復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處不可導(dǎo)。第六十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(3)可導(dǎo)與連續(xù)若w=f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)w=f(z)點(diǎn)z0處連續(xù).?第七十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日可微定義:若函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z的改變量可寫成(4)可導(dǎo)與可微第七十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日可導(dǎo)可微易知A(z)=f'(z)當(dāng)f(z)=z時(shí),dz=?z.所以常記

dw=df(z)=f'(z)dz.第七十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日一.解析函數(shù)的概念定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱

f(z)在D內(nèi)解析，或稱f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)

(全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果f(z)在點(diǎn)z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點(diǎn)。

(1)w=f(z)在D內(nèi)解析在D內(nèi)可導(dǎo)。

(2)函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析?！?.2解析函數(shù)第七十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例如(1)w=z2在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)；(2)w=1/z，除去z=0點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)；(3)w=zRez在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析(見(jiàn)例4)；僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，故在整個(gè)復(fù)平面上不解析。定理1設(shè)w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0時(shí))均是D內(nèi)的解析函數(shù)。第七十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理2設(shè)w=f(h)在h

平面上的區(qū)域G內(nèi)解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,h=g(z)的函數(shù)值集合G，則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)處處解析。第七十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

如果復(fù)變函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)解析。我們將從函數(shù)u(x,y)及v(x,y)的可導(dǎo)性，探求函數(shù)w=f(z)的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。問(wèn)題如何判斷函數(shù)的解析性呢？第七十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日二.解析函數(shù)的充要條件第七十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第七十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第七十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日記憶定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡(jiǎn)稱C-R方程).第八十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日C-R方程等價(jià)于證明:

第八十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理1設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)有定義，則f(z)在點(diǎn)z=x+iy∈D處可導(dǎo)的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時(shí),有第八十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明（由f(z)的可導(dǎo)C-R方程滿足上面已證！只須證

f(z)的可導(dǎo)函數(shù)u(x,y)、v(x,y)可微）?！吆瘮?shù)w=f(z)點(diǎn)z可導(dǎo)，即則f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且第八十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可寫為因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy第八十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日所以u(píng)(x,y)，v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微.（由函數(shù)u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微及滿足

C-R方程f(z)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo)）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點(diǎn)可微，即：第八十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第八十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí),僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來(lái).

利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的.第八十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日使用時(shí):i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，

ii)驗(yàn)證C-R條件.iii)求導(dǎo)數(shù)：

前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的,但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意,并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的.推論：第八十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日三.舉例例1

判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解(1)設(shè)z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

則第八十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny第九十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日僅在點(diǎn)z=0處滿足C-R條件，故解(3)設(shè)z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則第九十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2

求證函數(shù)證明由于在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿足C-R條件：故函數(shù)w=f(z)在z≠0處解析，其導(dǎo)數(shù)為第九十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3證明第九十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函數(shù)，且f(z)≠0，那么曲線族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，這里C1

、C2常數(shù).那么在曲線的交點(diǎn)處，i)uy、

vy

均不為零時(shí)，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一條曲線的斜率分別為解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：兩族曲線互相正交.第九十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日ii)uy，vy中有一為零時(shí)，不妨設(shè)uy=0，則k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：兩族曲線在交點(diǎn)處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的,它們?nèi)曰ハ嗾?。例如兩族分別以直線y=x和坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線x2-y2=c1,2xy=c2互相正交。第九十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10a=2,b=-1,c=-1,d=2練習(xí):第九十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

解析函數(shù)退化為常數(shù)的幾個(gè)充分條件：(a)

函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且導(dǎo)數(shù)恒為零；(b)

解析函數(shù)的實(shí)部、虛部、?；蜉椊侵杏幸粋€(gè)恒為常數(shù)；(c)

解析函數(shù)的共軛在區(qū)域內(nèi)解析。第九十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義定理§2.3調(diào)和函數(shù)第九十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則第九十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日即u及v在D內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義第一百頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日上面定理說(shuō)明：由解析的概念得：現(xiàn)在研究反過(guò)來(lái)的問(wèn)題：第一百零一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日如第一百零二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一百零三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理第一百零四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

公式不用強(qiáng)記！可如下推出：類似地，然后兩端積分得，第一百零五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問(wèn)題中都有重要應(yīng)用。本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系。第一百零六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1解曲線積分法第一百零七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日故

第一百零八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日又解湊全微分法第一百零九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日又解偏積分法第一百一十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日又解不定積分法第一百一十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§2.4初等函數(shù)本節(jié)將實(shí)變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說(shuō)明它的解析性。第一百一十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日一.指數(shù)函數(shù)它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：定義第一百一十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一百一十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒(méi)有的。第一百一十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

