電路第四版答案12

第十二章 非正弦周期電流電路和信號的頻譜12—1求圖示波形的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。解：f(t) 在第一個周期( 1T 2 )內(nèi)的表達式為題12-1圖Em(1t)1tEm(f(t)1t)1tEm(1t)1t顯然,f(t)為奇函數(shù)f(t)展開為傅里葉級數(shù)為f(t)a0(akcosk1tbksink1t)k1由于f(t)為奇函數(shù),所以,有a00,ak0。而bk=2aEm(1t)sin(k1t)]d(1t)Em(1t)sin(k1t)d(1t)[aa0a=2Em[1t1t)1sin(k1t)]aEm[cos(k1t)1t1t)1sin(k1t)]acos(kk20acos(kk2kkka=2Emsinka(k=1,2,3.)2a(ka)12—2 以知某信號半周期的波形如圖所示。試在下列各不同條件下畫出整個周期的波形：（）=0;(2)對所有k，b=0（）對所有k，a=0（）和bk為零，當(dāng)k為1a0k;3k;4ak偶數(shù)時。解：（1）當(dāng) a0=0時，在后半個周期上，只要畫出 f(t) 的負(fù)波形與橫軸（ t 軸）所圍面積與已給出的前半個周期波形所圍面積相等即可。 以下題解12—2 圖中的（b），（c）圖均滿足此條件。題12-2圖（a） （b）c）題解12-2圖（2）對所有k,bk=0,f(t) 應(yīng)為偶函數(shù)，即有 f(t)=f(-t), 波形如題解12—2圖（a）所示，波形對稱于縱軸。（3）對所有

k,a

k=0,f(t)

應(yīng)為奇函數(shù)，即

f(t)=

-f(-t),

波形如圖（

b）所示，波形對稱于原點。（4）ak

和

b

k為零，當(dāng)

k為偶數(shù)時，此時，

f(t)

稱為奇諧波函數(shù)，既

ak

和bk只出現(xiàn)在

k為奇數(shù)時，函數(shù)

f(t)

