三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)三次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有作專門(mén)的介紹，然而，關(guān)于三次函數(shù)的問(wèn)題在高考、強(qiáng)基和模擬試題中經(jīng)常出現(xiàn)，它是高考考查的一個(gè)十分重要的函數(shù)．熟悉三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，有助于我們了解此類問(wèn)題的命題背景，在解決問(wèn)題中做到游刃有余．本節(jié)我們對(duì)三次函數(shù)y＝a1．單調(diào)性對(duì)于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋(1)若b2?3ac?0，則f(2)若b2?3ac＞0，令f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0，則此方程有兩個(gè)不等實(shí)根x2．圖象下圖中，x1，x2為函數(shù)f(3．極值由(1)可得以下結(jié)論：三次函數(shù)f((1)若b2?3ac?0，則f(2)若b2?3ac＞0，則f且f(x)在x＝x14．零點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)于三次函數(shù)f((1)若b2?3ac?0，則方程f(x(2)若b2?3ac＞0，且fx1?fx(3)若b2?3ac＞0，且fx1?f(4)若b2?3ac＞0，且fx1?fx【小結(jié)】若方程ax3＋則有a右邊展開(kāi)，再比較系數(shù)可得：x這個(gè)結(jié)論叫做三次方程的韋達(dá)定理．5．對(duì)稱性定理：三次函數(shù)f(x)＝a證法1：小結(jié)意到f(xf(令g(x)＝a易知g(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(證法2：設(shè)y＝f(x取y＝f(則A關(guān)于(m，n)的對(duì)稱點(diǎn)A所以2n所以y與y＝a可得b＝?6ma故f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)【小結(jié)】事實(shí)上，f'(x)＝3ax2＋2bx＋c，f''6．三次函數(shù)解析式(1)一般形式：f((2)已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為(m，n)(3)已知函數(shù)圖象與x軸的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2(4)已知函數(shù)圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，則f7．切割線性質(zhì)定理：如圖所示，點(diǎn)P是函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)圖象上任意一點(diǎn)(非對(duì)稱中心)，【證明】設(shè)y＝直線PT：直線PAB：聯(lián)立(1)(2)，得a由韋達(dá)定理得：2x聯(lián)立(1)(3)，可得a同理，可得：xA由(4)(5)得：2xT＋x故xA，xT，推論1：如左下圖所示，設(shè)P是f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)圖象上任意一點(diǎn)(非對(duì)稱中心)，推論2：如右上圖所示，x1，x2為函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的兩個(gè)極值點(diǎn)對(duì)于方程f(x)＝f一、真題剖析【2022年新高考1卷】已知函數(shù)f(x)=xA．f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn) B．f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心 D．直線y=2x是曲線y=f(x)的切線【試題情景】本題屬于課程學(xué)習(xí)情景，本題以三次函數(shù)為載體的函數(shù)問(wèn)題，考查函數(shù)的性質(zhì)如零點(diǎn)、對(duì)稱中心、極值等問(wèn)題.【必備知識(shí)】本題考查的主要是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).【能力素養(yǎng)】本題考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理想思維和數(shù)學(xué)探索，本題考查考生對(duì)函數(shù)圖象與性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想的理解與應(yīng)用.利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合f(x)的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【答案】AC【解析】由題，f'x=3x2?1，令令f'(x)<0得所以f(x)在(?33,33所以x=±3因f(?33)=1+23所以，函數(shù)fx在?當(dāng)x≥33時(shí)，fx≥f3綜上所述，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令?(x)=x3?x，該函數(shù)的定義域?yàn)镽則?(x)是奇函數(shù)，(0,0)是?(x)的對(duì)稱中心，將?(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到f(x)的圖象，所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心，故C正確；令f'x=3x2當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線方程為y=2x?1，當(dāng)切點(diǎn)為(?1,1)時(shí)，切線方程為y=2x+3，故D錯(cuò)誤.故選：AC.二、題型選講題型一、三次函數(shù)的極值與最值問(wèn)題例1、已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x的圖象在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y＝4x－3，則函數(shù)y＝f(x)的極大值為（）A．1 B． C． D．－1【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷極值點(diǎn)，求得極大值.【詳解】由由題意得,故，則，所以，令，則，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在時(shí)取得極大值為，故選：A.變式1、(多選題)已知函數(shù)，若區(qū)間的最小值為且最大值為1，則的值可以是（）A.0 B.4 C. D.【答案】AB【解析】，令，解得或.①當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，最大值為.此時(shí)，滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，，即，.故A正確.②當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為.此時(shí)，滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，，即，.故B正確.③當(dāng)時(shí)，可知在的最小值為，最大值為b或或，，則，與矛盾.若，，則或或，與矛盾.故C?D錯(cuò)誤.故選：AB變式2、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)處有極小值，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為，即.（2）因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)處有極小值，所以，所以由，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因?yàn)?，，所以的最大值?題型二、運(yùn)用三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例2已知函數(shù)，則（）A．，函數(shù)在上均有極值B．，使得函數(shù)在上無(wú)極值C．，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)D．，使得函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于AB，舉例判斷即可，對(duì)于CD，分，和討論函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的零點(diǎn)【詳解】，時(shí)，，無(wú)極值，A錯(cuò)，B對(duì)．時(shí)，在上，，，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．時(shí)，在恒成立，在時(shí)，，，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．時(shí)，，或0，在，．時(shí)，，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，C對(duì)，D錯(cuò)．故選：BC變式1、已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，且．