2022-2023學年高二數(shù)學上學期期中期末高效復習課1第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用典型例題講解Word版含解析

1第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用典型例題講解目錄一、基本概念回歸二、重點例題（高頻考點）高頻考點一：物體運動的平均速度及瞬時速度高頻考點二：導數(shù)幾何意義的應用角度1：求切線方程（在型，過型）角度2：根據(jù)切線斜率求切點坐標高頻考點三：解析式中含的導數(shù)問題高頻考點四：利用相切關(guān)系求最小距離高頻考點五：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間高頻考點六：函數(shù)與導函數(shù)圖象間的關(guān)系高頻考點七：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍：角度1：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)角度2：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)角度3：已知函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間為（是），求參數(shù)角度4：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)高頻考點八：含參問題討論單調(diào)性角度1：導函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）角度2：導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型角度3：導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型高頻考點九：函數(shù)圖象與極值（點）的關(guān)系高頻考點十：求已知函數(shù)的極值（點）高頻考點十一：根據(jù)函數(shù)的極值（點）求參數(shù)高頻考點十二：函數(shù)的最值問題高頻考點十三：利用導數(shù)研究不等式恒成立問題高頻考點十四：利用導數(shù)研究不等式能成立（有解）高頻考點十五：利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題一、基本概念回歸知識回顧1：函數(shù)在處的導數(shù)（瞬時變化率）函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù),記作.知識回顧2：曲線的切線問題1、在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計算切點的縱坐標（方法：把代入原函數(shù)中），切點.第二步：計算切線斜率.第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.2、過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設切點第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.知識回顧3：導數(shù)的四則運算法則1、兩個函數(shù)和的和（或差）的導數(shù)法則：.2、對于兩個函數(shù)和的乘積（或商）的導數(shù)，有如下法則：；.3、由函數(shù)的乘積的導數(shù)法則可以得出，也就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的導數(shù)的積，即知識回顧4：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系（導函數(shù)看正負，原函數(shù)看增減）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，(1)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若恒有，則在區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．知識回顧5：求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間①求的定義域②求③令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間④令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間注：求單調(diào)區(qū)間時，令（或）不跟等號.知識回顧6：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法1、已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.注：已知單調(diào)性，等價條件中的不等式含等號.2、已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間使得有解②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間使得有解3、已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得有變號零點知識回顧7：極大（?。┲?、函數(shù)的極值一般地，對于函數(shù)，（1）若在點處有，且在點附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極小值點，叫做函數(shù)的極小值.（2）若在點處有，且在點附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極大值點，叫做函數(shù)的極大值．（3）極小值點與極大值點通稱極值點，極小值與極大值通稱極值.注：極大（?。┲迭c，不是一個點，是一個數(shù).2、函數(shù)的最大（?。┲狄话愕兀绻趨^(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.知識回顧8：函數(shù)的最值與極值的關(guān)系（1）極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（?。┲悼赡苡卸鄠€（或者沒有），但最大（小）值只有一個（或者沒有）；（3）函數(shù)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點；（4）對于可導函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.