金融數(shù)學(xué)債券定價(jià)理論研究論文

word文檔可自由復(fù)制編輯word文檔可自由復(fù)制編輯學(xué)科前沿講座期末論文-金融數(shù)學(xué)債券定價(jià)理論研究金融數(shù)學(xué)債券定價(jià)理論研究摘要：在金融數(shù)學(xué)里影響債券價(jià)格的因素很多，如市場(chǎng)利率、發(fā)行人的信譽(yù)、債券的特定條款、稅收待遇等。本文將忽略其他影響因素，直接分析債券的理論價(jià)格與市場(chǎng)利率的關(guān)系。此外，本文將僅僅討論債券在發(fā)行之日的價(jià)格，以及債券發(fā)行以后經(jīng)過整數(shù)個(gè)息票支付日期的價(jià)格。債券的價(jià)格可以有不同的計(jì)算方法，最常見的主要有下述幾種。首先從基本原理出發(fā)給出債券定價(jià)的基本公式，其他定價(jià)公式都可以從基本公式出發(fā)導(dǎo)出，因此可以認(rèn)為是基本公式的變形。關(guān)鍵詞：金融數(shù)學(xué)債券價(jià)格市場(chǎng)利率到期日引言在金融市場(chǎng)上，通過金融工具，資本得以融資，金融交易得以進(jìn)行。隨著金融市場(chǎng)的不斷完善，出現(xiàn)了種類繁多的各式金融工具，如債券，股票和各種衍生品等。債券是投資者向政府、公司或金融機(jī)關(guān)提供資金的債權(quán)債務(wù)合同，該合同載明了發(fā)行者在指定日期支付利息并在到期日償還本金的承諾。按照利息的支付方式不同，債券可以分零息債券和附息債券兩種。零息債券是一種以低于面值的貼現(xiàn)方式發(fā)行，到期按債券面值償還的債券。債券發(fā)行價(jià)格與面值的差額就是投資者的利息收入。附息債券是指事先確定息票率，每半年或一年按面值和息票率計(jì)算并支付一次利息的債券。投資者不僅可以在債券期滿時(shí)收回本金（面值），而且可定期獲得固定的息票收入。息票收入是債券面值與息票率的乘積。債券基本公式P—債券的價(jià)格i—債券的到期收益率F—債券的面值r—債券的息票率rF—息票收入C—債券的償還值，通常等于債券的面值，即C=F。例外：提前償還時(shí)，償還值不等于債券的面值。g—修正息票率是息票收入與償還值C的比率，即g=rF/C。因此，gC=rF。n—息票的支付次數(shù)。償還值按收益率i計(jì)算的現(xiàn)值，即KC(1i)nCvn.G—基價(jià)。把基價(jià)按利率i投資，每期產(chǎn)生的利息收入將等于息票收入，即iG=rF。息票收入等式：rF=gC=iG。從理論上講，債券的價(jià)格應(yīng)該等于債券未來收益的現(xiàn)值。而債券的未來收益包括兩部分，即周期性支付的息票和到期的償還值得現(xiàn)值之和，即（1）（2）rFaCvn（3）n從（1）式中容易看出，債券的價(jià)格與市場(chǎng)利率成反比關(guān)系，也就是說，對(duì)于一種給定的債券，市場(chǎng)利率越高，投資者所要求的收益率就越高，債券的價(jià)格將越低。事實(shí)上，對(duì)（2）式求關(guān)于i的一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得dPn(rFtvn1Cnvn1)0dit1d2PnrFt(t1)vn2Cn(n1)vn2)0di2一P是市場(chǎng)利率i的減函數(shù)，因此，市場(chǎng)利率越高，債券的價(jià)格越低。二階導(dǎo)數(shù)又大于零，說明債券價(jià)格p是市場(chǎng)利率i的凸函數(shù)。因此，當(dāng)市場(chǎng)利率下降時(shí)，債券價(jià)格將以加速度上升，而當(dāng)市場(chǎng)利率上升時(shí)，債券價(jià)格將以減速度下降。3.溢價(jià)公式將(3)式變形即得下述溢價(jià)公式：PrFaCvnnrFaC(1ia)nnC(rFiC)a（4）nC(gCiC)anC[1(gi)a]（5）n在上式中，當(dāng)債券的價(jià)格P超過其償還值C時(shí)，就稱債券按溢價(jià)出售，溢價(jià)為式（4）或（5）中的后一項(xiàng)，即溢價(jià)PC(rFiC)aC(gi)a（6）nn從上式可以看出，當(dāng)溢價(jià)為零時(shí)，修正息票率g將等于收益率i。