2007年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編立體幾何

2007年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編立體幾何一．選擇題1．(2007安徽·文)設(shè)l,m,n均為直線,其中m,n在平面a內(nèi),則“l(fā)”是“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的（）(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件2．(2007安徽·文)把邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四點(diǎn)所在的球面上,B與D兩點(diǎn)之間的球面距離為（）22(B)(A)(C)(D)233．(2007北京·文)平面∥平面的一個(gè)充分條件是（），a∥，a∥Ａ．存在一條直線，，a∥存在一條直線aaＢ．Ｃ．存在兩條平行直線a，b，a，b，a∥，b∥Ｄ．存在兩條異面直線a，b，a，a∥，b∥4．(2007福建·文)如圖，在正方體ABCDABCD中，E，F(xiàn)，G，H1111分別為AA，AB，BB，BC的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角1111等于（）456090120Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．(2007廣東·文)若l、m、n是互不相同的空間直線，α、β是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是（）l，則//,l,nl//n，則B．若,lA．若C.若ln,mn，則l//mD．若l,l//，則//6．(2007湖北·文)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDABCD中，E，F(xiàn)分別為棱AA，BB的中111111點(diǎn)，G為棱AB上的一點(diǎn)，且AG(0≤≤1)．則點(diǎn)G到平面DEF的距離為（）11113Ｂ．2Ｃ．2Ｄ．55Ａ．237．(2007天津·文)設(shè)a，b為兩條直線，，為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）a，ba∥bA．若與所成的角相等，則a∥b∥∥a∥bB．若，，，則aba∥b∥C．若，，，則ababD．若，，，則8．(2007湖南·文)如圖1，在正四棱柱ABCDABCDE，F(xiàn)ABBC中，分別是，的中111111點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是（）．．．EFBBA．與垂直1EFBDB．與垂直FEFCDC．與異面EFACD．與異面11C9．(2007江西·文)四面體ABCD的外接球球心在CDAB上，且CD2AD3A，B間，，在外接球面上兩點(diǎn)的球面距離是（）πＡ．6πＢ．32π5πＤ．6Ｃ．310．(2007全國(guó)Ⅰ·文)如圖，正四棱柱ABCDABCDAA2ABAB1中，，則異面直線11111AD1與所成角的余弦值為（）123Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4555511．(2007全國(guó)Ⅱ·文)已知三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)的底面邊長(zhǎng)的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于（）33B．42C．23D．2A．612．(2007陜西·文)Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在半徑為13的球面上，8，則球心到平面ABC的距離是（A）5（B）6兩直角邊的長(zhǎng)分別為6和（C）10（D）12(2007四川·文)如圖，ABCD-ABCD為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是1111．．(A）BD∥平面CBD(B)AC1⊥BD11(C)AC1⊥平面CBD1(D)異面直線AD與CB所成的角為60°1二．填空題13．(2007天津·文)一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)123分別為，，，則此球的表面積為．14．(2007全國(guó)Ⅰ·文)正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)S，A，B，2C，D都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為底面邊長(zhǎng)為1cm，那么該cm．216．(2007江西·文)如圖，正方體AC的棱長(zhǎng)為1，過點(diǎn)作平面ABD的垂線，垂足為點(diǎn)H．有11下列四個(gè)命題Ａ．點(diǎn)H是△ABD的垂心1Ｂ．