高頻考點一：物體運動的平均速度及瞬時速度1．（2022·全國·高二課時練習）已知函數(shù)，其中，則此函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為__________.【答案】5【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為.故答案為：2．（2022·上海南匯中學高二期末）若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為5，則______．【答案】3【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，解得.故答案為：3.3．（2022·安徽省皖西中學高二期末）某物體做直線運動，位移y（單位：m）與時間t（單位：s）滿足關(guān)系式，那么該物體在時的瞬時速度是____________．【答案】8【詳解】由題知，，當時，故物體在時的瞬時速度為8故答案為：84．（2022·河南·睢縣高級中學高三階段練習（文））設函數(shù)在點處的切線方程為，則（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【詳解】函數(shù)在點處的切線方程為，則.故選:C.5．（2022·上?！偷└街懈呷A段練習）設在處可導，下列式子與相等的是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對于A，,A錯誤；對于B，，B正確；對于C,，C錯誤；對于D，，D錯誤，故選：B6．（2022·安徽省亳州市第一中學高三階段練習）已知函數(shù)，且，則函數(shù)在處的切線方程是___________.【答案】【詳解】解：由，得，而，所以，所以切線方程為，即.故答案為：.高頻考點二：導數(shù)幾何意義的應用角度1：求切線方程（在型）1．（2022·上海市奉賢中學高二期末）函數(shù)在點處的切線方程為______.【答案】【詳解】由函數(shù)可得，故在點處的切線的斜率為，故切線方程為，即，故答案為：.2．（2022·新疆·高三期中（文））函數(shù)的圖象在點處的切線方程為__________．【答案】【詳解】由得，，，所以的圖象在點處的切線方程為.故答案為：3．（2022·上海崇明·高二期末）已知函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過坐標原點，則實數(shù)的值等于___________．【答案】【詳解】因為，所以，所以，又，所以在處的切線方程為：，又切線方程過原點，把代入得，解得：．故答案為：.4．（2022·河北·模擬預測（理））已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為__．【答案】【詳解】解：，，，，曲線在點處的切線方程為：，即，故答案為：．角度2：求切線方程(過型）`1．（2022·河北保定·高三階段練習）過點且與曲線相切的直線方程為____________________.【答案】或【詳解】設切點為的橫坐標為，因為，故，故，整理得到：，故或，故切線的斜率為或，故切線方程為或，即或，故答案為：或，2．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）已知函數(shù)滿足，則函數(shù)在處的切線的斜率為__________.【答案】【詳解】由，有，所以，所以，因此函數(shù)在處的切線的斜率為.故答案為：.3．（2022·山西·高三階段練習）過點與曲線相切的切線方程為___________．【答案】【詳解】設切點為，則，得，則切點為，切線方程為，即．故答案為：.4．（2022·浙江·高三階段練習）已知過點有三條直線與曲線相切，則（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設切點，由可得切線方程為，將代入得，整理得，設，，因為,令解得，令解得或，所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當時，由題意得有3個不相等的實數(shù)根，則有，即，所以.故選:D.5．（2022·四川·成都金蘋果錦城第一中學高三期中（文））過點有條直線與函數(shù)的圖象相切，則的取值范圍為______．【答案】【詳解】設切點為，對函數(shù)求導得，切線斜率為，所以，曲線在點處的切線方程為，將點的坐標代入切線方程可得，所以，，令，其中，所以，，列表如下：減極小值增極大值減由可得，解得或，如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，因此，.故答案為：.6．（2022·山東·新泰市第一中學北校高三期中）已知函數(shù)，過點可作3條與曲線相切的直線，則實數(shù)t的取值范圍是______．【答案】【詳解】設切點坐標為，則.由，可得，所以切線方程為，整理得，將代入可得，，，則在和上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.所以，在處有極小值，在處有極大值.易知當時，（如圖所示）所以，當時，函數(shù)有3個零點，即，當時，過點可作3條與曲線相切的直線.故答案為：.7．（2022·江蘇·常熟中學高三階段練習）若過點可以作出3條直線與函數(shù)的圖象相切，則的取值范圍為_________．【答案】【詳解】設過的直線與切于，，，∴的切線方程為，∵切線過，∴，問題轉(zhuǎn)化為此方程有3個不等的實根，令，，即與有3個不同的交點，，令，則有或，，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，此時恒成立；作出的大致圖象，入下圖所示：要使與有3個不同的交點，則即可，∴的取值范圍為：．故答案為：．高頻考點三：解析式中含的導數(shù)問題1．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級中學高二期末）已知，若，則（）A． B． C． D．e【答案】B【詳解】因為．所以，由，解得e．故選：B.2．（2022·江西·金溪一中高三階段練習（理））記函數(shù)的導函數(shù)為，且溥足，則＝______．【答案】##1.5【詳解】由題意得，，∴，解得，∴，∴．故答案為：3．（2022·上海市實驗學校高三階段練習）已知函數(shù)，則___________.【答案】2【詳解】,所以，故答案為：.高頻考點四：利用相切關(guān)系求最小距離1．（2022·云南·昆明一中高三階段練習）若點為曲線上的動點，點為直線上的動點，則的最小值為（）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】由題意，要使的最小，為平行于的直線與的切點，令，可得，故切點為，以為切點平行于的切線為，此時有.故選：A2．