《現(xiàn)代控制理論》第一章 狀態(tài)空間模型

現(xiàn)代控制理論第一章?tīng)顟B(tài)空間模型

1.1概述一.現(xiàn)代控制理論的研究對(duì)象研究對(duì)象：線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，多變量系統(tǒng)線(xiàn)性系統(tǒng)基本特征：滿(mǎn)足疊加原理（齊次性，可加性）線(xiàn)性系統(tǒng)分為線(xiàn)性定常系統(tǒng)，線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)，本課程主要研究對(duì)象是線(xiàn)性定常系統(tǒng)二.主要任務(wù)研究任務(wù)1：線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律---分析問(wèn)題，包括定量分析（系統(tǒng)響應(yīng)）與定性分析（穩(wěn)定性，能控性，能觀性）研究任務(wù)2：改變運(yùn)動(dòng)規(guī)律的可能性與方法---綜合問(wèn)題，包括狀態(tài)反饋，觀測(cè)器的設(shè)計(jì)三.現(xiàn)代控制理論分支與古典控制比較發(fā)展：經(jīng)典---1960年以前現(xiàn)代---1960年以后標(biāo)志：卡爾曼（R.E.Kalman)以文章“控制系統(tǒng)的一般理論”（國(guó)際自動(dòng)控制聯(lián)會(huì)第一屆大會(huì)上發(fā)表）為標(biāo)志，第一次提出“現(xiàn)代控制理論”現(xiàn)代控制理論主要包括以下五大分支：線(xiàn)性系統(tǒng)理論系統(tǒng)辨識(shí)最優(yōu)濾波理論最優(yōu)控制自適應(yīng)控制現(xiàn)代控制與古典控制比較古典控制---模型：傳遞函數(shù)；數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：拉氏變換方法：復(fù)頻域分析法適用范圍：?jiǎn)屋斎?單輸出線(xiàn)性定常系統(tǒng)現(xiàn)代控制---模型：狀態(tài)空間描述，引入能控性與能觀性?xún)蓚€(gè)表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的重要指標(biāo)，研究“內(nèi)部”代替古典“外部”適用范圍：?jiǎn)屋斎?單輸出，多輸入-多輸出線(xiàn)性定常、時(shí)變系統(tǒng)方法：時(shí)域分析法，微分方程四.課程地位專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)理論課程現(xiàn)代控制理論的其它分支：最優(yōu)控制，系統(tǒng)辨識(shí)，最優(yōu)估計(jì)，隨機(jī)控制，非線(xiàn)性系統(tǒng)，線(xiàn)性系統(tǒng)理論是基礎(chǔ)五.課程要求1.對(duì)重要的概念和結(jié)論，既要掌握它的物理意義，又要注意其形式化數(shù)學(xué)描述2.課后作業(yè)按時(shí)完成3.考核方式：平時(shí)（20%）+半期（10%）+期末（70%，閉卷）1.2控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述特點(diǎn)：1.給出了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息2.形式簡(jiǎn)潔，便于計(jì)算機(jī)計(jì)算1.2.1狀態(tài)的基本概念一.狀態(tài)與狀態(tài)向量例：設(shè)質(zhì)量為的小球在光滑的水平面上作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，為作用在小球上的水平外力，

