全國高中數(shù)學觀摩與評比活動一等獎《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》教學設計+教學說明+教學點評

“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)教學設計——人教A版數(shù)學選修2-3第1章第3節(jié)第2課時一、教材背景分析1．教材的地位和作用《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》是全日制普通高級中學教科書人教A版選修2-3第1章第3節(jié)第2課時.教科書將二項式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來，是因為“楊輝三角”蘊含了豐富的內(nèi)容，由它可以直觀看出二項式系數(shù)的性質(zhì)，“楊輝三角”是我國古代數(shù)學重要成就之一，顯示了我國古代人民的卓越智慧和才能，應抓住這一題材，對學生進行愛國主義教育，激勵學生的民族自豪感.本節(jié)內(nèi)容以前面學習的二項式定理為基礎，由于二項式系數(shù)組成的數(shù)列就是一個離散函數(shù)，引導學生從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的性質(zhì)，便于建立知識的前后聯(lián)系，使學生體會用函數(shù)知識研究問題的方法，可以畫出它的圖象，利用幾何直觀、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學思想方法進行思考，這對發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成證明思路等都有好處.這一過程不僅有利于培養(yǎng)學生的思維能力、理性精神和實踐能力，也有利于學生理解本節(jié)課的核心數(shù)學知識，發(fā)展其數(shù)學應用意識.研究二項式系數(shù)這組特定的組合數(shù)的性質(zhì)，對鞏固二項式定理，建立相關(guān)知識之間的聯(lián)系，進一步認識組合數(shù)、進行組合數(shù)的計算和變形都有重要的作用，對后續(xù)學習微分方程等也具有重要地位.2．學情分析知識結(jié)構(gòu)：學生已學習兩個計數(shù)原理和二項式定理，再讓學生課前探究“楊輝三角”包含的規(guī)律，結(jié)合“楊輝三角”，并從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的性質(zhì).心理特征：高二的學生已經(jīng)具備了一定的分析、探究問題的能力，恰時恰點的問題引導就能建立知識之間的相互聯(lián)系，解決相關(guān)問題.3．教學重點與難點重點：體會用函數(shù)知識研究問題的方法，理解二項式系數(shù)的性質(zhì).難點：結(jié)合函數(shù)圖象，理解增減性與最大值時，根據(jù)n的奇偶性確定相應的分界點；利用賦值法證明二項式系數(shù)的性質(zhì).關(guān)鍵：函數(shù)思想的滲透.二、教學目標1．通過課前組織學生開展“了解楊輝三角、探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角包含的規(guī)律”的學習活動，讓學生感受我國古代數(shù)學成就及其數(shù)學美，激發(fā)學生的民族自豪感.2．通過學生從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的性質(zhì)，建立知識的前后聯(lián)系，體會用函數(shù)知識研究問題的方法，培養(yǎng)學生的觀察能力和歸納推理能力.3．通過體驗“發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋找聯(lián)系、探究證明、性質(zhì)運用”的學習過程，使學生掌握二項式系數(shù)的一些性質(zhì)，體會應用數(shù)形結(jié)合、特殊到一般進行歸納、賦值法等重要數(shù)學思想方法解決問題的“再創(chuàng)造”過程.4．通過恰時恰點的問題引入、引申，采用學生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究的學習方式，培養(yǎng)學生問題意識，提高學生思維能力，孕育學生創(chuàng)新精神，激發(fā)學生探索、研究我國古代數(shù)學的熱情.三、教法選擇和學法指導教法：問題引導、合作探究．學法：從課前探究和課上展示中感知規(guī)律，結(jié)合“楊輝三角”和函數(shù)圖象性質(zhì)領悟性質(zhì)，在探究證明性質(zhì)中理解知識，螺旋上升地學習核心數(shù)學知識和滲透重要數(shù)學思想.