數(shù)列經典例題裂項相消法

**數(shù)裂相求的型型．已知等差數(shù)列

{

n

}

的前n項為

,a5,則列{n5

1aan

n

}

的前項和為()9999A．．．．100100．數(shù)列

a

1n(

其前

n

項之和為

910

,

則在平面直角坐標系中，直線

(ny

在軸的截距為()A．－10

．．10．9．等比數(shù)列

{}各項均為正數(shù)，且n

2a12

23

9a26

．(Ⅰ)列

{

n

}

的通項公式；(Ⅱ)

bn

log

3

a1

log

3

a2

log

3

a

n

,

求數(shù)列

{

1b

}

的前n和．．正項數(shù)列

{

n

}足

a

2n

(2an

．(Ⅰ)列

{

n

}

的通項公式

a

n

；(Ⅱ)

bn

1(

n

,

求數(shù)列

{}

的前

n

項和

T

．．設等差數(shù)列

{

n

}

的前

n

項和為

n

，且

4S,a4

2

2n

．(Ⅰ)列

{}n

的通項公式；(Ⅱ)數(shù)列

{

}

滿足

bbb1,nN*,aaa1

求

{}

的前

項和

T

．．已知等差數(shù)列

{

n

}

滿足：

a7,3

．

{}n

的前

n

項和為

n

．(Ⅰ)a及；n(Ⅱ)

bn

a

12n

(N

求數(shù)列

{}

的前

n

項和

T

．．在數(shù)列

{

n

}

中

,aa

1n

)2a

．(Ⅰ)

{}n

的通項公式；(Ⅱ)

b

12

a

,

求數(shù)列

{

}

的前項和S；n

******（Ⅲ求數(shù)列

{}的前n項T．nn．已知等差數(shù)列

{

n

}前3和為，前8項為4(Ⅰ)列

{

n

}通項公式；(Ⅱ)

(4

)q(

0,N),

求數(shù)列

{

}前

n

項和

n

．．已知數(shù)列

{}足a0,且對,nNn2

*

都有

m

n

2

m

)

．(Ⅰ)

a,a3

5

；(Ⅱ)

nn

(),

證明：

{

}等差數(shù)列；（Ⅲ設

c(a)q(q0,n),n

求數(shù)列

{}的前n項．n．已知數(shù)列

{

n

}

是一個公差大于的差數(shù)列，且滿足

aa55,327

．(Ⅰ)列

{

n

}

的通項公式；(Ⅱ)列

{

n

}

和數(shù)列

{}

滿足等式

an

bbb12323

nn

(nN*),

求數(shù)列

{}

的前

項和

n

．．已知等差數(shù)列

{}n

的公差為，前項和S，且,S,Sn

4

成等比數(shù)列．(1)數(shù)列

{

n

}

的通項公式；(2)

b2

n

4ann

,

求數(shù)列

{}

的前

n

項和

T

.．正項數(shù)列

{

n

}

的前n項

n

滿足：

n2Snn

.(1)數(shù)列

{

n

}

的通項公式a；n(2)

