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問題:你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m,你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎?趙州橋主橋拱的半徑是多少?問題情境13.3垂徑定理第三章圓2·OABCDE活動一沿著圓的任意一條直徑對折,重復做幾次,你有發(fā)現(xiàn)了什么?由此你能得到什么結(jié)論?結(jié)論:圓是一個特殊的圖形,既是一個軸對稱圖形,又是一個中心對稱圖形,其對稱軸是任意一條過圓心的直徑.實驗發(fā)現(xiàn)3如圖,AB是⊙O的一條弦,做直徑CD,使CD⊥AB,垂足為E.(1)這個圖形是軸對稱圖形嗎?如果是,它的對稱軸是什么?(2)將圓O沿CD所在直線折疊,你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?說一說你理由.
·OABCDE活動二探索發(fā)現(xiàn)(1)是軸對稱圖形.直徑CD所在的直線是它的對稱軸請同學按下面要求完成下題(2)線段:
AE=BE?。和ㄟ^上面的問題我們就能得到下面的定理:
垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條?。?已知:直徑CD,弦AB且CD⊥AB垂足為M,.,求證:AM=BM,活動三驗證·CDABMO分析:要證AM=BM,只要證AM、BM組成的兩個三角形全等.因此,只要連結(jié)OA、OB。證明:如圖,連結(jié)OA、OB,則OA=OB。在Rt△OAM和Rt△OBM中
∴Rt△OAM≌Rt△OBM∴AM=BM∠AOD=∠BOD.∵∠AOD=180°-∠AOC,∠BOD=180°-∠BOC∴AOD=∠BOD°.5垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧。題設(shè)結(jié)論(1)過圓心(2)垂直于弦}{(3)平分弦(4)平分弦所對的優(yōu)?。?)平分弦所對的劣弧6③AM=BM,由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,DCABEO幾何語言表達垂徑定理:7
練習在下列圖形中,你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的圓弧8③CD⊥AB,活動四驗證垂徑定理的逆定理●OCD
由①CD是直徑②AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.如圖,AB是⊙O的弦(不是直徑),作一條平分AB的直徑CD,交AB于點M.(1)下圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?
(2)圖中有哪些等量關(guān)系?說一說你的理由.9平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.如果該定理少了“不是直徑”,是否也能成立?想一想OCDBA10EODCF例
如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。磮D中CD,點0是CD所在圓的圓心),其中CD=600m,E為CD上的一點,且OE⊥CD,垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑。⌒⌒⌒知識應(yīng)用11解這個方程,得R=545.EODCF解:連接OC,設(shè)彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m?!逴E⊥CD根據(jù)勾股定理,得
OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2.所以,這段彎路的半徑為545m.12解得:R≈27.9(m)BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題在Rt△OAD中,由勾股定理,得即R2=18.72+(R-7.2)2∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2OD=OC-CD=R-7.2AB=37.4,CD=7.2,解:在圖中1、如圖,用表示主橋拱,設(shè)所在圓的圓心為O,半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC,D為垂足,OC與AB相交于點D,根據(jù)前面的結(jié)論,D是AB的中點,C是的中點,CD就是拱高.AB︵AB︵AB︵活動五應(yīng)用練習131.如圖,DC是⊙O的直徑,弦AB⊥CD于F,連接BCDB.則下列結(jié)論錯誤的是()A、B、AF=BFC、OF=CFD、∠DBC=90°2.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為P.若CD=8,OP=3,則⊙O的半徑為
.3.一條排水管的截面如圖所示,已知排水管的半徑OB=10,水面寬AB=16,則截面圓心O到水面的距離OC是
.第1題第2題第3題活動六達標測試
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