2023屆高三寒假數(shù)學(xué)二輪微專題45講12.解三角形中的范圍問題研究

解三角形中的最值問題（2019全國3卷）的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；第一類最值：面積最值.（2）求面積的最大值；（3）若為銳角三角形，且，求面積的取值范解析：(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因為，故，消去得．，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)因為是銳角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是變式練習(xí)：的內(nèi)角對邊為，（1）.求角的值；（2）最值問題展示：若,求周長的最大值.若,求面積的最大值.若為銳角三角形，求的取值范圍.iv）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．若為邊的中點，，求面積的最大值.vi）若為的平分線，，求面積的最小值.vii）若為邊的高，且，求面積的最小值.小結(jié)1.結(jié)合余弦定理：變式可得：此公式在已知的情況下，可得到和的等式，配合均值不等式，這樣就可實現(xiàn)周長或者面積的最值.2.結(jié)合正弦定理構(gòu)建周長或者面積關(guān)于角的目標函數(shù)，利用三角函數(shù)處理最值或者范圍.3.在處理與中線，角平分線，高線有關(guān)的最值時，要注意利用相關(guān)性質(zhì)和等面積的方法實現(xiàn)代數(shù)等量關(guān)系的構(gòu)建.解析：(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因為，故，消去得．，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)因為是銳角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是練習(xí).1（2020年全國2卷）在中，（1）求；（2）若，求周長的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，，.（2）方法1:由余弦定理得：，即.（當且僅當時取等號），，解得：（當且僅當時取等號），周長，周長的最大值為.2.在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足.（1）求角的大??；（2）若為的中點，且，求的最大值.解：（1）由正弦定理及得，由知，則，化簡得，.又，因此，.（2）由，又為的中點，則，等式兩邊平方得，所以，則，當且僅當時取等號，因此，的面積最大值為.3．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.解析：（1）由題設(shè)知，，即，所以，即，又所以.（2）由題設(shè)知，，即，又為銳角三角形，所以，即所以，即，所以的取值范圍是.4．內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求角的大??；（2）是邊上一點，且，，求面積的最大值.解析：（1）因為，由正弦定理可得，又，所以，因為，所