當(dāng)債券的價(jià)格P小于其償還值C,債券就按折價(jià)出售。折價(jià)事實(shí)上就是負(fù)的溢價(jià)。債券的價(jià)格P是投資者在期初的實(shí)際投資金額。如果將賬面值定義為債券持有人在該債券上的投資余額，那么債券在購(gòu)買日的賬面值就是債券的價(jià)格。假設(shè)期初的賬面值為：PC[1(gi)a]n經(jīng)過一個(gè)時(shí)期，若按購(gòu)買債券時(shí)的收益率i計(jì)算，它將積累到（1+i）P，而同時(shí)，投資者可以獲得gC的息票收入，所以經(jīng)過一個(gè)時(shí)期以后，投資者的實(shí)際投資余額（即賬面值）應(yīng)為：(1i)PgC將式（5）的溢價(jià)公式代入此式，即得第一期末的賬面值為：(1i)PgCC[1(gi)a(1i)gC]nC[1ig(gi)(1i)a]nC[1ig(gi)a]nC[1ig(gi)(1a)]n1C[1(gi)a]（7）n1以此類推，各期的賬面值（用BV表示）分別如下第一期初：BV0C1(gi)an第一期末：BVC1(gi)a 1 n1第k期末:BVC1(gi)a t nt第n期末：BVC1(gi)aC由此可見，賬值不同于債券的場(chǎng)價(jià)值，它不隨市場(chǎng)利率的變化而變化。當(dāng)債券按溢價(jià)發(fā)行時(shí)，投資者的賬面值（實(shí)際投資余額）是逐期調(diào)整的，從期初的購(gòu)買價(jià)P一直調(diào)整到償還值C。顯然，當(dāng)債券的溢價(jià)為零時(shí)，賬面值將恒等于償還值，即P=C，此時(shí)就沒有必要逐期調(diào)整賬面值了。如果用基本公式表示各年末的賬面值，則第k年末的賬面值為：rFaCvnk上式事就是未來息票收入和償還值在第k年末的現(xiàn)值。可以證明，各期的賬面值具有下述遞推關(guān)系：BVBV(1i)Fr賬值是券持有人的實(shí)際投資余額，因此債券持有人的利息收入應(yīng)該按照賬面值與收益率的乘積計(jì)算。當(dāng)債券的溢價(jià)為零時(shí)（即P=C），修正息票率g等于收益率i，債券的賬面值恒等于C，所以每期的利息收入iC就等于息票收入gC，即iC=gC。當(dāng)債券的溢價(jià)不為零時(shí)，投資者在每期的利息收入不等于息票收入。此時(shí)，投資者在每期獲得的息票收入應(yīng)該分解為兩部分，一部分是利息收入，一部分是對(duì)其溢價(jià)購(gòu)買債券的補(bǔ)償或分?jǐn)?，即溢價(jià)分?jǐn)?。譬如，投資者在第一期末可以領(lǐng)取的息票收入為gC，而應(yīng)的利息收入為期初的賬面值BVC[1(gi)a]與收益率i的乘積，所以第一期對(duì)溢價(jià)的0n分?jǐn)偨痤~為：gCiC[1(gi)a]C[(gi)(1ia)]C(gi)vn在第一期的息票收入，已經(jīng)對(duì)投資者所付的溢價(jià)分?jǐn)偭艘徊糠?，因此，在第一期末，?yīng)該從期初的投資余額中扣除這個(gè)金額，從而第一期末的賬面值成為：C[1(gi)a]C(gi)vnC[1(gi)a)]nn1上式與與（7）的計(jì)算結(jié)果完全一致。從第二期的息票收入中減去第二期的應(yīng)得利息收入，可得第二期對(duì)溢價(jià)的分?jǐn)偨痤~為：gCiC[1(gi)a)]C(gi)vnt1以此類推，第t期對(duì)價(jià)的分?jǐn)偨痤~為：C(gi)vnt1對(duì)于折價(jià)出售的債券，上述結(jié)論仍然成立，因?yàn)檎蹆r(jià)可以看做負(fù)的溢價(jià)，而溢價(jià)分?jǐn)偩妥兂闪苏蹆r(jià)累計(jì)。4.基價(jià)公式債券的基價(jià)是投資者為了獲得與息票rF相等的周期性收益所必須的投資額。換言之，債券的基價(jià)G如果按收益率i投資，每期產(chǎn)生的利息將等于債券的息票，即iG=rF.根據(jù)這個(gè)關(guān)系式，基價(jià)公式也有式（3）的變形得到：PrFaCvniGaCvnn|nG(1vn)CvnG(CG)vn上式表明，如果投資者將基價(jià)G按收益率i投資，不僅可以獲得與息票收入rF相等的周期性收益（即iG=rF），到期時(shí)還可以獲得G元的償還值（本金）。