2021高三數(shù)學(xué)教師用書(shū)：第2章 第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2021高三人教B版數(shù)學(xué)一輪（經(jīng)典版）教師用書(shū)：第2章第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用含解析第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)整合1．常見(jiàn)的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)型f(x）＝ax＋b（a,b為常數(shù)，a≠0）二次函數(shù)型f（x）＝ax2＋bx＋c（a,b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)型f（x)＝bax＋c（a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)型f（x)＝blogax＋c（a，b，c為常數(shù)，a〉0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)型f(x)＝axn＋b（a,b為常數(shù)，a≠0）2．指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪函數(shù)三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)eq\a\vs4\al（函數(shù))eq\a\vs4\al（性質(zhì)）y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn（n〉0）在（0，＋∞)上的增減性eq\o(□,\s\up1(01））單調(diào)遞增eq\o(□,\s\up1（02))單調(diào)遞增eq\o（□，\s\up1（03）)單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與eq\o（□,\s\up1（04)）y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與eq\o（□,\s\up1(05）)x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x〉x0時(shí)，有l(wèi)ogax〈xn<ax形如f（x）＝x＋eq\f（a，x)（a＞0）的函數(shù)模型稱(chēng)為“對(duì)勾”函數(shù)模型：（1)該函數(shù)在(－∞，－eq\r（a)]和[eq\r(a),＋∞)上單調(diào)遞增，在[－eq\r(a），0)和(0，eq\r（a)］上單調(diào)遞減．(2)當(dāng)x＞0時(shí)，x＝eq\r（a)時(shí)取最小值2eq\r（a)，當(dāng)x＜0時(shí)，x＝－eq\r(a）時(shí)取最大值－2eq\r(a）.1．（2019·嘉興模擬)為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過(guò)程中需要對(duì)文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)（Private－KeyCryptosystem)，其加密、解密原理為:發(fā)送方由明文→密文（加密)，接收方由密文→明文(解密）．現(xiàn)在加密密鑰為y＝kx3，若明文“4”通過(guò)加密后得到密文“2"，則接收方接到密文“eq\f（1,256)”，解密后得到的明文是（）A．eq\f（1,2） B．eq\f（1,4)C．2 D．eq\f（1,8)答案A解析由已知,可得當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2，所以2＝k·43，解得k＝eq\f（2，43)＝eq\f（1,32)，故y＝eq\f（1,32)x3.令y＝eq\f（1，32)x3＝eq\f（1，256），即x3＝eq\f（1，8），解得x＝eq\f（1,2)。故選A．2．在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0。500。992。013。98y－0。990。010.982。00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x答案D解析根據(jù)x＝0。50,y＝－0。99，代入各選項(xiàng)計(jì)算,可以排除A；根據(jù)x＝2。01，y＝0。98,代入其余各選項(xiàng)計(jì)算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x,可知滿足題意．故選D．3．（2019·山東煙臺(tái)模擬)某城市對(duì)一種售價(jià)為每件160元的商品征收附加稅,稅率為R％（即每銷(xiāo)售100元征稅R元）,若年銷(xiāo)售量為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(30－\f(5，2）R))萬(wàn)件，要使附加稅不少于128萬(wàn)元，則R的取值范圍是(）A．［4,8］ B．[6，10］C．[4％，8％] D．[6%,10％］答案A解析根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬(wàn)元，需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（30－\f（5，2）R)）×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8,即R∈[4,8］．4．某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000＋20x－0。1x2(0〈x<240，x∈N*)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元,則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷(xiāo)售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是(）A．100臺(tái) B．120臺(tái)C．150臺(tái) D．180臺(tái)答案C解析設(shè)利潤(rùn)為f(x)萬(wàn)元，則f(x）＝25x－（3000＋20x－0.1x2)＝0。1x2＋5x－3000(0<x〈240，x∈N*）．令f(x）≥0，得x≥150,所以生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量是150臺(tái)．故選C．5．(2019·湖北黃岡模擬)在我國(guó)大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長(zhǎng)10。4%，經(jīng)過(guò)x（x∈R，x≥0)年可增長(zhǎng)到原來(lái)的y倍,則函數(shù)y＝f(x）的圖象大致為（）答案D解析由題意可得y＝（1＋10。