二重積分的概念

第十三講二重積分的概念一、二重積分的概念1．求曲頂柱體的體積設(shè)有一空間立體O,它的底是xoy面上的有界區(qū)域D,它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線,而母線平行于z軸的柱面,它的頂是曲面z二f(x.y)，稱這種立體為曲頂柱體.與求曲邊梯形的面積的方法類似，我們可以這樣來求曲頂柱體的體積V:用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域D分成n個小區(qū)域Ac，Ac，…，Ac，以這些小區(qū)TOC\o"1-5"\h\z1 2 n域的邊界曲線為準(zhǔn)線,作母線平行于z軸的柱面,這些柱面將原來的曲頂柱體O分劃成n個小曲頂柱體AQ，AQ，…，AQ.1 2 n(假設(shè)Ac所對應(yīng)的小曲頂柱體為AQ，這里Ac既代表第i個小區(qū)域,又表示它的面積值,i i iA0既代表第i個小曲頂柱體，又代表它的體積值?)，從而V=￡A0.iii=1圖7.1由于f(x,y)連續(xù)，對于同一個小區(qū)域來說,函數(shù)值的變化不大.因此,可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體,于是A0Uf(g,n)Ac,(W,n)eAc)i iii ii i.整個曲頂柱體的體積近似值為V磐f(g )Aciii.i=1為得到V的精確值，只需讓這n個小區(qū)域越來越小,即讓每個小區(qū)域向某點收縮.為

此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:一個閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點距離的最大者.所謂讓區(qū)域向一點收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零.設(shè)n個小區(qū)域直徑中的最大者為九，則V=lim工f（匚,q）Ad,W,q）eAc2．二重積分的定義設(shè)f(x,y)是閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將區(qū)域D分成個小區(qū)域Ac,Ac,…，Ac,1 2 n其中，Ac既表示第i個小區(qū)域，也表示它的面積，九表示它的直徑.ii九=max{X}V(g，耳)eAc1<i<ni ii 1，作乘積f(g )Ac (i=1,2…,n)，iii作和式才f(匚,n)Ac，若極限limZf(g,n)Ac存在,則稱此極限值為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分，記iiiDD其中：f(x,y)稱之為被積函數(shù)，f(x,y)dc稱之為被積表達(dá)式，dc稱之為面積元素,x,y稱之為積分變量，D稱之為積分區(qū)域.3．對二重積分定義的說明：⑴極限lim工f(g，耳)Ac的存在與區(qū)域D的劃分及點(g,n)的選取無關(guān)。Dii i iiD(2) dc中的面積元素dc象征著積分和式中的A.

° dx° dx圖7.2由于二重積分的定義中對區(qū)域D的劃分是任意的,若用一組平行于坐標(biāo)軸的直線來劃分區(qū)域D,那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外，絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形，因此，可以將db記作dxdy(并稱dxdy為直角坐標(biāo)系下的面積元素),二重積分也可表示成為f(x,y)dxdy.D(3)二重積分的存在定理若f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上的二重積分存在.注在以后的討論中，我們總假定在閉區(qū)域上的二重積分存在.(4)若f(x,y)>0,二重積分表示以f(x,y)為曲頂，以D為底的曲頂柱體的體積.

練習(xí)：利用二重積分的幾何意義求D\：a2-x2-y2db,其中D：x2+y2<a2。D、二重積分的性質(zhì)二重積分與定積分有相類似的性質(zhì)性質(zhì)1(線性性)J![af(x,y)+Pg(x,y)]db f(x,y)db+pffg(x,y)dbD其中：a,p是常數(shù).性質(zhì)2(對區(qū)域的可加性)若區(qū)域D分為兩個部分區(qū)域D,D，則12JJf(x,y)db=JJf(x,y)db+JJf(x,y)dbD1DD1性質(zhì)3若在D上,f(x,y)三1，b為區(qū)域D的面積，則b=B*1db=JJdb

幾何意義:高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積練習(xí)：求“ 5dxdy。x2+y2<3性質(zhì)4若在D上，f(x,y)<?(x,y)，則有不等式fff(x,y)de<ffp(x,y)deDD特別地，由于—f(x,y)|<f(x,y)<f(x,y)|，有dede<fflf(x,y)IdeD性質(zhì)5(估值不等式)設(shè)M與m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上最大值和最小值,b是M的面積，則me<ff