例1例2例3第一百一十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日二.對(duì)數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。即，(1)對(duì)數(shù)的定義第一百一十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日故第一百一十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日特別

第一百一十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)第一百二十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4第一百二十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例5解下列方程：[解]第一百二十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日三.乘冪與冪函數(shù)乘冪ab定義

—多值—一般為多值第一百二十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日—q支第一百二十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

(2)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a

的

n次根意義一致。

(1)當(dāng)b=n(正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a的n次冪意義一致。第一百二十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日解例6第一百二十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日冪函數(shù)zb定義①當(dāng)b=n(正整數(shù))w=zn在整個(gè)復(fù)平面上是單值解析函數(shù)第一百二十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日除去b為正整數(shù)外，多值函數(shù)，當(dāng)b為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，無(wú)窮多值。第一百二十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日四.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形定義第一百二十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)第一百三十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考題第一百三十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一百三十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日由正弦和余弦函數(shù)的定義得其它三角函數(shù)的定義第一百三十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一百三十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)第一百三十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一百三十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日五.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)詳見(jiàn)P55重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、乘冪．第一百三十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三章復(fù)變函數(shù)的積分第一百三十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.有向曲線§3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念第一百三十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日CA(起點(diǎn))B(終點(diǎn))CC第一百四十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

2.積分的定義定義DBxyo第一百四十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

第一百四十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.積分存在的條件及其計(jì)算法定理

第一百四十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明第一百四十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

第一百四十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日由曲線積分的計(jì)算法得第一百四十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1解又解Aoxy第一百四十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日oxy例2解第一百四十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3解oxyrC第一百四十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日?íì1==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

第一百五十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

4.積分性質(zhì)由積分定義得：第一百五十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例題4

證明：

例如練習(xí)第一百五十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§3.2柯西積分定理實(shí)變函數(shù)的線積分:

若D為單連通區(qū)域,P(x,y),Q(x,y)在D具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則

再由Green公式知道

第一百五十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日問(wèn)題:復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)滿足什么條件在單連通區(qū)域D內(nèi)沿閉路徑的積分為零?要使只要這只須u與v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且ux=vy,uy=-vx.第一百五十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日—Cauchy定理第一百五十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也稱Cauchy定理第一百五十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(3)定理中曲線C不必是簡(jiǎn)單的！如下圖。BBC推論設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對(duì)任意兩點(diǎn)z0,z1∈B,積分∫cf(z)dz不依賴于連接起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1的曲線，即積分與路徑無(wú)關(guān)。Cz1z0C1C2C1C2z0z1第一百五十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、原函數(shù)與不定積分推論：如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,C屬于D，與路徑無(wú)關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。其中C：。固定z0,z1=z在D內(nèi)變化,于是在D內(nèi)確定了關(guān)于z的單值函數(shù):變上限積分。第一百五十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理2

如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)解析,則F(z)在D內(nèi)也是解析的，且證明：第一百五十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日因f(z)在D內(nèi)解析，故f(z)在D內(nèi)連續(xù)第一百六十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義若函數(shù)(z)

在區(qū)域B內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f(z)

，即

,稱(z)為f(z)在B內(nèi)的原函數(shù).上面定理表明是f(z)的一個(gè)原函數(shù)。設(shè)H(z)與G(z)是f(z)的任何兩個(gè)原函數(shù)，這表明：f(z)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。(見(jiàn)第二章§2例3)第一百六十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.積分計(jì)算公式定義設(shè)F(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，稱F(z)+c(c為任意常數(shù))為f(z)的不定積分，記作定理設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，F(xiàn)(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，則此公式類似于微積分學(xué)中的牛頓－萊布尼茲公式.

但是要求函數(shù)是解析的,比以前的連續(xù)條件要強(qiáng)第一百六十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1計(jì)算下列積分：解1)

第一百六十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日解2)第一百六十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3計(jì)算下列積分：第一百六十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日這里D為復(fù)連通域。第一百六十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日小結(jié)求積分的方法第一百六十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日可將柯西積分定理推廣到多連通域的情況，有定理2

假設(shè)C及C1為任意兩條簡(jiǎn)單閉曲線,C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù)f(z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析,在邊界上連續(xù)，則證明：取這說(shuō)明一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的積分值，只要在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)的f(z)的不解析點(diǎn).—閉路變形原理第一百六十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日推論（復(fù)合閉路定理）：(互不包含且互不相交)，