為小球的水平運(yùn)動(dòng)速度，為小球在選定坐標(biāo)系下的水平位移。如忽略小球運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦和所遇到的空氣阻力，根據(jù)牛頓第二定律，可列出小球運(yùn)動(dòng)的微分方程上式是一個(gè)一階微分方程。如果選取小球的水平位移作為輸出量，描述小球運(yùn)動(dòng)的微分方程可變成為一個(gè)二階微分方程二階微分方程的解可見(jiàn)，小球在任一時(shí)刻的位移，完全由初始位移，初始速度和在時(shí)間區(qū)間上的輸入量來(lái)確定。因此，系統(tǒng)的狀態(tài)完全表征了輸入量，輸出量為的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。即完全描述了該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。幾個(gè)基本概念狀態(tài)：系統(tǒng)過(guò)去、現(xiàn)在和將來(lái)的狀況。狀態(tài)變量：組成描述系統(tǒng)的一個(gè)最小內(nèi)部變量組的變量稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量狀態(tài)向量：完全描述一個(gè)給定系統(tǒng)行為的狀態(tài)變量所組成的向量。狀態(tài)空間：由狀態(tài)變量所張成的維歐氏空間，稱(chēng)為狀態(tài)空間。狀態(tài)軌跡：狀態(tài)隨時(shí)間的變化過(guò)程在狀態(tài)空間中所構(gòu)成的一條軌跡稱(chēng)為狀態(tài)軌跡。狀態(tài)變量的特點(diǎn)獨(dú)立性：狀態(tài)變量之間線(xiàn)性獨(dú)立。多樣性：狀態(tài)變量的選取并不唯一，實(shí)際上存在無(wú)窮多種方案。等價(jià)性：兩個(gè)狀態(tài)向量之間只差一個(gè)非奇異變換。現(xiàn)實(shí)性：狀態(tài)變量通常取為涵義明確的物理量。抽象性：狀態(tài)變量可以沒(méi)有直觀的物理意義。1.2.2狀態(tài)空間方程輸入變量狀態(tài)變量輸出變量一.系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)學(xué)描述1.系統(tǒng)的外部描述外部描述稱(chēng)為輸出—輸入描述對(duì)SISO線(xiàn)性定常系統(tǒng):在時(shí)間域的外部描述即微分方程在復(fù)頻率域的外部描述即傳遞函數(shù)2系統(tǒng)的內(nèi)部描述狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式,需要由兩個(gè)數(shù)學(xué)方程表征——狀態(tài)方程和輸出方程，涉及到三種變量：輸入變量，輸出變量，狀態(tài)變量

狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的一階微分方程（組）輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式：3.外部描述和內(nèi)部描述的比較

一般來(lái)說(shuō)：外部描述只是對(duì)系統(tǒng)的一種不完全描述,不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測(cè)的部分。內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述,能夠完全反映系統(tǒng)的所有動(dòng)力學(xué)特性。

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)

線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)4.狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的方塊圖五.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的分類(lèi)1.線(xiàn)性系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述一般形式：向量函數(shù)：若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一個(gè)組成元素為x、u的非線(xiàn)性函數(shù),該系統(tǒng)稱(chēng)為非線(xiàn)性系統(tǒng)。非線(xiàn)性系統(tǒng)可以用泰勒展開(kāi)方法化為線(xiàn)性系統(tǒng)。若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部組成元為x、u的線(xiàn)性函數(shù),該系統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)2.時(shí)變系統(tǒng)和時(shí)不變系統(tǒng)若向量f,g顯含時(shí)間變量t,即該系統(tǒng)稱(chēng)為時(shí)不變系統(tǒng)若向量f,g不顯含時(shí)間變量t,即該系統(tǒng)稱(chēng)為時(shí)變系統(tǒng)3.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時(shí)間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過(guò)程為時(shí)間的連續(xù)過(guò)程,該系統(tǒng)稱(chēng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量只取值于離散時(shí)間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過(guò)程為時(shí)間的不連續(xù)過(guò)程,該系統(tǒng)稱(chēng)為離散時(shí)間系統(tǒng)。4.確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng)確定性系統(tǒng)：當(dāng)且僅當(dāng)不論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng),都是隨時(shí)間按確定的規(guī)律而變化的.不確定性系統(tǒng)：或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)中包含某種不確定性,或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng)是隨機(jī)變量1.3控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型建立描述選擇狀態(tài)變量：例1.列寫(xiě)下面RLC網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式一.根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式建模：物理機(jī)理建模與系統(tǒng)微分方程建模整理得：狀態(tài)方程為：輸出方程為：

寫(xiě)成矩陣形式二.根據(jù)系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式傳遞函數(shù)描述可以導(dǎo)出其狀態(tài)空間描述為單輸入,單輸出線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程描述1.不含作用函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)選取此時(shí)輸入輸出描述為:選取n個(gè)狀態(tài)變量其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:說(shuō)明：1.狀態(tài)空間描述采用向量方程形式，維數(shù)增加，并不增加表達(dá)形式上的復(fù)雜性。2.狀態(tài)空間描述是一種內(nèi)部描述模型，由兩個(gè)方程構(gòu)成狀態(tài)方程：反映內(nèi)部狀態(tài)變量組和輸入變量組間因果關(guān)系。輸出方程：狀態(tài)變量組及輸入量和輸出變量組間轉(zhuǎn)換關(guān)系。例2考慮系統(tǒng)試寫(xiě)出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫(huà)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。例3.雙輸入-雙輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為畫(huà)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2.含作用函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)n階系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式方法一：選取狀態(tài)變量為