滿足鏡對稱性質(zhì)，即有f(t)=

-f(t+

T

),

波形如圖（c）2所示。注：12—1和12—2題的分析說明，周期函數(shù)含有某種對稱時，其傅里葉級數(shù)中不含某些諧波。充分利用這些對稱性，可使分解計算大為簡化。需要指出的是函數(shù)的奇偶性除與函數(shù)本身有關(guān)外，還與計時起點的選擇有關(guān)，因此，對某些周期函數(shù)可以適當(dāng)選擇計時起點，使它成為奇函數(shù)或偶函數(shù)，以便簡化傅立葉級數(shù)的系數(shù)計算。12—3一個RLC串聯(lián)電路。其R=11,L=0.015H,C=70F,外加電壓為u(t)=[11+141.4cos(1000t)–35.4sin(2000t)]V試求電路中的電流i(t)和電路消耗的功率。解：RLC串聯(lián)電路如題解—3圖所示，電路中的非正弦周期電壓u(t)為已知，12分別有直流分量，基波和二次諧波分量?？蓪懗鲭娏飨嗔康囊话惚磉_式.U(k).UkIk1ZkRj(kL)kC其中,L=15,1=14.286.C電壓分量分別作用，產(chǎn)生的電流和功率分量為：（1）直流U0=11V作用時，電感L為短路，電容C為開路，故，I0=0,P0=0。.（2）基波(k=1)作用時，令U=10000VZ(1)=R+j(L—1)=（11+j0.714）=11.0233.710C.=U(1)=10000=9.0723.710A故I1Z(1)11.0233.710P(1)=I(1)2R=905.28W（3）二次諧波(k=2)作用時，令U(2)=35.4900=25.032900V2Z(2)=R+j(2L—21)=11+j(30—114.286)=25.36664.30C2故I(2)=U(2)=25.032900=0.98725.70AZ(2)25.36664.30P(2)=I(22)R=(0.98)211=10.716W所以，電路中的電流i(t)為i(t)=0+29.072cos(1000t—3.710)+20.987cos(2000t+25.70)=12.83cos(1000t-3.710)–1.396sin(2000t–64.30)A電路消耗的功率P=P0+P(1)+P(2)=905.28+10.716=916W12—4電路如圖所示，電源電壓為uS(t)=[50+100sin(314t)–40cos(628t)+10sin(942t+200)]V試求電流i(t)和電源發(fā)出的功率及電源電壓和電流的有效植。解：設(shè)電流i(t)第k次諧波的向量為Im(k)(采用復(fù)振幅相量)。（）當(dāng)k=0，1直流分量U0=50V作用時，電路如題解12-4圖所示，有Z0=R+R1=60，故I0=U0=50=5AZ0606Ps0=U0I0=505=41.667W6（）當(dāng)k=1，即=1=314rads,基波向量Usm(1)=100900V作用時，有2Z(1)=10+j3.14+11=71.26719.310j0.015750j31.4故Im(1)=Usm(1)=100900=1.40370.690AZ(1)71.26719.310Ps(1)=1Usm(1)Im(1)cos(19.310)11001.403cos19.31022=66.2W（3）當(dāng)k=2，即 21 628rads, 二次諧波向量Usm(2) 40 00V作用時，有Z(2)10j6.28142.52854.5520j0.03141j62.850故Im(2)Usm(2)40000.941125.4480AZ(2)42.52854.5520Ps(2)1Usm(2)Im(2)cos(1400.94cos54.552010.915W54.5520)22（4）當(dāng)k=3，即.31942rads，三次諧波相量USM31070V作用時，有Z310j9.42120.55251.191j0.0471j94.250故..USM31070Im30.48718.81AZ320.55251.19PS31cos(51.19)10.487cos51.191.526WUSM3Im31022所以，電流i（t）為it 0.833 1.403sin(314t 19.31) 0.941cos(628t 54.552) 0.487sin(942t 71.19)A電源發(fā)出的平均功率 Ps為PS PS0 PS1 PS2 PS3 41.667 66.2 10.915 1.526 120.308W電源電壓有效值USU022225021002402102USM1USM2USM391.378V222222電源電流有效值21.40320.94120.48725I2221.497A612—5有效值為100V的正弦電壓加在電感L兩端時，得電流I=10A，當(dāng)電壓中有3次諧波分量，而有效值仍為100V時，得電流I=8A。試求這一電壓的基波和3次諧波電壓的有效值。解：根據(jù)題意，可求得基波時的感抗為100ZL1 L 1010故，三次諧波時的感抗為ZL3 3L 30所以，含有基波和三次諧波的電壓和電流有效值應(yīng)滿足下列關(guān)系式U12U321002U12U3282ZL1ZL3代入?yún)?shù)值并整理得U12U3210029U12U3264900解之，得U1649001002877.14VU3100277.14263.64V12—6以知RLC串聯(lián)電路的端口電壓和電流為u(t)[100cos(314t)50cos(942t300)]Vi(t)[10cos(314t)1.755cos(942t3)]A試求：（1）R,L,C的值；（2）3的值；（3）電路消耗的功率。解：RLC串聯(lián)電路如圖12—6圖所示，電路中的電壓知，分別含有基波和三次諧波分量。(1)由于基波的電壓和電流同相位，所以， RLC

u(t)

和電流

i(t)