（2022·陜西·寶雞中學高三階段練習（理））已知函數(shù)，直線的方程為，則函數(shù)上的任意一點到直線的距離的最小值為_________【答案】【詳解】函數(shù)上任意一點的坐標為，過該點的切線為，當直線與直線平行時，點到直線的距離的最小，由，所以直線的方程為，因此函數(shù)上的任意一點到直線的距離的最小值為，故答案為：3．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高三階段練習（理））若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為___________.【答案】【詳解】由已知，設點曲線上一點，則有，因為，所以，所以，所以曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為，即．要求得曲線上任意一點，到直線的最小距離即找到曲線上距離直線最近的點，即，解得或（舍去），此時，以點為切點，曲線的切線方程為：，此時，切點為曲線上距離直線最近的點，即點與點重合，最小距離為直線與直線之間的距離，設最小距離為，所以.故答案為：.高頻考點五：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)滿足，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)【答案】A【詳解】由題設，則，可得，而，則，所以，即，則且遞增，當時，即遞減，故遞減區(qū)間為(-,0).故選：A2．（2022·北京交通大學附屬中學高二期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．， B．C． D．【答案】D【詳解】因為的定義域為，所以，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：D.3．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在區(qū)間(0，π)上的函數(shù)f(x)＝x＋2cosx，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．【答案】，【詳解】f′(x)＝1－2sinx，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝，當0<x<時，f′(x)>0，當<x<時，f′(x)<0，當<x<π時，f′(x)>0，∴f(x)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．故答案為：，.高頻考點六：函數(shù)與導函數(shù)圖象間的關(guān)系1．（2022·上海市奉賢中學高二期末）設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由函數(shù)圖象可知當時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則；故的解集是，故選:C.2．（2007·浙江·高考真題（理））設是函數(shù)的導函數(shù)，將和的圖象畫在同一直角坐標系中，下列不可能正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，如果把作為的圖象，則，原點處取等號，則單調(diào)遞增，故A正確；對于B，如果把作為的圖象，則，則單調(diào)遞增，故B正確；對于C，如果把作為的圖象，則，則單調(diào)遞增，故C正確；對于D，如果把作為的圖象，則，在個別點處取等號，則單調(diào)遞增，與圖中不符；如果把作為的圖象，則在圖象所對應的范圍內(nèi)，在個別點處取等號，則單調(diào)遞減，與圖中不符；故D不可能，故選：D3．（2022·山東·寧陽縣第四中學高二階段練習）偶函數(shù)為的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：由題意可知，為偶函數(shù)，設的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為，，，由圖象可得，當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減，當時，，則單調(diào)遞增，故選項A錯誤，選項Ｄ錯誤；由的圖象可知，在左右的函數(shù)值是變化的，不同的，而選項C中，的圖象在左右是一條直線，其切線的斜率為定值，即導數(shù)為定值，故選項C錯誤，選項B正確．故選：B.4．（2022·安徽省臨泉第一中學高二階段練習）定義在區(qū)間上的函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值 D．函數(shù)在處取得極小值【答案】C【詳解】函數(shù)在上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；根據(jù)函數(shù)的導數(shù)圖象，函數(shù)在時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確；由A的分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點，故錯誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，故正確，故選：高頻考點七：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍：角度1：已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)1．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則在恒成立，即在上恒成立，又，所以，即.故選:D.2．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋在[，＋∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．[－1，0] B．[－1，＋∞)C．[0，3] D．[3，＋∞)【答案】D【詳解】f′(x)＝2x＋a－，由于函數(shù)f(x)在[，＋∞)上是增函數(shù)，故f′(x)≥0在[，＋∞)上恒成立.即a≥－2x在[，＋∞)上恒成立.設h(x)＝－2x，x∈[，＋∞)，易知h(x)在[，＋∞)上為減，∴h(x)max＝h()＝3，∴a≥3.故選：D3．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即恒成立，因為，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：A角度2：已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)1．