但是，如果投資者購(gòu)買了債券，除了可以獲得周期性的息票率收入rF，到期時(shí)還可以獲得C元的償還值。由此可見，投資者購(gòu)買債券可以在到期時(shí)多獲得（C-G）元的償還值。這個(gè)償還值的現(xiàn)值(CG)vn，所以，投資者購(gòu)買債券應(yīng)比基價(jià)多支付(CG)vn。當(dāng)（C-G）<0時(shí)，表示購(gòu)買債券應(yīng)比基價(jià)少支付(CG)vn。5.Makeham公式將式（3）變形還可以得到下述的Makeham公式。由于息票收入rF=gC，將其代入式（3）即得：1vnPgCaCvngC Cvnnig(CK)Ki在上式中，K是債券償還值C的現(xiàn)值，而債券的價(jià)格是償還值的現(xiàn)值與息票收入的現(xiàn)值g之和，所以(CK)就是未來息票收入的現(xiàn)值。如果債券的修正息票率g與債券的i收益率i相等，則息票收入的現(xiàn)值就成為（C-K），從而債券的價(jià)格P就等于債券的償還值C。6.定價(jià)公式的應(yīng)用實(shí)例1)的收益率不變，即債券的息票率與收益率之間的差額固定不變時(shí)，債券的到期時(shí)間與債券價(jià)格的波動(dòng)幅度之間成正比關(guān)系。表1面值1000元，5年期債券價(jià)格年年息票率年市場(chǎng)收益率（元）（%） 6% 8% 10% 12% 14% 6 1000.00 919.33 845.66 777.8718.728 1085.20 1000 922.88 852.4788.9610 1170.6 1081.11 1000 926 869.53 12 1255.8 1162.66 1077.22 1000 929.77PnrFFn (1i)t(1i)nt1 r r 1PF(1)Fi i(1i)n 0 0 0r r 1PF(1 )Fii ii(1ii)n0 00r r1 PF(1 )Fii ii(1ii)n 0 0 0PPPP 2 1 0 1PP2P0 dP r r1 r nFF(1)di i2 i2(1i)n i(1i)n1r 1 r nF[1 ]F(1)F0i2 (1i)n i(1i)n1 d2P r r1 r nFF(1) di2 i2 i2(1i)n i(1i)n12r 2r1 2r n rn(n1)FFFF(1) i2 i3(1i)n i2(1i)n1 i(1i)n2nC P t(1i)t=t1 dPntC t di (1i)t1t1d2Pnt(t1)C tdi2 (1i)t1t1 r 1r 1化簡(jiǎn)得：FP(1)F[1 ]，從而：FP1F[1 ]，該式n i (1i)ni (1i)ndFP rln(1i)對(duì)n求導(dǎo)得： 1F 。dn i(1i)nr易見，1為定值時(shí)，正比關(guān)系成立。i而且，隨著債券到期時(shí)間的臨近，債券價(jià)格的波動(dòng)幅度減少，并且隨到期日增加而增加的百分?jǐn)?shù)是遞減的。2)期限既定的債券，同等幅度的收益率變化，收益率下降給投資者帶來的利潤(rùn)大于收益率上升給投資者帶來的損失。表210%的息票率，面值1000元債券價(jià)格 到期時(shí)間 年市場(chǎng)收益 （年） 6% 8% 10% 12% 14% 1 1038.27 1018.86 1000 981.67 963.8451170.61081.111000926.4859.53101297.551135.91000885.3788.12151392.011172.921000862.35751.82 20 1462.3 1197.93 1000 849.54 733.37a)本付息債券，有： r r 1PF(1)Fi i(1i)n0 0 r r 1 PF(1 )Fii ii(1ii)n00r r1 PF(1 )Fii ii(1ii)n0 0PP 據(jù)定理得：PPPP，整理得1 2P210120dPrr1rn對(duì)P求導(dǎo)得：FF(1) di i2 i2(1i)n i(1i)n1 r 1 r nF[1 ]F(1)F0i2 (1i)n i(1i)n1對(duì)P求二次