四、教學基本流程設計展示成果話楊輝展示成果話楊輝感知規(guī)律悟性質(zhì)聯(lián)系舊知探新知合作交流議方法反饋升華撥思路懸念小結(jié)再求索五、教學過程1.展示成果話楊輝課前開展學習活動：了解“楊輝三角”的歷史背景、地位和作用，探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”包含的規(guī)律.（1）學生從不同的角度暢談“楊輝三角”，對它有何了解及認識.（2）各小組展示探究與發(fā)現(xiàn)的成果——“楊輝三角”包含的一些規(guī)律.【設計意圖】引導學生開展課外學習，了解“楊輝三角”，探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”包含的規(guī)律，弘揚我國古代數(shù)學文化；展示探究與發(fā)現(xiàn)的楊輝三角的規(guī)律，為學習二項式系數(shù)的性質(zhì)埋下伏筆.2.感知規(guī)律悟性質(zhì)通過課外學習，同學們觀察發(fā)現(xiàn)了楊輝三角的一些規(guī)律，并且知道楊輝三角的第行就是展開式的二項式系數(shù)，展開式的二項式系數(shù)具有楊輝三角同行中的規(guī)律——對稱性和增減性與最大值.【設計意圖】尋找二項式系數(shù)與楊輝三角的關(guān)系，從而讓學生理解二項式系數(shù)具有楊輝三角同行中的規(guī)律.3.聯(lián)系舊知探新知【問題提出】怎樣證明展開式的二項式系數(shù)具有對稱性和增減性與最大值呢？【問題探究】探究：（1）展開式的二項式系數(shù)，可以看成是以為自變量的函數(shù)嗎？它的定義域是什么？（2）畫出和7時函數(shù)的圖象，并觀察分析他們是否具有對稱性和增減性與最大值.（3）結(jié)合楊輝三角和所畫函數(shù)圖象說明或證明二項式系數(shù)的性質(zhì).對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．．增減性與最大值：，所以相對于的增減情況由決定．由可知，當時，二項式系數(shù)是逐漸增大的．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值．當?shù)呐紨?shù)時，中間的一項取得最大值；當是奇數(shù)時，中間的兩項，相等，且同時取得最大值．【設計意圖】教師引導學生用函數(shù)思想探究二項式系數(shù)的性質(zhì)，學生畫圖并觀察分析圖象性質(zhì)；運用特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想歸納二項式系數(shù)的性質(zhì)，升華認識；通過分組討論、自主探究、合作交流，說明或證明二項式系數(shù)的對稱性和增減性與最大值，提高學生合作意識.4.合作交流議方法【繼續(xù)探究】問題：展開式的各二項式系數(shù)的和是多少？探究：（1）計算展開式的二項式系數(shù)的和（=1，2，3，4，5，6）.（2）猜想展開式的二項式系數(shù)的和.（3）怎樣證明你猜想的結(jié)論成立？賦值法：已知，令，則．這就是說，的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于．元集合子集的個數(shù)（兩個計數(shù)原理）.分類計數(shù)原理：分步計數(shù)原理：個2相乘，即．所以．【問題拓展】你能求嗎？在展開式中，令，則得，即，所以，在的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.【設計意圖】通過學生歸納猜想各二項式系數(shù)的和，引導學生驗證猜想結(jié)論是否正確；同時為了突破利用賦值法證明二項式系數(shù)性質(zhì)的難點，引導學生從模型化的角度出發(fā)，多角度的分析問題、探究問題、解決問題，將學生思維推向高潮，既加深學生對前后知識的內(nèi)在聯(lián)系的理解，又從深度和廣度上讓學生感受數(shù)學知識的串聯(lián)和呼應.5.反饋升華撥思路練1．的展開式中的第四項和第八項的二項式系數(shù)相等，則等于.練2．的展開式中前項的二項式系數(shù)逐漸增大，后半部分逐漸減小，二項式系數(shù)取得最大值的是第項.練3．已知，求：（1）；（2）.【設計意圖】促進學生進一步掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)，學會用賦值法解決問題，促進其有意識的運用．6.懸念小結(jié)再求索【課堂小結(jié)】通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲和體會（從數(shù)學和生活的角度）？還有什么疑問嗎？