（2022·四川成都·高二期中（文））已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因為，所以，在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，存在，使得，即，令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，，故實數(shù)的取值范圍為．故選：D2．（2021·福建省泉州市劍影實驗學校高三期中）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.3．（2020·全國·高二課時練習）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴在區(qū)間上有解(成立)，即在區(qū)間上成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當時，取最小值，即，即，得．故選：D﹒角度3：已知函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間為（是），求參數(shù)1．（2020·湖北·麻城市第二中學高三階段練習（理））若函數(shù)的遞減區(qū)間為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】對函數(shù)進行求導，再根據(jù)函數(shù)的減區(qū)間為，可知在上為減函數(shù)，從而可得的范圍.【詳解】由題可知因為的解集為所以的遞減區(qū)間為又的遞減區(qū)間為所以故選：A2．（2020·浙江·高三階段練習）已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題可得，則的解集為，即，，可得，∴，故選:C．3．（2020·全國·高二課時練習（理））已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題得的解集為，所以不等式的解集為，所以故選：B角度4：已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)1．（2020·江西·奉新縣第一中學高三階段練習（理））若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，當函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)時，且在內(nèi)有解，由解得或，在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解，因為在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，所以，即，綜上所述：.故選：C.2．（2020·江蘇省包場高級中學高二階段練習）已知函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，若在內(nèi)不單調(diào)，則在內(nèi)有實根，即和的圖象在內(nèi)有交點，顯然在遞增，故，故，故選：．3．（2020·陜西渭南·高二期末（理））已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得當時，，在上單調(diào)遞增，不滿足題意當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增要使得函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)則有，解得故選：C高頻考點八：含參問題討論單調(diào)性角度1：導函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析．【詳解】（1），時，恒成立，在上是增函數(shù)，時，時，，是減函數(shù)，時，，是增函數(shù)，綜上，時，在R上是增函數(shù)，時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；2．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習（理））已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析；【詳解】（1）由題可知的定義域是，．當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，解得，當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減．綜上：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．3．（2022·上海崇明·高二期末）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求實數(shù)的值；(2)根據(jù)的取值，討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)(2)分類討論，答案見解析.【詳解】（1），因為函數(shù)在點處的切線方程為，所以，即，解得；（2）恒成立，當時，對恒成立，所以在R上單調(diào)遞增；當時，時，時，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；角度2：導函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型1．（2022·四川·成都金蘋果錦城第一中學高三期中（文））已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析(2)①；②【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，.①當時，，由可得或，由可得，此時函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；②當時，且不恒為零，此時函數(shù)的增區(qū)間為；③當時，，由可得或，由可得，此時函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當時，函數(shù)的增區(qū)間為；當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.2．（2022·江蘇省江浦高級中學高三階段練習）已知函數(shù)).(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【詳解】（1）由，①當，即時，因為恒成立，故在上為減函數(shù)；②當，即時，由得，或；由得，，所以在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；③當，即時，由得，或；由得，，所以在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).