bn

n(

2n

,

數(shù)列

{}前項為n

，證明：對于

*

都有

564

.答案：．A；2．解：(Ⅰ)列{}公為，由=9aa有a，∴q=．由條件可知各項均為正數(shù)，故．由2a=1有2a+3a，∴a=．故數(shù)列{}通式為

．

***（Ⅱ故=﹣則+…+

+…+=﹣（1+2+…+n﹣=﹣2（﹣）=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣

）]=﹣

，

，∴{}前項和為﹣．．解：(Ⅰ)項列{}足可有（﹣2n）=0∴a．(Ⅱ)∵a=2n，b=，∴b=T數(shù)列{}前項和為．

﹣（2n﹣1）a﹣2n=0，，==

．．解：(Ⅰ)差列{}首為a，公差為d，S=4S，a=2a有：，解有a，d=2∴a﹣1∈．(Ⅱ)已知當n=1時

+…+﹣=，

，n∈，：當≥2時，

=﹣

）﹣（1﹣

）=，∴時合．∴

=

，n∈

*由（Ⅰ=2n﹣1，n∈．

**∴b

，n

．又T+++

，∴=+…++

，兩式相減有：+∴T=3﹣．

++…+

）﹣

=﹣﹣．解：(Ⅰ)差列{}公為d，∵a=7=26∴，解有a，d=2∴a（n﹣1）=2n+1S；(Ⅱ)(Ⅰ)a，∴b=∴T==即數(shù)列{}前和．．解：(Ⅰ)件，又時，故數(shù)列構成首項為，公式為的比數(shù)列．∴

，，即

，

．(Ⅱ)

有

，，

﹣1﹣1﹣1﹣1﹣1*﹣1﹣a﹣1兩式相減，有：

，∴

．（Ⅲ由

有

．∴T﹣2a=．解：(Ⅰ){}公差為d由已知有解有a，d=﹣1故（n﹣1）=4；(Ⅱ)(Ⅰ)答，b=n?q

．，于是S=1?q+2?q?q+?q．若≠1將上式兩邊同乘以q，有=1?q+2?q?q…+n?q．上面兩式相減，有（q﹣1﹣（1+q+q+）=nq﹣于是S若，則∴

．．解：(Ⅰ)意令，n=1可有﹣a再令，n=1可有a=2a﹣a(Ⅱ)∈時由已知（以代）有a=2a于是[

（n+1）+1（n+1）﹣1

]（a﹣a

）=8即﹣b=8

．﹣1．﹣1﹣1∴公為8的差數(shù)列（Ⅲ由(Ⅰ)(Ⅱ)答知{}首為b﹣a，公差為等差數(shù)列則=8n﹣2，a﹣a另由已知（令m=1）可有

=8n﹣2=∴a﹣a=

﹣（n﹣1）．﹣2n+1=﹣2n+1=2n于是c

﹣1當q=1時（n+1當q≠1時=2?q?q?q…+2n?q．兩邊同乘以，可有=2?q?q?q…+2n?q．上述兩式相減，有（1﹣q=2…+q∴S?

）﹣2nq?

﹣2nq?綜上所述，=．解：(Ⅰ)數(shù){}公為，則依題意可知d＞0由，有，①由，a+5d）=55②

．由①②立方程求，有d=2，a=1/d=﹣2，a=∴a=1+（n﹣1?2=2n﹣1

（排除）(Ⅱ)c

，則有=c…+c

＝((＋)＝((＋)*+c+兩式相減，有﹣a，（1）有，a﹣a=2∴c=2，即c（n≥2即當≥2時，當n=1，b=2a=2∴b于是S+b…+b=2+2+2+…2﹣6，n≥2．2×1．解(1)為＝a，＝2a＝2a＋2S＝4a＋＝4＋12，由題意得(a＋2)＝a(4＋12)，得a＝1所以＝2n－1.(2)＝(

＝(－1)

n1(2－1)(2＋1)2n－12＋1當為偶時，11111T＝(1)＋)…＋)＋)－＝.352nn2n－1n＋1＋12n＋1當為奇時，11111n＋2T＝(1)＋)…＋)＋)＋＝.352nn2n－1n＋1＋12n＋1所以T＝

2n＋2，n奇數(shù)，2n＋1，n偶數(shù).2n＋1

＋1＋(－1)(＝)＋1．(1)由－(

＋－1)Sn＋)，得[－(n＋)](＋1)＝0由于{}正數(shù)列，所以＋1>0.所以S＝n＋(∈

)n≥時＝－＝2n，n＝1時，＝＝2適合上式．

**－－1)(＋1)－*162((＋2)***－－1)(＋1)－*162((＋2)*n1nn1345128184518451845845n25nn12003200420032nn1342∴＝2(∈)n＋1n＋11(2)明由＝2n(n∈)＝＝＝(＋2)(＋2)