【課堂延伸】今天同學們展示了一些楊輝三角的規(guī)律，但是作為我國古代數(shù)學重要成就之一的楊輝三角還有更多有趣的規(guī)律，相信大家一定有極高的熱情和嚴謹?shù)膽B(tài)度去探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角的奧妙之處.【課外活動】（研究性學習）活動主題：楊輝三角中的奧妙.活動目標：探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角中的更多奧妙.活動方案步驟：查閱資料，收集信息；獨立思考，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想證明；合作探究，小組討論，形成初步結(jié)論；與指導老師及其他小組成員交流展示；撰寫研究性學習報告.【設計意圖】通過課堂的整理、總結(jié)與反思，使學生更好的掌握主干知識，體會探究過程中滲透的數(shù)學思想方法，再次感受我國古代數(shù)學成就，激勵自己努力學習.“楊輝三角”還有很多有趣的規(guī)律，讓學生帶著問題走進課堂，帶著疑問離開教室，培養(yǎng)學生自主研修的習慣，提高學生探究問題、解決問題的能力.設計研究性學習活動，誘發(fā)學生創(chuàng)造性的想象和推理.同時教會學生如何開展研究性學習.“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)教學說明1．內(nèi)容和內(nèi)容解析《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》是全日制普通高級中學教科書人教A版選修2-3第1章第3節(jié)第2課時.教科書將二項式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來，是因為“楊輝三角”蘊含了豐富的內(nèi)容，由它可以直觀看出二項式系數(shù)的性質(zhì)，“楊輝三角”是我國古代數(shù)學重要成就之一，顯示了我國古代人民的卓越智慧和才能，應抓住這一題材，對學生進行愛國主義教育，激勵學生的民族自豪感.本節(jié)內(nèi)容以前面學習的二項式定理為基礎，由于二項式系數(shù)組成的數(shù)列就是一個離散函數(shù)，引導學生從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的性質(zhì)，便于建立知識的前后聯(lián)系，使學生體會用函數(shù)知識研究問題的方法，可以畫出它的圖象，利用幾何直觀、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學思想方法進行思考，這對發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成證明思路等都有好處.這一過程不僅有利于培養(yǎng)學生的思維能力、理性精神和實踐能力；也有利于學生理解數(shù)學知識，培養(yǎng)其數(shù)學應用意識.研究二項式系數(shù)這組特定的組合數(shù)的性質(zhì)，對鞏固二項式定理，建立相關(guān)知識之間的聯(lián)系，進一步認識組合數(shù)、進行組合數(shù)的計算和變形都有重要的作用，對后續(xù)學習微分方程等也具有重要地位.根據(jù)以上對教材及學情的分析，特制定教學重點如下：體會用函數(shù)知識研究問題的方法，理解二項式系數(shù)的性質(zhì).2．教學目標分析“楊輝三角”是我國古代數(shù)學重要成就之一，蘊含了豐富的內(nèi)容，顯示了我國古代人民的卓越智慧和才能，了解我國古代數(shù)學成就之一的“楊輝三角”包含的規(guī)律，結(jié)合“楊輝三角”，運用函數(shù)的知識深化對二項式系數(shù)性質(zhì)的理解，聯(lián)系函數(shù)圖象和性質(zhì)、賦值法、兩個計數(shù)原理等知識探究證明二項式系數(shù)的性質(zhì)，體會用函數(shù)知識研究問題的方法，體驗數(shù)形結(jié)合、特殊到一般進行歸納等數(shù)學思想的滲透和運用，體現(xiàn)教師引導、學生探究的教學方式，培養(yǎng)學生問題意識，提高數(shù)學思維能力，培育學生理性精神.根據(jù)以上分析特制定教學目標如下：1．通過課前組織學生開展“了解楊輝三角、探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角包含的規(guī)律”的學習活動，讓學生感受我國古代數(shù)學成就及其數(shù)學美，激發(fā)學生的民族自豪感.2．通過學生從函數(shù)的角度研究二項式系數(shù)的性質(zhì)，建立知識的前后聯(lián)系，體會用函數(shù)知識研究問題的方法，培養(yǎng)學生的觀察能力和歸納推理能力.3．