綜上：當時，在上為減函數(shù)；當時，在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當時，在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).3．（2022·四川省合江縣中學校高三階段練習（理））已知函數(shù).(1)若，試討論在上的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【詳解】（1）解：，，若，，有，則在上的單調(diào)遞增；若，令，得，①當即時，，有，則在上的單調(diào)遞減，，有，則在上的單調(diào)遞增，②當即時，，有，則在上的單調(diào)遞增，綜上所述：當時，在上的單調(diào)遞增；當時，在上的單調(diào)遞減，在上的單調(diào)遞增.4．（2022·上海市南洋模范中學高三期中）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在處取得極大值，求a的值；(2)設，試討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)；(2)見解析【詳解】（1），由在處取得極大值得；經(jīng)檢驗成立（2），，i.當時，（僅在取等號），故在遞增；ii.當時，由得，得，故在遞增，在遞減；iii.當時，由得，得，故在遞增，在遞減.5．（2022·北京·昌平一中高三階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極小值；(2)當時，討論的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當時：，令解得，又因為當，，函數(shù)為減函數(shù)；當，，函數(shù)為增函數(shù).所以的極小值為.（2），當時，由，得或.①若，則，故在上單調(diào)遞增；②若，則.故當時，或；當時，.所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.③若，則.故當時，或；當時，.所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.角度3：導函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型1．（2022·江西九江·高三階段練習（文））已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增【詳解】（1）由已知的定義域為.令，，有兩根，因為，，時，，，單調(diào)遞減；時，，，單調(diào)遞增.故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.2．（2022·寧夏六盤山高級中學高三階段練習（理））已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【詳解】（1）由，得.當，即時，，在上單調(diào)遞增.當，即時，令，得，.所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.高頻考點九：函數(shù)圖象與極值（點）的關(guān)系1．（2022·重慶市育才中學高二階段練習）已知函數(shù)的定義域為，部分對應值如下表，的導函數(shù)的圖象如圖所示．則函數(shù)的零點個數(shù)不可能為（）個．x-10451221A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】由導函數(shù)的圖象知，函數(shù)在，上都單調(diào)遞增，在，上都單調(diào)遞減，，函數(shù)有最大值，函數(shù)在處取得極小值，顯然，函數(shù)的零點個數(shù)即是直線與函數(shù)的圖象交點個數(shù)，當時，直線與函數(shù)的圖象有4個交點，C可能；當時，若，直線與函數(shù)的圖象有2個交點，A可能；若，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，B可能；若，直線與函數(shù)的圖象有4個交點，C可能，所以函數(shù)的零點個數(shù)不可能為5個，即D不可能.故選：D2．（2022·全國·高二）已知函數(shù)的定義域為，部分對應值如下表，的導函數(shù)的圖象如圖所示．下列關(guān)于的命題：x-10451221①函數(shù)在，4處取到極大值；②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；③如果當時，的最大值是2，那么t的最大值為4；④當時，函數(shù)不可能有3個零點．其中所有真命題的序號是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】A【詳解】解：①觀察導數(shù)的圖象可得在，處左正右負，取得極大值，故①正確；②函數(shù)在的導數(shù)為負，則在區(qū)間上是減函數(shù)，故②正確；③如果當時，的最大值是2，可能是或，結(jié)合單調(diào)性可得t的最大值為5，故③錯誤；④當時，令函數(shù)，即，轉(zhuǎn)化為圖象交點個數(shù)可得零點個數(shù)，當?shù)臉O小值時,函數(shù)有三個零點，故④錯誤．綜上可得，①②正確．故選：A．3．（2022·全國·高二單元測試）設函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值【答案】B【詳解】由圖知：當時，有、，∴，，又時，而則，即遞增；時，而則，即遞減；時，而則，即遞增；時，而則，即遞增；綜上，、上遞增；上遞減.∴函數(shù)有極大值和極小值.故選：B4．（2022·全國·高三專題練習）定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．有極大值和極小值B．有極大值和極小值C．有極大值和極小值D．有極大值和極小值【答案】B【詳解】解：由函數(shù)圖像可知，當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，所以有極大值和極小值，故選：B高頻考點十：求已知函數(shù)的極值（點）1．（2022·湖南·安仁縣第一中學高二階段練習）已知函數(shù)．(1)若，求的極大值；【答案】(1)0【詳解】（1）當時，，且則．當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以的極大值為．2．（2022·廣東·佛山一中高三階段練習）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)求函數(shù)的極值．