4％)x.故選D．6．“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過(guò)廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷(xiāo)售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿足關(guān)系R＝aeq\r(A）(a為常數(shù)),廣告效應(yīng)為D＝aeq\r(A）－A．那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng)，投入的廣告費(fèi)應(yīng)為_(kāi)_______（用常數(shù)a表示)．答案eq\f（1,4)a2解析令t＝eq\r（A)（t≥0）,則A＝t2,∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f（1，2）a)）2＋eq\f(1,4)a2?！喈?dāng)t＝eq\f（1,2)a,即A＝eq\f(1，4）a2時(shí)，D取得最大值．核心考向突破考向一利用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題例1（2019·廣西欽州第三次質(zhì)量檢測(cè))圖甲中的兩條曲線分別表示某理想狀態(tài)下捕食者和被捕食者數(shù)量隨時(shí)間的變化規(guī)律,對(duì)捕食者和被捕食者數(shù)量之間的關(guān)系描述錯(cuò)誤的是(）A．捕食者和被捕食者數(shù)量與時(shí)間以10年為周期B．由圖可知，當(dāng)捕食者數(shù)量增多的過(guò)程中，被捕食者數(shù)量先增多后減少C．捕食者和被捕食者數(shù)量之間的關(guān)系可以用圖乙描述D．捕食者的數(shù)量在第25年和30年之間數(shù)量在急速減少答案C解析由已知中某理想狀態(tài)下捕食者和被捕食者數(shù)量隨時(shí)間的變化規(guī)律，可得捕食者和被捕食者數(shù)量與時(shí)間以10年為周期呈周期性變化，捕食者的數(shù)量在第25年和30年之間數(shù)量在急速減少，正確；由圖可知,當(dāng)捕食者數(shù)量增多的過(guò)程中，被捕食者數(shù)量先增多后減少,故捕食者和被捕食者數(shù)量之間的關(guān)系應(yīng)為環(huán)狀，捕食者和被捕食者數(shù)量之間的關(guān)系可以用圖乙描述，顯然不正確．故選C．用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的解題思路INCLUDEPICF"將實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量間變化的規(guī)律（如增長(zhǎng)的快慢、最大、最小等)與函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、最值等)、圖象（增加、減少的緩急等)相吻合即可．［即時(shí)訓(xùn)練]1。(2019·北京東城區(qū)模擬）汽車(chē)的“燃油效率"是指汽車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車(chē)在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是（）A．消耗1升汽油，乙車(chē)最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程,三輛車(chē)中,甲車(chē)消耗汽油最多C．甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速80千米/小時(shí)．相同條件下，在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油答案D解析從圖中可以看出當(dāng)乙車(chē)的行駛速度大于40km/h時(shí)的燃油效率大于5km/L，故乙車(chē)消耗1升汽油的行駛路程可大于5千米，所以A錯(cuò)誤；由圖可知甲車(chē)消耗汽油最少，所以B錯(cuò)誤；甲車(chē)以80km/h的速度行駛時(shí)的燃油效率為10km/L，故行駛1小時(shí)的路程為80千米，消耗8L汽油,所以C錯(cuò)誤;當(dāng)最高限速為80km/h且速度相同時(shí)丙車(chē)的燃油效率大于乙車(chē)的燃油效率，故用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油,所以D正確．考向二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題例2（1)(2019·中山模擬）據(jù)統(tǒng)計(jì),一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：min)為f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（c，\r(x)），x〈A，,\f（c，\r(A))，x≥A）)(A，c為常數(shù)）．已知某工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30min,組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15min,那么c和A的值分別是(）A．75，25 B．75,16C．60，25 D．60，16答案D解析由題意可知4<A,則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(f4＝\f（c,\r（4)）＝30，，fA＝\f(c，\r(A)）＝15,））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝60，，A＝16，)）故選D．(2）對(duì)于一個(gè)聲強(qiáng)為I(單位：W/m2)的聲波，其聲強(qiáng)級(jí)L(單位：dB）可由如下公式計(jì)算：L＝10lgeq\f（I,I0)（其中I0是能引起聽(tīng)覺(jué)的最弱聲強(qiáng))．設(shè)聲強(qiáng)為I1時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)為70dB，聲強(qiáng)為I2時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)為60dB，則I1是I2的________倍．答案10解析依題意，可知70＝10lgeq\f(I1,I0），60＝10lgeq\f（I2,I0)，所以70－60＝10lgeq\f（I1，I0)－10lgeq\f(I2，I0),則1＝lgeq\f(I1，I2），所以eq\f（I1,I2）＝10.