通過體驗“發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋找聯(lián)系、探究證明、性質(zhì)運用”的學習過程，使學生掌握二項式系數(shù)的一些性質(zhì)，體會應用數(shù)形結(jié)合、特殊到一般進行歸納、賦值法等重要數(shù)學思想方法解決問題的“再創(chuàng)造”過程.4．通過恰時恰點的問題引入、引申，采用學生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究的學習方式，培養(yǎng)學生問題意識，提高學生思維能力，孕育學生創(chuàng)新精神，激發(fā)學生探索、研究我國古代數(shù)學的熱情.3．教學問題診斷分析教科書將二項式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來，不僅是因為“楊輝三角”是我國古代數(shù)學重要成就之一，蘊含了豐富的內(nèi)容，顯示了我國古代人民的卓越智慧和才能，對學生進行愛國主義教育，激勵學生的民族自豪感，而且“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)緊密相聯(lián)，由它可以直觀的看出二項式系數(shù)的性質(zhì)，同時課程體系在本節(jié)課后編排了關(guān)于探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”中的奧妙的閱讀材料，為了凸現(xiàn)數(shù)學史教學，更好的掌握本節(jié)知識，促進學生發(fā)展，在高中學生學習的各個領域滲透研究性學習，因此對教材內(nèi)容進行了精心加工，合理調(diào)整，課前開展了探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”的一些規(guī)律的學習活動，課上進行展示.學生不難發(fā)現(xiàn)和概括二項式系數(shù)的對稱性和增減性與最大值，如何證明呢？這就需要適當引導學生聯(lián)系函數(shù)知識，畫出和7的函數(shù)圖象，討論函數(shù)的性質(zhì)，讓學生經(jīng)歷再發(fā)現(xiàn)、再提煉、深入探究的學習過程，培育理性思維.在證明各二項式系數(shù)的和的過程中，教材中運用賦值法，求證很簡略，但是讓學生記住這個結(jié)論并不難，難的是在這個學習過程中如何遵循學生的認知規(guī)律，提高學生的思維能力？基于此，讓學生自己歸納、猜想各二項式系數(shù)的和，運用多種方法予以求證，如：（1）利用賦值法：在中，令可得；（2）利用模型化思想：引入元集合子集的個數(shù)的問題，利用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理進行說明，很好的解決了上面的問題.根據(jù)以上分析，制定教學難點如下：（1）結(jié)合函數(shù)圖象，理解二項式系數(shù)的增減性與最大值時，根據(jù)n的奇偶性確定相應的分界點；（2）利用賦值法證明二項式系數(shù)的性質(zhì).4、教法特點及預期效果分析數(shù)學是思維的科學，數(shù)學學習不是簡單的“告訴”，而應是學生個性化的“體驗”.在本節(jié)課的學習中，采用問題引導、合作探究的教學方法，設計六大教學環(huán)節(jié)：展示成果話楊輝、感知規(guī)律悟性質(zhì)、聯(lián)系舊知探新知、合作交流議方法、反饋升華撥思路、懸念小結(jié)再求索.倡導自主探索、獨立思考、動手實踐、合作交流，為學生開展數(shù)學體驗，豐富學習方式，形成積極主動的、多樣的學習方式創(chuàng)造了有利的條件和廣闊的空間.在探究二項式系數(shù)的性質(zhì)中，設計為探究“三部曲”：第一步是數(shù)形結(jié)合、概括性質(zhì).通過學生畫出=6和=7時函數(shù)圖象，并觀察分析其對稱性和增減性與最大值，引導學生概括性質(zhì)，學生有目的地動手實踐，親身參與探究活動遠比目睹幻燈播放更能體驗數(shù)學蘊含的規(guī)律，使抽象的數(shù)學知識直觀生成.第二步是分組討論、證明性質(zhì).在學生初步認識“楊輝三角”包含的規(guī)律及“楊輝三角”與二項式系數(shù)的關(guān)系的基礎上，在畫出=6和=7時函數(shù)圖象并觀察分析其對稱性和增減性與最大值的情境下，采取分組討論、交流展示的學習方式，誘發(fā)學生內(nèi)在的認知沖突，激發(fā)學生沉淀的知識，培養(yǎng)學生解決問題的能力，讓知識經(jīng)歷一個再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程，體驗到探究過程中涉及的思維策略，促進學生對內(nèi)容的深刻理解，把課堂教學的“話語權(quán)”、“生成權(quán)”、“展示權(quán)”、“交流權(quán)”交給學生，用學生的“亮點”，點亮學生的智慧.第三步是師生合作、再探性質(zhì).