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）解：當時，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以，即函數(shù)在區(qū)間上的值域.（2）解：因為，，則，當時，所以在定義域上單調(diào)遞增，不存在極值；當時令，解得或，又，所以當或時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極大值，，在處取得極小值，，當時令，解得或，又，所以當或時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極大值，，在處取得極小值，，綜上可得：當時無極值，當時，，，當時，，．3．（2022·青海玉樹·高二期末（理））已知．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間與極值；【答案】(1)答案見解析【詳解】（1）解：當時，，該函數(shù)的定義域為，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，極大值為，即小值為.4．（2022·山東菏澤·高三期中）已知函數(shù)，．(1)若，求的極值；【答案】(1)極小值為，無極大值【詳解】（1）由函數(shù)，則，．當時，令得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值．高頻考點十一：根據(jù)函數(shù)的極值（點）求參數(shù)1．（2022·河南·上蔡縣衡水實驗中學高三階段練習（文））若函數(shù)處有極大值，則常數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)，依題意得，即或，時，，當時，，當時，，則在處取極小值，不符合條件，時，，當時，，當時，，則在處取極大值，符合條件，所以常數(shù)的值為6.故選：D.2．（2022·河南·高三期中（文））已知函數(shù).(1)若有兩個極值點，求的取值范圍；(2)設分別是的極大值點與極小值點，若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），∵有兩個極值點，∴有兩個零點，∴，即，解得或，∴實數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，且，令，則，∵，∴，∴，即，得，得或，∴的取值范圍為.3．（2022·江西南昌·高三階段練習（文））已知函數(shù)．(1)若在（0，+∞）上存在極值，求a的取值范圍；【答案】(1)；【詳解】（1），令，解得因為，所以，所以，所以，經(jīng)檢驗當時，存在極值，故a的取值范圍是.4．（2022·全國·高二專題練習）已知函數(shù)，其中.(1)若的極小值為－16，求；【答案】(1)（1）由題得，其中，當時，，單調(diào)遞增，無極值；當時，令，解得或；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以當時，取得極小值，所以，解得.高頻考點十二：函數(shù)的最值問題1．（2022·江西·高三階段練習（文））已知函數(shù)在上有最小值，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C．D．【答案】A【詳解】因為函數(shù)在上有最小值，所以函數(shù)在上先減后增，即在上先小于0，再大于0，令，得，，，故只需的斜率大于過的的切線的斜率即可，設切點，則切線方程為：，把代入切線方程可得，故切點為，切線斜率為，故只需.故選：A2．（2022·黑龍江·賓縣第二中學高三階段練習）已知在時有極小值．(1)求常數(shù)，的值；(2)求在區(qū)間上的最值．【答案】(1)，(2)最大值為，最小值為【詳解】（1）由，得，在時有極小值，，，解得或，經(jīng)檢驗，當，時，符合題意，，．（2）由（1）知，，令，則或，，當或時，，當時，；函數(shù)在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；的極大值為，極小值為，又，；，，的最大值為，最小值為.3．（2022·上海市松江二中高二期末）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為12，求實數(shù)的值；【答案】(1)答案見詳解(2)或【詳解】（1）由得，當時，，故在上單增；當時，令，解得，時，，單增；時，，單減；時，，單增；綜上所述，當時，在上單增；當時，在單增；在單減；在當單增；（2）由（1）可知，當時，在上單增，故當時，，解得，故；當時，令，解得，和時，，單增；時，，單減；故最大值在或處取到，，解得（舍去），，解得舍去；當，即時，時，，單增；時，，單減，故，解得，故；當時，即時，時，，單減，故，解得（舍去），綜上所述，或4．（2022·四川省隆昌市第七中學高三階段練習（文））已知函數(shù).(1)若，曲線在處的切線過點，求的值；(2)若，求在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)或(2)【詳解】（1）解：當時，，，，，所以，曲線在處的切線方程為，將點的坐標代入切線方程可得，整理可得，解得或.（2）解：因為且，，則，①當時，對任意的，且不恒為零，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，；②當時，，當時，；當時，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，故當時，.綜上所述，當時，.5．（2022·貴州畢節(jié)·高三期中（文））已知函數(shù).(1)當時，求的最小值；(2)若在上恒成立，求整數(shù)a的最小值.【答案】(1)；(2)1【詳解】（1）當時，，則，令得.若，則；若，則.所以；（2）（法一）由，可得在上恒成立.令，則，令，則，因此在上為減函數(shù).而，可知在區(qū)間上必存在，使得滿足，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.由于，而，故，由，可知，所以，因此整數(shù)a的最小值為1.（法二）由，可得，當時，，則，即.當時，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以，所以成立.因此整數(shù)a的最小值為1.6．（2022·安徽·合肥市第十中學高三階段練習）已知，.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間上的最小值是，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，，所求切線的斜率為，切點為，所求切線的方程為，即．