AH垂直平面CBD11Ｃ．二面角CBDC的正切值為21113ABCD的距離為41111Ｄ．點(diǎn)H到平面其中真命題的代號(hào)是三．解答題．（寫出所有真命題的代號(hào)）17．(2007廣東·文)已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．幾何體的體積V；側(cè)面積S(1)求該(2)求該幾何體的解:由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形,高為4,頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD;1V86464(1)3(2)該四棱錐有兩個(gè)側(cè)面VAD.VBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為822h4242,另兩個(gè)側(cè)面VAB.VCD也是全等的等腰三角形,1622h425AB邊上的高為2S2(1642185)40242因此22πRt△AOBOABAB4．Rt△AOC可18．(2007北京·文)如圖，在中，，斜邊6以通過Rt△AOB以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角AOBAOC的直二面角．D是AB的中點(diǎn)．（I）求證：平面COD平面；AOB（II）求異面直線AO與CD所成角的大?。夥ㄒ唬海↖）由題意，COAO，，BOAOBOC是二面角BAOC是直二面角，COBOAOBOO，，又CO平面，COAOBCOD又平面．CODAOB平面平面．（II）作DEOBCDEEAOCD是異面直線與所成的角．CEDE∥AO，，垂足為，連結(jié)（如圖），則在Rt△COE中，COBO2，OE1BO1，2CECO2OE25．1DEAO3．又2tanCDECE5153在Rt△CDE中，．．DE3153AOCDarctan異面直線與所成角的大小為解法二：（I）同解法一．OxyzO(0，0，0)A(0，0，23)，C(2，0，0)，（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，D(0，1，3)，OA(0，0，23)，CD(2，1，3)，6623224．6arccos異面直線與所成角的大小為4AOCD．19．(2007福建·文)如圖，正三棱柱ABCABC2DCC的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)．1111AB⊥求證：平面；1ABD（Ⅰ）A1AADB的大小．（Ⅱ）求二面角1CDBCAO⊥BC．為正三角形，OAO解法一：（△ABCⅠ）取中點(diǎn)，連結(jié)．B正三棱柱ABCABC1BCCB⊥BCCB11ABC⊥AO中，平面平面，平面．1111BOBBCC中，分別為O，D11連結(jié)，在正方形1AFGCBC，CC的中點(diǎn)，1BO⊥BD，1AB⊥BD．1ABBAAB⊥AB，11在正方形中，11AB⊥ABD平面．11ABABG（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，ABD111作GF⊥ADFAFAB⊥ABD于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．111AF⊥AD，1∠AFGAADB的平面1為二面角角．45AF5，△AAD在中，由等面積法可求得1AG1AB2，又21AG210AF454．sin∠AFG5z10AAADB的大小為arcsin所以二面角．41BCAO⊥BC．為正三角形，OAO解法二：（△ABCⅠ）取中點(diǎn)，連結(jié)．C在正三棱柱ABCABC中，1DO11yBxABC⊥BCCB平面平面，11AO⊥BCCB平面．11取BCOOOBOOOAx，y，z以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S的正方中點(diǎn)，向建立空間直1111B(1，0，0)，D(11，，0)A(0，2，3)，A(0，0，3)B(1，2，0)，，1角坐標(biāo)系，則，1AB(1，2，3)，BD(2，1，0)BA(1，2，3)．，11ABBD2200ABBA1430，，111AB⊥BDAB⊥BA，1．11AB⊥ABD平面．11n，，(xyz)．AAD（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為1AD(11，，3)AA(0，2，0)．，1n⊥AD，n⊥AA，1z1n(3，0，1)AAD令得為平面的一個(gè)法向量．1AB⊥ABD由（Ⅰ）知平面，11AB1ABD為平面的法向量．1nAB336．cosnAB，1nAB2224116AADB的大小為arccos4二面角．120．(2007安徽·文)如圖，在三棱錐VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是π2．Ｖ∠VDC，0ABACBCa的中點(diǎn)，且VAB⊥VCD（I）求證：平面平面；Ｃπ與平面所成的角為．BCVAB（II）試確定角的值，使得直線6AＢＤ∵ACBCa，∴△ACBDAB的中點(diǎn)，解法1：（Ⅰ）是等腰三角形，又是∴CDAB，又VC底面．