(＋2)1T＝34

＋－

(＋2)＝

115－－(∈)即對于任意的n∈

，都有.強推人版學中修5習第章數(shù)1．{}首項a＝，差＝的差數(shù)列，如果＝005，序號n等(．A．667B668C．．6702．在各項都為正數(shù)的等比數(shù){}中，首項＝，三項和為21則a＋＋＝()．A．33B．C．．1893．如果a，，，為項都大于零的等差數(shù)列，公差d≠則)．A．a＞aa

B．a＜a

C．＋＜＋．aa＝a4．已知方程(－x＋)(－x＋)＝的四個根組成一個首項為的差數(shù)列，則｜－｜等于)．A．B．

C．

．

385．等比數(shù)列{a}中，＝，＝，{}前4項為).A．81B．．168．6．若數(shù)列{a}等差數(shù)列，首項＞，＋＞，·a＜，使項和S＞成的最大自然數(shù)n是)．A．005B4006C．007D．0087．已知等差數(shù)列{a}公差為，，，成比數(shù),則a＝()A．4B．－C．－D．－

nn12123nnn1n11n345234561234564820n3571013nn12123nnn1n11n345234561234564820n3571013n5645nnn5S8．設S是差數(shù){a}的前項和，若＝，則＝()．SA．B．1

C．D．

9．已知數(shù)列1，，，4成差數(shù)列，－，b，b，，－4成比數(shù)列則的是

)．A．

B．

C．

或

．

．在等差數(shù){a}中，≠，－

＋＝0(≥)，若

n

＝，則n＝()A．38B．C．．二填題fx)＝

2

用課本中推導等差數(shù)列前項和公式的方法得f(－)f(－)＋…f(0)＋＋()＋(6)的值為

.．已知等比數(shù){a}中，()若a··＝，則a·a···＝．()若a＋＝，＋＝，a＋＝．()若2，S＝6則a＋＋a＋＝

.827．在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，插入的三個數(shù)的乘積為．32．在等差數(shù){a}中，(＋)2(a＋＋a)＝，此數(shù)列前項和

.．在等差數(shù){a}中，＝，＝2則a＋＋…＋a＝

.．設平面內有n條線n≥)，其中有僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f()表示這n條直線交點的個數(shù)，則f()＝；n＞時，f(n)．三解題17．()已知{a}的前n項和S＝3－n求證數(shù){a}成等差數(shù)列.()已知

11b，，成差數(shù)列，求證，，也成等差數(shù).bcc

n132nnnnn132nnnnnn1nn．{a}是公比為q的比數(shù)列，且a，，成等差數(shù)列．()求q的值；()設{}是以為首項q為公差的等差數(shù)列，其前n項和為S，≥時比較S與b的小，并說明理由．．數(shù){a}的前n項和記為S，知a＝，＝S求證：數(shù)列}是等比數(shù)．

nn

S(＝，，…)．

nn17436126n1n12311345118451nn17436126n1n123113451184518111145111118123412341413已數(shù)列a}是首項為a且公比不等于1的比數(shù)列為其前n項和a2a3a成差數(shù)列求12S，S，－成比數(shù).第章參考答

數(shù)一選題1．解析：由題設，代入通項公式a＝＋(－)，即2＝＋(n1)∴＝．2．解析：本題考查等比數(shù)列的相關概念，及其有關計算能力．設等比數(shù)列a}的比為qq＞)，題意得a＋＋a＝，即a(qq2)＝，a＝，＋＋＝．解得q＝或q＝－(不題意，舍去，∴＋＋＝q(＋＋)＝×2×＝．3．．解析：由＋＝＋，排除C．又a·＝(a＋)＝＋d，∴·＝(＋d)(＋d)＝a2＋d＋12d＞·．4．解析：解法1：設a＝中兩根之和也為，