所圍成的多連通區(qū)域，

第一百六十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例題2C為包含0與1的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線。解：

（由閉路變形原理）第一百七十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一百七十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例解C1C21xyo第一百七十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日分析DCz0C1§3.3Cauchy積分公式第一百七十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日DCz0C1∴猜想積分第一百七十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理(Cauchy積分公式)證明第一百七十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一百七十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

第一百七十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.第一百七十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1解第一百七十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2解CC1C21xyo第一百八十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3解第一百八十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日形式上，以下將對(duì)這些公式的正確性加以證明?！?.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)第一百八十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理證明用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義。第一百八十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日令為I第一百八十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一百八十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日依次類推，用數(shù)學(xué)歸納法可得第一百八十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。第一百八十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1解第一百八十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一百八十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一百九十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第四章級(jí)數(shù)§1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)第一百九十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

1.復(fù)數(shù)列的收斂與發(fā)散定義又設(shè)復(fù)常數(shù)：定理1證明第一百九十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一百九十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的前面n項(xiàng)的和---級(jí)數(shù)的部分和不收斂---無(wú)窮級(jí)數(shù)定義設(shè)復(fù)數(shù)列：

第一百九十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1解定理2證明第一百九十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日由定理2，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題可歸之為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題。性質(zhì)定理3證明第一百九十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

?定義由定理3的證明過(guò)程，及不等式定理4第一百九十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日解例2第一百九十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3解練習(xí)：第一百九十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.冪級(jí)數(shù)定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：---稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的最前面n項(xiàng)的和---級(jí)數(shù)的部分和

第二百頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日若級(jí)數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級(jí)數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)(1)中稱為冪級(jí)數(shù)第二百零一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：定理1(阿貝爾(Able)定理）第二百零二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明第二百零三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2)用反證法，由Able定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。第二百零四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日顯然，<否則，級(jí)數(shù)(3)將在處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，逐漸變大，在c內(nèi)部都是紅色,逐漸變小，在c外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò)。故播放第二百零五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二百零六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

(i)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問(wèn)題要具體分析。定義這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級(jí)數(shù)的收斂圓；這個(gè)圓的半徑R叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。(ii)冪級(jí)數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級(jí)數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.第二百零七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理2第二百零八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日推論3(根值法)推論1(比值法)第二百零九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1解

綜上第二百一十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解(1)該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散p=1p=2該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。第二百一十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

綜上該級(jí)數(shù)發(fā)散。該級(jí)數(shù)收斂，第二百一十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的.第二百一十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日5.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

代數(shù)運(yùn)算

---冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算---冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算第二百一十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日---冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的代換運(yùn)算在函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)中很有用.例3解代換第二百一十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日解代換展開(kāi)還原第二百一十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

分析運(yùn)算

定理4---冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算---冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算第二百一十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.泰勒(Taylor)展開(kāi)定理現(xiàn)在研究與此相反的問(wèn)題：一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?(或者說(shuō),一個(gè)解析函數(shù)能否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？）由冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知:一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示?！?泰勒級(jí)數(shù)第二百一十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理（泰勒展開(kāi)定理）第二百一十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,而|z-z0|=r為D內(nèi)以z0為中心的任何一個(gè)圓周,把它記作K,它與它的內(nèi)部全含于D,又設(shè)z為K內(nèi)任一點(diǎn).z0Kzrz第二百二十頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日按柯西積分公式,有且z0Kzrz第二百二十一頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,上式可寫成圓周K的半徑可以任意增大,只要K在D內(nèi).所以,如果z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為d,則f(z)在z0的泰勒展開(kāi)式在圓域|z-z0|<d內(nèi)成立.z0Kzrz第二百二十二頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

第二百二十三頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.展開(kāi)式的唯一性結(jié)論解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級(jí)數(shù)。利用泰勒級(jí)數(shù)可把解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，這樣的展開(kāi)式是否唯一？事實(shí)上，設(shè)f(z)用另外的方法展開(kāi)為冪級(jí)數(shù):第二百二十四頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日由此可見(jiàn)，任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)就是Talor級(jí)數(shù)，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式由展開(kāi)式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分析運(yùn)算和已知函數(shù)的展開(kāi)式來(lái)展開(kāi)函數(shù)展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)的方法：第二百二十五頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1解第二百二十六頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二百二十七頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日上述求sinz,cosz展開(kāi)式的方法即為間接法.例2把下列函數(shù)展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù):解第二百二十八頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2)由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得：第二百二十九頁(yè)，共二百五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)解析，ln(1