ABC∴VCABAB平面．VCD．于是平面，平面平面．又ABVABVAB∴VCDCVCDCHVDHCD于，則由（Ⅰ）知平面．VAB（Ⅱ）過點(diǎn)在平面內(nèi)作連接BH，于是CBH就是直線BCVAB與平面所成的角．依題意CBH6π，所以2asin；CH在Rt△CHD中，2πaCHasin，62在Rt△BHC中，2∴sin2．∵0π∴π，．24ππ故當(dāng)時(shí)，直線與平面所成的角為．BCVAB46CA，CB，CVxyz所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間解法2：（Ⅰ）以，C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D，，0，V0，0，2atanaa直角坐標(biāo)系，則222，VD，，2atanCD，，0，AB(a，a，0)．a(chǎn)aaa22于是，222從而AB·CD(a，a，0)·，，01a21a200，即ABCD．a(chǎn)a2222同理AB·VD(a，a，0)·，，2atan1a21a200，aa22222即ABVD又AB．又CDVDD∴ABVCD，平面．VAB平面．∴VABVCD平面平面．VABn(x，y，z)，（Ⅱ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為z則由n·AB0，n·VD0．Vaxay0，得a2xay2aztan0．22CBy可取n(11，，2cot)，又BC(0，a，0)，DAπ于是sin6n·BCa2sin，2xn·BCa·22cot22∵0π∴=π即sin，．224ππBCVAB時(shí)，直線與平面所成的角為．6=故交4DDC，DBxy所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A0，2a，0，B0，2a，0，C2a，0，0，222V2a，0，2atanDV2a，0，2atanDC2a，0，0，于是，，22222AB(0，2a，0)．從而AB·DC(0，2a，0)·2a，0，00，即ABDC．2同理AB·DV(0，2a，0)2a，0，2atan0，即ABDV．22又DCDVD，平面VCD．∴AB又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，2ay0，則由n·AB0，n·DV0，得2ax2aztan0．22V可取n(tan，0，1)，又BC2a，2a，0，2222atanπ于是n·BC2sin，2n·BCa·1tansinCy6B2D即sinπ，∵0π，∴=πxA．422故交π4時(shí)，π與平面VAB所成角為．6BC即直線二面角，，，，CPQAPQB21．(2007湖南·文)如圖3，已知直CACB，BAP45CA，直線和平面所成的角30為．（I）證明BC⊥PQ；BACP的大小．（II）求二面角CAPQBCCO⊥PQ于點(diǎn)，連結(jié)OB．O解：（I）在平面內(nèi)過點(diǎn)作因?yàn)椤?，PQ，所以CO⊥，又因?yàn)镃ACB，所以O(shè)AOB．而BAO45，所以ABO45，AOB90，從而BO⊥PQ，又CO⊥PQ，所以PQ⊥OBC平面．因?yàn)锽COBCPQ⊥BC．平面，故⊥，PQ，BO，所以BO⊥．BO⊥PQ，又（II）解法一：由（I）知，過點(diǎn)作OOH⊥ACH于點(diǎn)，連結(jié)BH，由三垂線定理知，BH⊥AC．故BHOBACP的平面角．是二面角所成的角，則CAO30，和平面CO⊥，所以CAO是CA由（I）知，3不妨設(shè)AC2，則AO3，OHAOsin30．2Rt△OAB中，ABOBAO45，所以BOAO3，在BOOH33于是在Rt△BOH中，tanBHO2．2BACP的大小為arctan2．角故二面OC⊥OA，OC⊥OB，OA⊥OBO，故可以為原點(diǎn)，分別以直線解法二：由（I）知，OB，OA，OCxy為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（z如圖）．因?yàn)镃O⊥a，所以CAO是CA所成的角，則CAO30．和平面不妨設(shè)AC2，則AO3，CO1．Rt△OAB中，ABOBAO45，在CzO所以BOAO3．AyPBQ則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是xO(0，0，0)，B(3，0，0)，A(0，3，0)，C(0，01)，．AB(3，3，0)，AC(0，31)，．所以nAB0，33y0，x設(shè)n{x，y，z}ABC是平面的一個(gè)法向量，由1得030yz1nAC1x1，得n(11，，3)．取1n(10，，0)是平面的一個(gè)法向量．易知2．2BACP的平面角為，由圖可知，n，n設(shè)二面角1nn1215cos所以515．|n||n|125BACP的大小為arccos故二面角．5)如圖，已知ABCDABCD是棱長(zhǎng)為AA22．