（2）假設存在實數(shù)a，使有最小值3，①當時，在上單調(diào)遞減，故，解得（舍去），所以此時不存在符合題意的實數(shù)a；②當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得，滿足條件；③當，即時，在上單調(diào)遞減，故，解得（舍去），所以此時不存在符合題意的實數(shù)a．綜上，存在實數(shù)，在區(qū)間上的最小值是．高頻考點十三：利用導數(shù)研究不等式恒成立問題1．（2022·廣東·惠州市光正實驗學校高三階段練習）已知函數(shù)，若對于任意，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由得且，兩邊同時除以x得，兩邊同時除以得，即，設函數(shù)，則，當時，，遞增．若，則,若，有，于是得，，設，則，當時，，遞減，，，，．若，，，符合題意，．綜上：．故選：A．2．（2022·湖北·高三期中）若不等式對任意恒成立，則a的取值范圍是_______________.【答案】【詳解】由，令，即對任意恒成立，易知時為增函數(shù)，且時，時，故存在使得，即，所以時為減函數(shù)，時為增函數(shù)，所以所以，即，所以，，故答案為：3．（2022·云南·昆明一中高三階段練習）已知函數(shù)，其中，設為的導函數(shù).(1)若，證明：；(2)若時，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）由題設，則，所以，令，故，所以在R上單調(diào)遞增，而，故上，上，則上遞減，上遞增，故，得證.（2）由，則，由（1）知：上，故在上遞增，所以，而，當時，即，趨向時趨向，故使，所以上，遞減，上，遞增，故，不滿足恒成立；當時，即，故在上，所以上遞增，此時恒有，滿足恒成立；綜上，時，時恒成立.4．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知函數(shù)在點處的切線方程為.(1)求實數(shù)，的值；(2)設函數(shù)的兩個極值點為，且，若恒成立，求滿足條件的的最大整數(shù)值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），因為在切線方程上，所以，解得：，所以，所以，解得：.（2）由（1）知，，的定義域為，則，由，得，因為（）是函數(shù)的兩個極值點，所以方程有兩個不相等的正實根，所以，，所以，因為，所以，解得或，因為，所以，所以令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最小值，即，所以，所以實數(shù)的最大整數(shù)值為：.5．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高三期中（理））已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且，當時，，當時，，當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.當時，，有兩根－1，，且，，則；，則；故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上可知：當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立.令，則，，，，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).所以，則，又，故實數(shù)的取值范圍為.高頻考點十四：利用導數(shù)研究不等式能成立（有解）1．（2022·河南省駐馬店高級中學模擬預測（理））已知e是自然對數(shù)的底數(shù)．若，使，則實數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當時，，顯然成立，符合題意；當時，由，，可得，即，，令，，在上單增，又，故，即，即，，即使成立，令，則，當時，單增，當時，單減，故，故；綜上：.故選：A.2．（2022·河南·洛陽市第一高級中學高三階段練習（理））已知函數(shù).若存在實數(shù)，使得成立，則正實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令，則，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，若存在實數(shù)，使得不等式成立，等價于成立，又，，，所以.當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，為正實數(shù)，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，，解得正實數(shù)的取值范圍為.故選：A.3．（2022·福建·廈門外國語學校高三階段練習）已知函數(shù)，其中，若不等式有解，則______【答案】2【詳解】不等式有解，即.表示動點到動點間距離的平方，其最小值即函數(shù)上的動點到直線距離的最小值的平方.令，解得，即函數(shù)上的動點為時，其到直線距離最小，最小值為，即，又，此時直線只有唯一點滿足題意，即，，即.故答案為：24．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習（理））已知函數(shù)(1)若函數(shù)f（x）在處取得極值，求m；(2)在（1）的條件下，，使得不等式成立，求a的取值范圍.【答案】(1)1(2)【詳解】（1），在處取得極值，則.，當，所以f（x）的減區(qū)間為，增區(qū)間為符合題意.（2）由（1）知，函數(shù)，使得不等式成立等價于不等式在時有解即不等式在時有解...設時，而所以恒成立即F（x）在[0，]上是增函數(shù)，則因此a的取值范圍是5．（2022·全國·高二期末）已知函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若在上有解，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值(2)(1)當時，，所以當時；當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時函數(shù)有極小值，無極大值.(2)因為在上有解，所以在上有解，當時，不等式成立，此時，當時在上有解，令，則由（1）知時，即，當時；當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.高頻考點十五：利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題1．（2022·江蘇南京·模擬預測）已知函數(shù)（），且在有兩個零點，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，，由得，，則，令，依題意，函數(shù)在有兩個零點