利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟INCLUDEPICF”若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)模型,或可確定其函數(shù)模型的圖象,求解時(shí)先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關(guān)參數(shù)的值,再用求得的函數(shù)解析式解決實(shí)際問(wèn)題．[即時(shí)訓(xùn)練]2.某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率t，市場(chǎng)價(jià)格x（單位：千元）與市場(chǎng)供應(yīng)量p（單位:萬(wàn)件)之間近似滿足關(guān)系式：p＝2(1－kt)（x－b）2，其中k，b均為常數(shù)．當(dāng)關(guān)稅稅率為75％時(shí)，若市場(chǎng)價(jià)格為5千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量約為1萬(wàn)件，若市場(chǎng)價(jià)格為7千元,則市場(chǎng)供應(yīng)量約為2萬(wàn)件．(1)試確定k，b的值；(2)市場(chǎng)需求量q（單位:萬(wàn)件)與市場(chǎng)價(jià)格x近似滿足關(guān)系式:q＝2－x.當(dāng)p＝q時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格稱(chēng)為市場(chǎng)平衡價(jià)格．當(dāng)市場(chǎng)平衡價(jià)格不超過(guò)4千元時(shí)，試確定關(guān)稅稅率的最大值．解（1）由已知得，若t＝75%，當(dāng)x＝5時(shí)，p＝1，當(dāng)x＝7時(shí)，p＝2。所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1＝21－0。75k5－b2，，2＝21－0。75k7－b2，)）解得k＝1，b＝5.（2)由于k＝1，b＝5,則p＝2（1－t）(x－5）2，當(dāng)p＝q時(shí),2（1－t）(x－5)2＝2－x，所以（1－t）(x－5)2＝－x，所以t＝1＋eq\f(x，x－52），x∈（0,4］，設(shè)0<x1<x2≤4,則t1－t2＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(x1，x1－52）))－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f(x2,x2－52)）)＝eq\f(x1,x1－52）－eq\f（x2,x2－52)＝eq\f(x1x2－52－x2x1－52，x1－52x2－52)＝eq\f(x1x\o\al(2，2)－10x2＋25－x2x\o\al(2，1)－10x1＋25,x1－52x2－52)＝eq\f（x1－x225－x1x2，x1－52x2－52），由于0〈x1<x2≤4，則x1－x2<0，（x1－5）2（x2－5)2〉0，x1x2〈16，所以25－x1x2〉0，所以t1<t2,所以t＝1＋eq\f(x，x＋52）在區(qū)間(0，4］上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝4時(shí),t＝1＋eq\f(x,x－52)取得最大值,為5,即當(dāng)市場(chǎng)平衡價(jià)格為4千元時(shí)，關(guān)稅稅率的最大值為500%?？枷蛉龢?gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題例3(1)（2019·馬鞍山模擬)某高校為提升科研能力，計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入．若該高校2018年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1300萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長(zhǎng)12%，則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開(kāi)始超過(guò)2000萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0。05，lg1.3≈0。11，lg2≈0.30）()A．2020年 B．2021年C．2022年 D．2023年答案C解析若2019年是第1年，則第n年全年投入的科研經(jīng)費(fèi)為1300×1.12n萬(wàn)元，由1300×1.12n>2000，可得lg1。3＋nlg1。12〉lg2，所以n×0。05〉0.19,得n>3.8，即n≥4，所以第4年，即2022年全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開(kāi)始超過(guò)2000萬(wàn)元，故選C．（2）設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn)，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬(wàn)元(t為正常數(shù))．公司決定從原有員工中分流x(0〈x〈100，x∈N＊)人去進(jìn)行新開(kāi)發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn)．分流后，繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)了1。2x%。若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少，則最多能分流的人數(shù)是(）A．15 B．16C．17 D．18答案B解析由題意,分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t（萬(wàn)元）,分流x人后，每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為（100－x）（1＋1.2x%）t,則由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0〈x<100，x∈N＊，，100－x1＋1.2x%t≥100t,）)解得0〈x≤eq\f(50,3)。因?yàn)閤∈N＊，所以x的最大值為16。故選B．構(gòu)建數(shù)學(xué)模型一定要過(guò)好的三關(guān)INCLUDEPICF”(1）事理關(guān)：通過(guò)閱讀、理解，明確問(wèn)題講的是什么,熟悉實(shí)際背景，為解題找出突破口．INCLUDEPICTF”（2)文理關(guān)：將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系．INCLUDEPICTF"(3)數(shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，對(duì)已知數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢索，