(2007江蘇3的正方體，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F11111在CC上，且1AEFC1，1（1）求證：E,B,F,D四點(diǎn)共面；（4分）1G在BC上，BG2MBBGMBFEMH，垂足為，求證：（2）若點(diǎn)，點(diǎn)在上，31面BCCB；（4分）11tan（3）用表示截面EBFD和面BCCB所成銳二面角大小，求。（4分）11123．(2007江西·文)右圖是一個(gè)直三棱柱（以被一平面所截得到的幾何體，ABC為底面）111ABBC1，ABC90，AA4，BB2，CC3．截面為ABC．已知1111111111（1）設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC平面∥ABC；111（2）求AB與平面AACC所成的角的大?。?1（3）求此幾何體的體積．作OD∥AA交（1）證明：AB于D，連CD1．111則OD∥BB∥CC，11因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，1OD(AABB)3CC．所以2111則ODCC是平行四邊形，因此有OC∥CD，11CD平面CBA，且OC平面CBA1111111則OC∥面ABC．111B作截面BAC∥面ABC，分別交，于，，AACCAC（2）解：如圖，過221111122作BH⊥AC于H，22平面，則BH⊥面AACC．⊥AACC1111因?yàn)槠矫鍭BC22連結(jié)AH，則∠BAH就是與面AACC所成的角．AB112sin∠BAHBH10．AB10因?yàn)锽H2AB5，，所以10AB與面AACC所成的角為1∠BAHarcsin．10121S3（3）因?yàn)锽H，所以VBH．2BAACCAACC2222112132(12)222．VSBB121．2ABCABC△ABC111111122所求幾何體的體積為VVV32．ABCABC11122BAACC22解法二：A(01，，4)，B(0，0，2)，C(1，0，3)，（1）證明：如圖，以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則11O0，，3，O是AB的中點(diǎn)，所以2因?yàn)?OC1，，0，2易知，n(0，0，1)是平面ABC的一個(gè)法向量．111由OCn0且OC平面ABC知OC∥平面ABC．111111ABAACC11（2）設(shè)與面所成的角為．AA(0，0，4)AC(1，1，0)．求得1，11AAm0z0xy0設(shè)m(x，y，z)AACC是平面的一個(gè)法向量，則由1得，ACm01111xy1m(11，，0)．取得：又因?yàn)锳B(0，1，2)cosmABmAB所以，，mAB1010sin則．101010arcsin10ABAACC所以與面所成的角為．11（3）同解法一24．(2007全國(guó)Ⅰ·文)四棱錐SABCD中，SBC行四邊形，側(cè)面底面底面ABCD為平SABCD，已知ABC45AB2SABC；BC22SASB，，，3．（Ⅰ）證明：C（Ⅱ）求直線SD與平面SBC所成角的大?。瓸D解法一：（1）作SO⊥BCAOAO，垂足為，連結(jié)SBC⊥ABCDSO⊥，由側(cè)面底面，得底面ABCD．SASBAOBO，因?yàn)?，所以∠ABC45又△AOB，故AO⊥BO，為等腰直角三角形，由三垂線定理，得SA⊥BC．SA⊥BC，S（Ⅱ）由（Ⅰ）知依題設(shè)AD∥BC，ADBC22，故SA⊥AD，由BCESA3，DASDAD2SA211．又AOABsin452，作DE⊥BCE，垂足為，DE⊥則平面，連結(jié)SBCSE．∠ESD為直線SDSBC與平面所成的角．2211SD所以，直線SBCarcsin與平面所成的角為．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BCOAOSBC⊥ABCD，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面SO⊥ABCD．SASBAOBO因?yàn)椋裕螦BC45△AOBAO⊥OB，為等腰直角三角形，．又OOAxOxyz如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳OBO2AB2，2SSOSB2BO21，BC22A(2，0，0)又，所以，BCB(0，2，0)，C(0，2，0)．DAS(0，01)，，SA(2，0，1)，CB(0，22，0)，SACB0，所以．（Ⅱ）SDSAADSACB(2，22，1)，OA(2，0，0).SA⊥BC與的夾角記為，與平面所成的角記為，因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ騉ASDSDABCOASBC量，所以與互余．cosOASD22sin22，，1111OASD22所以，直線與平面所成的角為．SDSBCarcsin11SSABCD25．(2007全國(guó)Ⅱ·文)如圖，在四棱錐中，ABCDSD⊥ABCD，E，F(xiàn)底面為正方形，側(cè)棱底面AB，SC分別為的中點(diǎn)．SADEF∥（1）證明平面；FSD2DCAEFD（2）設(shè)，求二面角的大?。夥ㄒ唬篎G∥DCSDGGSD（1）作交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)．