微積分基礎知識

第0章基本知識一、什么是高等數學?初等數學—研究對象為常量,以靜止觀點研究問題.高等數學—研究對象為變量,運動和辯證法進入了數學.數學中的轉折點是笛卡兒的變數.有了變數,運動進入了數學,有了變數，辯證法進入了數學,有了變數,微分和積分也就立刻成為必要的了.恩格斯當前1頁，總共44頁。11.分析基礎:函數,極限,連續(xù)

2.微積分學:一元微積分(上冊)(下冊)3.向量代數與空間解析幾何4.無窮級數5.常微分方程二、主要內容多元微積分當前2頁，總共44頁。2三、如何學習高等數學?1.認識高等數學的重要性,培養(yǎng)濃厚的學習興趣.會運用數學能力。2.學數學最好的方式是做數學.聰明在于學習,天才在于積累.學而優(yōu)則用,學而優(yōu)則創(chuàng).由薄到厚,由厚到薄.馬克思一門科學,只有當它成功地運用數學時,才能達到真正完善的地步.華羅庚當前3頁，總共44頁。33、極限的思維方法1）計算圓的周長圓內接正n邊形Or)當前4頁，總共44頁。4當前5頁，總共44頁。5abxyo3)計算曲邊梯形面積曲邊梯形面積為當前6頁，總共44頁。64)無窮級數當前7頁，總共44頁。7具備的數學素質：從實際問題抽象出數學模型的能力計算與分析的能力了解和使用現代數學語言和符號的能力使用數學軟件學習和應用數學的能力當前8頁，總共44頁。8一、基本概念1.集合:具有某種特定性質的對象的全體.組成集合的事物稱為該集合的元素.P（x)表示元素具有性質第0章基本知識當前9頁，總共44頁。92.鄰域:當前10頁，總共44頁。10二、函數當前11頁，總共44頁。11２．函數類別：顯函數y=f(x)隱函數F(x,y)=0參量函數初等代數函數(只含代數運算顯函數）分段表達函數單值函數多值函數基本初等函數（冪函數,指數函數,對數函數,三角函數和反三角函數）.當前12頁，總共44頁。12(1)符號函數幾個特殊的函數舉例1-1xyo當前13頁，總共44頁。13(2)取整函數y=[x][x]表示不超過的最大整數12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線當前14頁，總共44頁。14有理數點無理數點?1xyo(3)狄利克雷函數當前15頁，總共44頁。15(4)取最值函數yxoyxo在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.當前16頁，總共44頁。16復合函數定義:設函數y=f(u),uU，函數u=(x),xX,其值域為(X)={u\u=(x),xX

}U，則稱函數y=f[(x)]為x的復合函數。代入法當前17頁，總共44頁。17復合函數則設有函數鏈稱為由①,②確定的復合函數,①—復合映射的特例②u稱為中間變量.注意:構成復合函數的條件不可少.例如,函數鏈:函數但函數鏈不能構成復合函數.可定義復合當前18頁，總共44頁。18注:復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.復合函數代入法當前19頁，總共44頁。19初等函數定義:由基本初等函數經過有限次四則運算及有限次復合運算所構成并可用一個式子表示的顯函數，稱為初等函數。例：不是初等函數為初等函數不是初等函數為初等函數可表為故為初等函數.當前20頁，總共44頁。20雙曲函數與反雙曲函數奇函數.偶函數.雙曲函數當前21頁，總共44頁。21奇函數,有界函數,當前22頁，總共44頁。22雙曲函數常用公式當前23頁，總共44頁。232.反雙曲函數奇函數,當前24頁，總共44頁。24當前25頁，總共44頁。25奇函數,當前26頁，總共44頁。26三.函數的幾種特性設函數且有區(qū)間(1)有界性使稱A為上界，B為下界。(2)單調性為有界函數.當時,稱為I上的單調增函數;稱為I上的單調減函數.當前27頁，總共44頁。27(3)奇偶性且有若則稱f(x)為偶函數;若則稱f(x)為奇函數.說明:若在x=0有定義,為奇函數時,則當必有例如,偶函數雙曲余弦記當前28頁，總共44頁。28例1判斷函數的奇偶性.解：∴f(x)是奇函數.例2設f(x)在R上定義，證明f(x)可分解為一個奇函數與一個偶函數的和。證明：設顯然g(x)是偶函數，h(x)是奇函數,而

故命題的證.

當前29頁，總共44頁。29(4)周期性且則稱為周期函數,若稱l為周期(一般指最小正周期).周期為周期為注:周期函數不一定存在最小正周期.例如,常量函數狄里克雷函數x為有理數x為無理數當前30頁，總共44頁。30四.反函數若函數為單射,則存在逆映射習慣上,的反函數記成稱此映射為f的反函數.其反函數(減)(減).1)y＝f(x)單調遞增且也單調遞增性質:當前31頁，總共44頁。312)函數與其反函數的圖形關于直線對稱.例如,對數函數互為反函數,它們都單調遞增,其圖形關于直線對稱.指數函數當前32頁，總共44頁。32例1

證明若函數y=f(x)是奇函數且存在反函數x=f1(y),則反函數也是奇函數。證明：∴反函數是奇函數。例2解:當x0時,y1,當x<0時,y<1,x=y-1,當前33頁，總共44頁。33幾何解釋:

數列的極限(P6):數列xn當n無限變大時，xn能無限制的接近唯一確定常數a當前34頁，總共44頁。34n=5n=7n=11n=20當前35頁，總共44頁。35如:唯一性,有界性,局部保號性,夾擠規(guī)則（兩邊夾）當前36頁，總共44頁。36證:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當n>N2時,有收斂數列的極限唯一.使當n>N1時,假設從而矛盾.因此收斂數列的極限必唯一.則當n>N時,故假設不真!滿足的不等式當前37頁，總共44頁。37兩邊夾準則證:

由條件(2),當時,當時,令則當時,有由條件(1)即故當前38頁，總共44頁。38兩邊夾法則.若則：當前39頁，總共44頁。39例.

證明數列是發(fā)散的.

證:用反證法.假設數列收斂,則有唯一極限a存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內,而此二數不可能同時落在長度為1的開區(qū)間使當n>N時,有因此該數列發(fā)散.當前40頁，總共44頁。40例(P10)證明若X2k-1→a,X2k→a(k→∞),則數列{Xn}收斂于a。證：對任ε>0,ヨK1,當k>K1時X2k落在[a-ε,a+ε]即滿足|Ｘ2k-a|≤ε…(1)

ヨK2當k>K2時X2k-1落在[a-ε,a+ε]即滿足|Ｘ2k-1-a|≤ε…(2)取N=max{2K1,2K2-1},