均為已電路在基波頻率下發(fā)生串聯(lián)諧振。故有Um110010R10Im1且XL1Xc1X1即1X1(1314rads)1L1C而三次諧波的阻抗為Z3Rj31Lj110j(3X11X1)10j8X131C33Z3的模值為282Um350Z310(3X1)Im31.75528.49解得X1為X1(28.492102)910.00464故.X110.004L31.86mH31411C318.34F1X131410.004（2）三次諧波時，Z3的阻抗角為8X13arctan3arctan2.66869.45010而3 u3 i3 300 3則3 300 3 99.450（3）電路消耗的功率 P為P1100101501.755cos69.450515.4W2212—7圖示電路各電源的電壓為U060Vu1[1002cos(1t)202cos(51t)]Vu2502cos(31t)Vu3u3[302cos(1t)202cos(31t)]Vu4[802cos(1t)102cos(51t)]Vu5102sin(1t)V（1）試求Uab,Uac,Uad,Uae,Uaf;（2）如將U0換為電流源is22cos(71t)，試求電壓Uac,Uad,Uae,Uag（Uab等為對應(yīng)電壓的有效值）。解：本題各電源電壓含有的各次諧波分量為：恒定分量和 4個奇次（ 1,31,51,71）諧波分量，各電壓的有效值計算如下：1）Uab1002202101.98VUac1002502202113.578VUad6021002502202128.45VUae602(10030)2(5020)2202147.648VUaf602(1003080)2(5020)2(2010)284.261V(2)設(shè)電壓UR參考方向如圖中所示，當(dāng)將U0換為電流源is（其方向設(shè)為從c點指向d點）時，有uR Ris 20 2cos(71t)V各電壓有效值分別為Uac1002502202113.578VUad[(8030)2102]20210220259.16VUac(802102)10220283.666VUaguR20V注：本題在求解各電壓有效值中，需要先將不同電源電壓的相同頻率的時域響應(yīng)相加，再進行各次諧波有效值的計算，最后求出所要求解的非正弦電壓的有效值。12—8

圖示為濾波電路，需要負(fù)載中不含基波分量，但

41的諧波分量能全部傳送至負(fù)載。如

1

1000rads,C

1F,

求

L1和L2解：欲使負(fù)載中不含基波分量，既在此時負(fù)載中的電流需為零，則有 L1和C在 1處發(fā)生并聯(lián)諧振，由諧振條件得111000radsL1C故111HL11000210612C若要求4次（41）諧波分量能全部傳送至負(fù)載端，需要此電路在 4 1 處發(fā)生串聯(lián)諧振，因XL2 41L2 4000L2而 L1與C 并聯(lián)的電抗為141L1800XL1C11612CL11341C1L14串聯(lián)諧振時，有j(XL2XL1C)800j(4000L2)03即4000L2800380011L2400066.67mH31512—9圖示電路中uS(t)為非正弦周期電壓，其中含有31及71的諧波分量。如果要求在輸出電壓u(t)中不含這兩個諧波分量，問L,C應(yīng)為多少？解：根據(jù)圖示結(jié)構(gòu)知，欲使輸出電壓u(t)中不含31和71的諧波分量，就要求該電路在這兩個頻率時，輸出電壓 u(t) 中的3次諧波分量和 7次諧波分量分別為零。若在 31 處1H 電感與電容C發(fā)生串聯(lián)諧振，輸出電壓的3次諧波 U3 0 ，由諧振條件，得11131,C912L1C912L1若在71處1F電容與電感L發(fā)生并聯(lián)諧振，則電路中7次諧波的電流I70，電壓U70，由諧振條件，得11171,L49LC14912C1

21也可將上述兩個頻率處發(fā)生諧振的次序調(diào)換一下，即在 3 1 處，使 L與C1發(fā)生并聯(lián)諧振，而在 7 1 處，使 L1與C發(fā)生串聯(lián)諧振，則得L1112C1294912—10圖示電路中is [5 10cos(10t 200) 5sin(30t 600)]A,L1 L2 2H,M 0.5H 。求圖中交流電表的讀數(shù)和 u2 。解：由圖示電路可知，電流表讀數(shù)為電流 is的有效值即A52102529.354A22而電壓u2(t)為u2(t)Mdis50sin(10t200)75cos(30t600)Vdt電壓表讀數(shù)為電壓 u2 的有效值，有V2502752263.738V212—11圖示電路中us1[1.5t0)]V，電流源is22sin(1.5t)A。求uR52sin(290及us1發(fā)出的功率。解：電路各響應(yīng)的求解，可以看作是電壓源us1的各頻率分量和電流源 is2 單獨作用時，所得各響應(yīng)分量的疊加，具體計算如下（1）直流UV單獨作用時，電感短路，電容開路，電路如題解12—11圖(a)s1(0)1.5所示，根據(jù)KVL，有Us10 2UR(0)UR(0)3UR(0)故UR(0)1Us1(0)0.5V3I(0)UR(0)0.5APs1(0)Us1(0)I(0)1.50.50.75W（2）Us1(1)52sin(2t900)A(12rads)的電壓分量單獨作用時，電路如題解圖(b)所示，令Us1(1)500V,jXL(1)j1Lj4。根據(jù)KVL，有U且U

