數(shù)學(xué)分析9.2牛頓-萊布尼茨公式_第1頁
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文檔簡介

bnεnεnbibxxbnεnεnbibxxnbbnnxxbxba第章

定分牛—布茨式定f[a,b]數(shù)F，即F(x)=f(x)x則f在a,b]上可

b

f

(x)dx=F(a)-F(b)，為頓萊尼公a

f

ab.a證對a,b]割,x,…=b}01n間x,x]對i-1i在η,x)i=1,2,…，ii-1i

))]=eq\o\ac(△,))=ii-1ii

f(eq\o\ac(△,))i

i

iii∵f[a,b]，的ε>0，存在>0，當(dāng)x,x”∈且|x-x”|<δ時’)-f(x”.bxTδ時取∈(x,x)，||<δ，iii-1iii∴|

f(ξeq\o\ac(△,))i

i

[fξ)(ηeq\o\ac(△,)])x|iii

f(ξ)()△ii

ii

ii<△=ε由定積分bi

f

例(1)

)；aa

dx(3)

a

x2

(0<a<b)；(4)

dx；(5)

x-x

解∫xdx=+C，ndx=nn

ba

=.n(2)∵∫edx=e+C，a

x

a

1=-x4-x-)，8=11i-1iii11211--xx-x1-11=-x4-x-)，8=11i-1iii11211--xx-x1-1(3)∵∫+C，x2xx2x

a

111-.bb(4)∵∫sinxdx=-cosx+C，

a

=-cosπ(5)∵∫

x4-x

1130

-x)3

=3例

∞

11nn2n

解式lim∞i

11

11dxin01xn

注i

11

1in

數(shù)[0,1]這里所1xeq\o\ac(△,，)x=，ξ=nn習(xí)1、

,i=1,2,…,n.(1)

(2x3)

dx；(2)

0

1-x12

dx；(3)

dxxlnx

(4)

0

e-e2

-x

(5)

x

dx；(6)

xx

(7)

401x

(8)

1x

(lnx)

解(1)

(2x3)

(2)

0

1-x12

=2(3)

ee

xlnx

e

(4)

0

e

x

(e)2

=2

=||16444132131=1112i1n=1=||16444132131=1112i1n=1(5)

-3(6)

xx

23

x

x

33(7)令t

x

40

dx1x

=

0

2t1

20

(8)

1x

(ln

3

|

1

=.32、(1)

n∞

1n4

(1

3

)

111lim∞(n22)2

(3)

n∞

n

11222

2

12(nsinsinsinn∞n

解=lim=dx=∞0i

x44

=.4(2)原式

lim∞i

1in

11n0(1x)

11x

=.2(3)原式lim=∞01

=4(4)原式sin∞i

(i-1)1nn

cosx3、若f[a,b]上，[a,b]上F’(x)=f(x)，

b

f

a證y,y,…有’對[a,b]割’，12m

nεnnεnεnbi,x,…,x割’添點(diǎn),y,…,y后割01n12m間x,x]對i-1i在η,x)i=1,2,…，ii-1i

))]=eq\o\ac(△,))=(ηeq\o\ac(△,))xii-1iii

i

∵f在a,b]上可積，iii∴f[a,b]，的ε>0，存在>0，當(dāng)x,x”∈且|x-x”|<δ時’)-f(x”.于bδ取∈,x)，便有|<δ，iii-1iii∴|

f(ξ

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