在探究各二項式系數(shù)的和的教學中，設計探究性的問題串，運用特殊到一般的歸納思想，猜想結(jié)論，再運用賦值法證明這一性質(zhì)，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和深刻性，引導學生挖掘問題的本質(zhì)特征，同時呈現(xiàn)用分類和分步計數(shù)原理說明的展開式的各二項式系數(shù)的和，引發(fā)學生的認知沖突，培養(yǎng)學生思維的靈活性和獨創(chuàng)性，激發(fā)學生的探索興趣.學生經(jīng)歷課前初探、課中深探、變式細探的探究過程，對“楊輝三角”及二項式系數(shù)的性質(zhì)有比較深刻的認識，不斷提高學生探究和解決問題的能力，促進學生數(shù)學思維發(fā)展.5．教后反思通過本節(jié)課的教學實踐，認識到多一點精心設計，就能融一份直觀生成，體會到什么是由“關(guān)注知識”轉(zhuǎn)向“關(guān)注學生”.在教學過程中，注意到了由“給出知識”轉(zhuǎn)向“引起活動”，由“完成教學任務”轉(zhuǎn)向“促進學生發(fā)展”，學生成為課堂上的真正主人.開展數(shù)學體驗，豐富學習方式，師生會有共同的、積極的情感體驗.成功之處：一是教學設計獨到而又新穎，打破常規(guī)，不走尋常路，通過三步探究實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，突出以學生為主體，教師以引導者的身份參與其中；二是教態(tài)自然得體，親和力強，能很好的駕馭課堂，積極調(diào)動學生思考問題，課堂氣氛活躍.改進之處：一是可考慮通過網(wǎng)上鏈接搜集一些楊輝三角包含的規(guī)律，比較學生展示的結(jié)論，讓學生享受成功的喜悅，同時激發(fā)學生“再求索”的熱情；二是學生展示小組討論增減性與最大值時出現(xiàn)口誤，以及教師板書將“各二項式系數(shù)的和”寫成“各二項式的系數(shù)和”，雖然課后通過師生溝通，學生說不影響掌握本節(jié)知識，但是在以后的教學中一定要做得更好.楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)教學點評本節(jié)課有以下幾點值得一提：一、目標定位準確本節(jié)課，教師在充分挖掘教學內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，了解學生已有知識基礎，充分分析學情后，確定的教學目標：理解、領悟二項式系數(shù)性質(zhì)；滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論思想；靈活有效地運用賦值法.應該說具有具體而又準確，科學而有效的特點.隨著課堂的實踐得到了落實，并且將“知識目標”、“能力目標”、“情感目標”融為一體.教學目標完全符合學生“認識規(guī)律”，以遞進的形式呈現(xiàn)：觀察分析、歸納猜想、抽象概括，提煉上升；特殊——一般——特殊到一般…，課堂實踐表明，這些目標，在師生共同努力及合作下是完全可以達到的.二、突出主體地位1．放手發(fā)動學生把課堂還給學生，一直是課改的大方向，也是新課標的原動力之一.還給學生什么呢？教師作了很好的詮釋：一是給“問題”，當然問題有預設的，也有生成的，符合從學生“思維最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)這一根本教學原則.二是給“時間”，這體現(xiàn)了教師的先進教學理念，即便是教學難點“中間項系數(shù)最大”這一組合數(shù)計算討論過程仍由學生嘗試.當然，n=6，7時，離散型函數(shù)的圖象起了直觀引領，奠基的重要作用.不為完成任務所累，不為主宰課堂所困.三是給“機會”，讓學生展示自主探索，合作交流的成果，極大地保護和激發(fā)了學生學習的熱情和積極性，參與程度和激情得到了空前的提高.2．彰顯理性數(shù)學本節(jié)課，無論是對稱性，增減性（最大值），及二項式系數(shù)和的逐步生成，學生都能從“特殊到一般”的認識規(guī)律，歸納猜想到結(jié)論.但數(shù)形結(jié)合的函數(shù)思想，組合數(shù)兩個性質(zhì)的運用，兩個計數(shù)原理的巧妙“會師”，奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和，反饋升華例示中賦值法再現(xiàn).這正是“數(shù)學演繹”、“理性數(shù)學”的精華，讓學生找到內(nèi)化和建構(gòu)的多種途徑.這不僅會自然增強或輻射到學生的解題能力和理性思維，更能影響和滲透到他們的終身學習和今后從事的工作中去.3．呈現(xiàn)合作交流本節(jié)課每個問題的波浪式出現(xiàn)，我們不僅發(fā)現(xiàn)每個學生動手做、動眼看、動口說、動筆寫、動腦想，全身心投入到學習過程中去，真正地讓學生動起來，讓