s1(1)jXL(1)I(1)2UR(1)UR(1)j4I(1)3UR(1)R(1)I(1)解之，得UR(1)Us1(1)500153.130V3j4553.130I(1)UR(1)153.130APs1(1)Us1(1)I(1)cos53.130510.63W（3）電流源is2(21.5rads)單獨作用時，電路如題解圖（c）所示。令I(lǐng)s229002900A,jXL(2)j2Lj3,jXC(2)j1j1.22C對獨立結(jié)點a，列出結(jié)點電壓方程11)Ua(2)Is22UR(2)(jXL(2)Ua(2)3UR(2)代入?yún)?shù)值并消去Ua(2) ，有1(j1)3UR(2)Is22UR(2)3UR(2)Is22900101j1245045V所以，電壓uR為uR(t) 0.5 2cos(2t 53.130) 2cos(1.5t 450)V電壓源 us1發(fā)出的功率為Ps1 Ps1(0) Ps1(1) 0.75 3 3.75W*12-12對稱三相星形連接的發(fā)電機的A相電壓為uA[2152cos(1t)302cos(31t)102cos(51t)]V，在基波頻率下負(fù)載阻抗為Z(6j3)，中線阻抗ZN(1j2)。試求各相電流，中線電流及負(fù)載消耗的功率。如不接中線，在求各相電流及負(fù)載消耗的功率；這時中點電壓 UN'N 為多少？解：圖示電路中，對稱三相電壓源的基波構(gòu)成正序?qū)ΨQ三相電壓，5次諧波構(gòu)成負(fù)序?qū)ΨQ三相電壓，而3次諧波構(gòu)成零序?qū)ΨQ組。由于此電路是對稱三相四線制連接，對正，負(fù)序電壓分量而言，可以歸結(jié)為一相（A相）電路的計算且此時中線電流為零。令UA(1)21500V,UA(5)1000V，而Z(1)(6j3),Z(5)(6j15),則可得正序和負(fù)序?qū)ΨQ組電流UA(1)2150026.570AIA(1)32.05Z(1)6j3根據(jù)對稱性可以寫出IB(1)a2IA(1)32.05146.570AIC(1)aIA(1)32.0593.430AIA(5)UA(5)10000.6268.20AZ(5)6j15IB(5)a2IA(5)0.6251.80AIC(5)aIA(5)0.62188.20A對圖示電路中的零序?qū)ΨQ組電壓（既三次諧波），令UA(3)UC(3)UB(3)3000V，而Z(3)(6j9),ZN(3)(1j6)，則中性點N與N之間的電壓UN'N(3)為3UA(3)Z(3)3UA(3)ZN(3)33000(1j6)8.9680VUN'N(3)19.236313ZN(3)Z(3)9j27Z(3)ZN3故，零序?qū)ΨQ組電流為IA(3)IB(3)IC(3)UN'N(3)300019.2368.968071.570AUA(3)Z(3)6j9中線電流IN(3)為.71.570AIN(3)3IA(3)3.162所以，各相電流為iA[32.052cos(1t26.570)1.0542cos(31t71.570)0.622cos(51t68.20)]AiB[32.052cos(1t146.570)1.0542cos(31t71.570)0.622cos(51t51.80)]Aic[32.052cos(1t93.430)1.0542cos(31t71.570)0.622cos(51t188.20)]A而中線電流iN為iN3.162cos(31t71.570)A負(fù)載消耗的功率為P3(IA2(1)IA2(3)IA2(5))R3(32.0521.05420.622)618517W若不接中線，正序和負(fù)序?qū)ΨQ組的各相電流均未改變而