式中，由下式確定代入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可得輸出方程狀態(tài)方程例4.列寫(xiě)出狀態(tài)空間表達(dá)式方法二由（1）由（2）（3）中，選取狀態(tài)方程將（3）,（5）代入（4）如果，則有例5.列寫(xiě)出狀態(tài)空間表達(dá)式三.由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間描述例6.設(shè)系統(tǒng)方塊圖如下，試列寫(xiě)其狀態(tài)空間描述先分析典型環(huán)節(jié)這是一個(gè)一階微分方程，選取狀態(tài)變量解：上圖等效為指定狀態(tài)變量組后，列寫(xiě)變量間的關(guān)系方程：寫(xiě)成矩陣形式例7：設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試列寫(xiě)其狀態(tài)空間表達(dá)式。解：可畫(huà)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下寫(xiě)出變量之間的關(guān)系課堂練習(xí)：已知系統(tǒng)方框圖，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣四.系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣與狀態(tài)空間表達(dá)式的相互轉(zhuǎn)換1.從狀態(tài)空間表達(dá)式求取傳遞函數(shù)矩陣?yán)献儞Q設(shè)初始條件說(shuō)明：系統(tǒng)狀態(tài)變量選擇不唯一，故建立的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式不唯一，但同一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣卻是唯一的。可見(jiàn)，同一系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)陣是唯一的。例8：已知求解：2.組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)陣設(shè)系統(tǒng)1系統(tǒng)2（1）子系統(tǒng)并聯(lián)由圖可知：并聯(lián)后組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式方法1：方法2：(2)子系統(tǒng)串聯(lián)由圖可知：子系統(tǒng)串聯(lián)以后組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式傳遞函數(shù)注意順序不能反。（3）反饋（假設(shè)）由圖可知：反饋組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式傳遞函數(shù)課堂練習(xí)：試分別求串聯(lián)、并聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞函數(shù)五.系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)型1.系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性狀態(tài)變量選擇是非唯一的，描述同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量之間的關(guān)系是什么？同一系統(tǒng)的不同形式的狀態(tài)空間表達(dá)式可否相互轉(zhuǎn)換？如何建立狀態(tài)空間表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)型？這里:令（1）（2）（2）是以為狀態(tài)變量的狀態(tài)空間表達(dá)式，它和（1）描述同一線(xiàn)性系統(tǒng)，具有相同的維數(shù)，稱(chēng)它們?yōu)闋顟B(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性變換（等價(jià)變換）由于線(xiàn)性變換矩陣T是非奇異的，因此，狀態(tài)空間表達(dá)式中的系統(tǒng)矩陣是相似矩陣，而相似矩陣具有相同的基本特性：行列式相同，秩相同，跡相同，特征多項(xiàng)式相同，特征值相同。因此，可以通過(guò)非奇異線(xiàn)性變換把系統(tǒng)矩陣化為一些特定的標(biāo)準(zhǔn)型，如對(duì)角線(xiàn)陣或約當(dāng)陣等，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式稱(chēng)為狀態(tài)空間表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)型。2.系統(tǒng)的特征值與特征向量1.系統(tǒng)的特征值對(duì)于系統(tǒng)：稱(chēng)為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，令其等于零，即得到系統(tǒng)的特征方程特征方程的根稱(chēng)為系統(tǒng)的特征值。2.特征向量設(shè)是系統(tǒng)的一個(gè)特征值，若存在一個(gè)非零向量滿(mǎn)足：則稱(chēng)為系統(tǒng)相應(yīng)與特征值的特征向量例9.系統(tǒng)矩陣為試求其特征值與特征向量3.系統(tǒng)特征值的不變性設(shè)線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為特征方程為系統(tǒng)狀態(tài)線(xiàn)性變換后，其狀態(tài)方程為其特征多項(xiàng)式為可見(jiàn)，系統(tǒng)經(jīng)非奇異線(xiàn)性變換后，其特征值不變4.將狀態(tài)方程化為對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型定理1：對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)，若系統(tǒng)的特征值互異，則必存在非奇異線(xiàn)性變換,可將狀態(tài)方程化為對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型。證明：例10.系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為試化為對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型特別的，如果系統(tǒng)矩陣為如下友矩陣形式并且，其特征值互異，則對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣P為Vandermonde（范德蒙德）矩陣?yán)?1.把系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式化為對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型6.將狀態(tài)方程化為Jordan（約當(dāng)）標(biāo)準(zhǔn)型定理2：當(dāng)系統(tǒng)矩陣A的特征值有重根時(shí)，存在非奇異變換P，可將A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J。矩陣J為主對(duì)角線(xiàn)上