111，＝＋，＝＋，＝＋d而方程－x＋0中根之和為2，2－＋＝444∴＋＋＋＝＋d4∴＝

5，＝，a＝是個方程的兩個根a＝，a＝是另一個方程的兩個根．444∴

，分為或，

123412341234sp1222511420032004200320042123412341234sp12225114200320042003200420032004120032004200320044006142004n12003220032200320042003nnn∴｜mn｜＝

，故選C．解法2：設方程的四個根為，，，，x＋＝＋＝，·＝，·x＝．由等差數(shù)列的性質：p＋q，a＋＝＋，若設x為一項，x必為第四項，則＝，是可得等5差數(shù)列為，，，，44∴＝

15，＝，∴｜mn｜＝5．

．解析：∵＝9a＝，

243＝＝＝，9∴＝，aq＝，＝，－35∴＝＝＝．6．解析：解法1：由＋＞，·＜，a和兩項中有一正數(shù)一負數(shù)，又a＞，則公差為負數(shù)，否則各項總為正數(shù)，故＞，a＞，＜∴＝

0061

4

)

＝

006(a

＋a2

2004

)

＞，∴

＝4007

·(＋)·a＜故4006為S＞的大自然.選B．解法2：由＞0a＋＞aa＜0，a＜，∴為S中最大值．∵是關于n的次函數(shù)如草圖所示，∴003到稱軸的距離004到對稱軸的離小，

解法的析得a＞0，∴

在對稱軸的右側．

(6題)根據(jù)已知條件及圖象的對稱性可得4006在象中右側都在其右側，S0的最大自然數(shù)是4006．7．

零點B的側007008

n3141134111122nn11nnnnn222n3141134111122nn11nnnnn222解析：∵{a是等差數(shù)列，∴a＝＋，＝＋，又由a，，成比數(shù)列，∴(＋)＝(a＋)解得＝，∴＝8＋＝68．9(a)S9解析：∵＝＝＝·＝，選A．S)5529．解析：設和q分別為公差和公比，則4＝－＋d且－＝(－)q4，∴＝1q2＝，d∴＝＝．．C解析：∵{a為等差數(shù)列，∴

＝＋a，∴a

＝，又a≠0∴＝，a}為數(shù)數(shù)列，而a＝

，2n－＝＝，2∴＝．二填題．2．1解析：∵(x)＝，2∴(1－＝

2

＝＝，2∴(x)＋(1－)＝

12

111()＋＝＝＝．222設S＝(－)＋(－)＋…f(0)＋()＋6)則S＝()＋()＋…f(0)＋＋(－)＋f(－)∴S＝[()＋(－)]＋[()f(－)]＋＋[(－)＋()]6，∴＝(－＋(－)＋…＋(0)＋…＋5＋(6)3．

3542345656124354234565612420354713410410654554）．解析）由a·＝

，得a＝，∴····＝

＝．（）

(a)36

q

，∴＋＝(＋)q＝．（）

a＋a＝a＋＋8284

4

q2，∴＋a＋＋a＝q

＝．．216．827解析：本題考查等比數(shù)列的性質及計算，由插入三個數(shù)后成等比數(shù)列，因而中間數(shù)必與，同，由等比中項的3中間數(shù)為

27＝，插的三個數(shù)之積為××＝．232．26．解析：∵＋＝，＋＝a，∴(a＋)＝，a＋＝，∴＝

(a＋)(a＋a)13＝＝＝．2．．解析：∵＝－＝5，∴＋＋…＋a＝＝

(＋a)(－d＋a5d)2＝(a＋2)＝－49．．，

(＋)(－2)解析：同一平面內兩條直線若不平行則一定相交，故每增加一條直線一定與前面已有的每條直都相交，f(k)＝f(k－)＋(－1)

11n1n1n1n123121111nn1nnnnn11n1n1n1n123121111nn1nnnnn1+nnnnn由f(＝2f(4)()＋＝＋＝，f(5)()＋＝＋＋＝，……f(n)＝(－1)＋(－)相加得f(n2＋＋＋n－)＝

(＋)