AG，F(xiàn)G1CDCDAB連結(jié)∥，又∥，C2D故FG∥AE，AEFG為平行四邊形．AEBSEF∥AG，又AG平面SAD，EF平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨設(shè)DC2，則SD4，DG2，△ADG為等腰直角三角形．H又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而ABAGA，F(xiàn)取AG中點(diǎn)，連結(jié)DH，則DH⊥AG．G所以DH⊥面AEF．取EF中點(diǎn)M，連結(jié)MH，則HM⊥EF．連結(jié)DM，則DM⊥EF．HMC故DMH為二面角AEFD的平面角DtanDMHDH22．1AEBHMzS所以二面角AEFD的大小為arctan2．解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz．設(shè)A(a，0，0)，S(0，0，b)，則B(a，a，0)，C(0，a，0)，aabFGEa，，0，F(xiàn)0，，，222Mb．EFa，0，Cy2DAbba，，0．2EB取SD的中點(diǎn)G0，0，2，則AGxAEFAG，EF∥AG，AG平面SAD，EF平面SAD，所以EF∥平面SAD．11（2）不妨設(shè)A(1，0，0)，則B(11，，0)，C(0，1，0)，S(0，0，2)，E1，，0，F(xiàn)0，，1．22111222111EF(101)MDEF0，MD⊥EFEFM中點(diǎn)，，，MD，，，，，，22212又EA0，，0，EAEF0，EA⊥EF，所以向量MD和EA的夾角等于二面角AEFD的平面角．cosMD，EAMDEAMDEA3．3．26．(2007安徽·文)如圖,在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中,AD//BC,ABC90,PA平面vPA3,AD2,AB23,BC=6.(Ⅰ)求證:BDBD平面PAC;(Ⅱ)求二面角PBDA的大小.平面，BD平面ABCDPA⊥解法一：（Ⅰ）ABCD．BD⊥PA．又tanABDAD3，tanBACBC3．PAB3AB∠ABD30，∠BAC60，DAE∠AEB90，即BD⊥AC．⊥CB又PAACA．平面．（Ⅱ）連接PE．BDPACBD⊥平面．PACBD⊥PE，BD⊥AE．∠AEPPBDA的平面角．為二面角在Rt△AEB中，AEABsinABD3，tanAEPAP3，∠AEP60，AEPBDA的大小為．60二面角解法二：（Ⅰ）如圖，建立坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(23，0，0)，C(23，6，0)，D(0，2，0)，P(0，0，3)，AP(0，0，3)，AC(23，6，0)，BD(23，2，0)，BDAP0，BDAC0．BD⊥AP，BD⊥AC，又PAACA，BD⊥面．PACzPAABD（Ⅱ）設(shè)平面的m(0，0，1)，法向量為PBD設(shè)平面的n(x，y，1)，法向量為DyE則nBP0，nBD0，BCx3x，33．23x30，2解得n，，123x2y0，322y，2mn1cosmn，PBDA60．二面角的大小為．mn227．(2007四川·文PC所成的角為60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°(Ⅰ)求證：AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大??；（Ⅲ）求多面體PMABC的體積)如圖，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直線AM與直線.解析：本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、棱錐體積等有關(guān)知識(shí)，考查思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力．（Ⅰ）∵平面PCBM平面，，平面．ABCACBCACABC∴AC平面PCBM又∵BM平面PCBM∴ACBM（Ⅱ）取BC的中點(diǎn)N，則CN1．連接AN、MN．∵平面PCBM平面，平面PCBM平面，．ABCBCPCBCABC∴PC平面．ABC∵PM//CN，∴MN//PC，從而MN平面．ABC作NHAB于，連結(jié)，則由三垂線定理知．HMHABMH從而MHN為二面角MABC的平面角．∵直線AM與直線PC所成的角為AMN60．60°，∴在ACN中，由2．勾股定理得AN236．在RtAMN中，MNANcotAMN3311555．NHBNsinABCBNAC在RtBNH中，AB6MNNH35303在RtMNH中，tanMHN5303故二面角MABC的大小為arctan（Ⅱ）如圖以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz．P(0,0,z)(z0)，有B(0,2,0)，A(1,0,0)，M(0,1,z)．設(shè)000AM(1,1,z)，CP(0,0,z)00由直線AM與直線PC所成的角為60°，得z21z2