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析解析：（1）由，得，令，則或，∴當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵且有兩個(gè)正根，∴，∴，∴的取值范圍為．(2)∵關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，且．由(1)知，∵，∴，即，解得設(shè)（），則，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴，又在上單調(diào)遞減，∴，∴，要證，只需證，即證，∵且，∴成立變式2、（2022年江蘇連云港市八校聯(lián)盟高三月考模擬試卷）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】【詳解】（Ⅰ）.導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，.又，解得..（Ⅱ）由（Ⅰ），得.令，解得.當(dāng)或時(shí)，，在上分別單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.的極大值為，極小值為.實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型三、三次函數(shù)的綜合性問(wèn)題例3、（多選題）已知函數(shù)的圖象在處切線的斜率為，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．在處取得極大值C．當(dāng)時(shí)， D．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】ABD【解析】A：，由題意，得，正確；B：，由得：或，易知在，上，為增函數(shù)，在上，為減函數(shù)，所以在處取得極大值，正確；C：由B知：，，，故在上的值域?yàn)?，錯(cuò)誤；D：令且為奇函數(shù)，則，而圖象關(guān)于中心對(duì)稱，所以關(guān)于中心對(duì)稱，正確；故選：ABD.變式1、已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.必有兩個(gè)極值點(diǎn)B.有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的范圍是C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D.當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)可以作曲線的3條切線【答案】B【解析】【詳解】對(duì)于A，，令，解得：或，因?yàn)?，所以令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值,所以A正確；對(duì)于B，要使有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，只需即，所以，所以的范圍是，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，所以C正確；對(duì)于D，，設(shè)切點(diǎn)為，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得：，令，所以過(guò)點(diǎn)可以作曲線的切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).,令，解得：或，因?yàn)?，所以令，得或，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，如下圖所示，當(dāng)時(shí)，與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即過(guò)點(diǎn)可以作曲線的3條切線，故正確，故選：B變式2、已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B.函數(shù)的極小值是C.當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，都有D.函數(shù)的圖象有條切線方程為【答案】AB【解析】【詳解】因?yàn)樗?，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，故A正確．令，則或所以在，單調(diào)遞增在單調(diào)遞減所以函數(shù)的極小值為，故選項(xiàng)B正確；由，若即矛盾，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．，解的或，當(dāng)時(shí)切點(diǎn)不在上當(dāng)時(shí)切點(diǎn)不在上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB．變式3、（2021·浙江金華市·高三期末）已知函數(shù)，、．、且滿足，，對(duì)任意的恒有，則當(dāng)、取不同的值時(shí)，（）A．與均為定值 B．與均為定值C．與均為定值 D．與均為定值【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)、時(shí)，，，不合乎題意，所以，.由可得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.對(duì)任意的恒有，，，又當(dāng)、且滿足，，所以，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則，，三、追蹤訓(xùn)練1、已知函數(shù)，給出四個(gè)函數(shù)①|(zhì)f（x）|，②f（-x），③f（|x|），④-f（-x），又給出四個(gè)函數(shù)的大致圖象，則正確的匹配方案是（）A.甲-②，乙-③，丙-④，丁-① B.甲-②，乙-④，丙-①，丁-③C.甲-④，乙-②，丙-①，丁-③ D.甲-①，乙-④，丙-③，丁-②【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，在區(qū)間上，，為增函數(shù)，且，在區(qū)間上，，為減函數(shù)，且（3），其簡(jiǎn)圖如圖：對(duì)于①，有，其圖象全部在軸上和軸上方，對(duì)應(yīng)圖象丙，②，其圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)應(yīng)圖象甲，③，有，為偶函數(shù)，對(duì)應(yīng)圖象丁，④，其圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)應(yīng)圖象乙，故選：．2、若函數(shù)是增函數(shù)．則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】的定義域?yàn)?，由，得，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得，故選：D3、若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線重合，則___________．【答案】0【解析】由切點(diǎn)，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，由切點(diǎn)，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題知：兩條直線是同一條直線，則：，化簡(jiǎn)得：．∴．故答案為：0．4、若指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】解析：聯(lián)立，消去得（），兩邊取對(duì)數(shù)得，即，設(shè)（），則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，∴，又，當(dāng)時(shí)，，∴，即，故填：5、已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx，若f(ex)≥f(x－1)對(duì)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【答案】[－1，＋)【解析】由題意可知，令h(x)＝ex－(x－1)，易可知h(x)≥2恒成立，且f′(x)＝3x2＋m，則當(dāng)m≥0時(shí)，f′(x)≥0，即f(x)在R上單調(diào)遞增，則f(ex)≥f(x－1)對(duì)x∈R恒成立，滿足題意；當(dāng)m＜0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以可得2EQ\R(,－m)≤2，解得m≥－1，則－1≤m＜0，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－1，＋)．6、已知函數(shù).（1）若時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在時(shí)取得極值，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；【答案】（1）（2）【解析】（1）時(shí)，，則則切線方程為，即.故答案為：.（2），因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得極值，所以，解得，所以令，得或，令，解得則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值是或，又因?yàn)?，所?故答案為：.7、已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)(極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)分別為?，