勾股定理第課時

關于勾股定理第課時第一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日學習目標

1、知識與技能

掌握勾股定理反映的數(shù)量關系；會用拼圖法、面積法證明勾股定理；在生活實踐中學會使用勾股定理。

2、過程與方法

通過“觀察—猜想—歸納—驗證”過程理解勾股定理；學會從特殊到一般的數(shù)學思考方法。

3、情感態(tài)度、價值觀通過實驗、猜想、拼圖、證明等了解數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程，學會合作交流，體驗探究樂趣，增強探索意識；感受勾股定理的悠久歷史，激發(fā)學習熱情。第二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日

除地球外，別的星球上有沒有生命呢？

自古以來，人類就不斷發(fā)出這樣的疑問，特別是近年來不斷出現(xiàn)的UFO事件，更讓人們相信有外星人的說法，如果真的有，那我們怎么和他們交流呢？我國著名數(shù)學家華羅庚在多年前曾提出這樣的設想：向太空發(fā)射一種圖形，因為這種圖形在幾千年前就已經(jīng)被人類所認識，如果他們是“文明人”，也必定認識這種圖形.一、創(chuàng)設情境第三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日數(shù)學家華羅庚曾建議用“勾股定理”圖作為與“外星人”聯(lián)系的信號。第四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日弦圖這個圖形里蘊涵著怎樣博大精深的知識呢？它標志著我國古代數(shù)學的偉大成就！第五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日第六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日

假如我們一旦和外星人見面，該使用什么語言呢？使用“符號語言”與外星人聯(lián)系是最經(jīng)濟和最有效的，外星人也最可能使用這種語言,并且最可能是數(shù)學語言。中國數(shù)學家華羅庚認為，我們可以用兩個圖形作為與外星人交談的媒介，一個是“數(shù)”，另一個是“數(shù)形關系”（勾股定理）。因為這種自然圖形所具備的“數(shù)形關系”在整個宇宙中是普遍的。探索勾股定理第七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日

那么這到底是一種什么樣的圖形呢？它真的有那么大的魅力嗎？

下面就讓我們通過時光隧道，和古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯一起來研究這種圖形吧。第八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日畢達哥拉斯(公元前572----前492年),古希臘著名的哲學家、數(shù)學家、天文學家。相傳有一次他在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了A、B、C三者面積之間的數(shù)量關系，進而發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的某種數(shù)量關系．ABC我們也來觀察右圖的地面，你能發(fā)現(xiàn)A、B、C面積之間有什么數(shù)量關系嗎？SA+SB=SC每塊磚都是等腰直角三角形哦第九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日（圖中每個小方格是1個單位面積）1.A中含有____個小方格，即A的面積是

個單位面積．B的面積是

個單位面積．C的面積是

個單位面積．99189探究一：你能發(fā)現(xiàn)圖1中正方形A、B、C的面積之間有什么數(shù)量關系嗎？二、實驗探究ABC圖1結論：圖1中三個正方形A，B，C的面積之間的數(shù)量關系是:SA+SB=SC第十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日探究二：SA+SB=SC在圖2中還成立嗎？ABC圖2結論：仍然成立。A的面積是

個單位面積．B的面積是

個單位面積．C的面積是

個單位面積．25169

你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流交流．（圖中每個小方格是1個單位面積）第十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日ABC問題2:式子SA+SB=SC能用直角三角形的三邊a、b、c來表示嗎?問題4:那么直角三角形三邊a、b、c之間的關系式是:abc

至此，我們在網(wǎng)格中驗證了:直角三角形兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，即SA+SB=SCa2+b2=c2a2+b2=c2問題1:去掉網(wǎng)格結論會改變嗎？問題3:去掉正方形結論會改變嗎？第十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b,斜邊長為c，那么a2+b2=c2.abc我們猜想：第十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日

是不是所有的直角三角形都具有這樣的結論呢？光靠實驗和猜想還不能把問題徹底搞清楚。這就需要我們對一般的直角三角形進行證明．下面我們就一起來探究，看一看我國古代數(shù)學家趙爽是怎樣證明這個命題的．三、拼圖證明第十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日

以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形，把兩個正方形如圖1連在一起，通過剪、拼把它拼成圖2的樣子。你能做到嗎？試試看。趙爽拼圖證明法：c

小組活動：仿照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將兩個連體正方形，拼成一個新的正方形.

圖1黃實朱實朱實朱實朱實圖2c第十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日黃實朱實朱實朱實朱實b

a〓

MNP剪、拼過程展示：第十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日cba用趙爽弦圖證明=ba第十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日“趙爽弦圖”黃實朱實朱實朱實朱實cab第十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智，是我國古代數(shù)學的驕傲。因此，當2002年第24屆國際數(shù)學家大會在北京召開時，“趙爽弦圖”被選作大會會徽。第十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日

現(xiàn)在，我們已經(jīng)證明了命題1的正確性，在數(shù)學上，經(jīng)過證明被確認為正確的命題叫做定理，所以命題1在我國叫做勾股定理(gou-gutheorem)。勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b,斜邊長為c，那么

a2+b2=c2即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。第二十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日1.成立條件：在直角三角形中3.作用：已知直角三角形任意兩邊長，求第三邊長。2.公式變形:abc如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b,斜邊長為c勾股定理（注意：哪條邊是斜邊）第二十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日結論變形c2=a2+b2abcABC第二十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日

為什么叫勾股定理這個名稱呢？原來在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。于是我國古代學者就把直角三角形中較短直角邊稱為“勾”，較長直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.由于命題1反映的正好是直角三角形三邊的關系，所以叫做勾股定理。勾股國外又叫畢達哥拉斯定理第二十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日勾2+

股2=弦2股勾勾較短的直角邊稱為，股較長的直角邊稱為，直角三角形中弦斜邊稱為。弦第二十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日勾股世界我國是最早了解勾股定理的國家之一。三千多年前，周朝數(shù)學家商高就提出了“勾三股四弦五”的說法。第二十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日其他證明方法用四個全等三角形拼圖證明。

勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿了無窮的魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學家、畫家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統(tǒng)。有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種。第二十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日驗證勾股定理的正確性第二十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日例題：求出下列直角三角形中未知邊的長度.解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2X2=36+64x2=100x2=62+82∵x>0y2+52=132y2=132-52y2=144∴y=12（2）在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2∵y>0A68xCB5y13CAB∴X=10四、實踐應用方法總結：利用勾股定理建立方程.第二十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日1.求下列直角三角形中未知邊的長:817125①小試牛刀xx用勾股定理建立方程.②判斷哪條邊是斜邊！第二十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日練習1：圖中已知數(shù)據(jù)表示面積，求表示邊的未知數(shù)x、y的值.①916x②y144169看誰算得快第三十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日如圖，大風將一根木制旗桿吹裂，隨時都可能倒下，十分危急。接警后“119”迅速趕到現(xiàn)場，并決定從斷裂處將旗桿折斷。現(xiàn)在需要劃出一個安全警戒區(qū)域，那么你能確定這個安全區(qū)域的半徑至少是多少米嗎？議一議：9m24m?第三十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日練習2：已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4,求S5

、S6

、S7的值.看誰算得快s3第三十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日11美麗的勾股樹第三十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日1、求下列圖中字母所表示的正方形的面積.=625225400A22581B=144五、反饋評價第三十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日2、如圖，受臺風影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處，這棵樹折斷前有多高？4米3米3、求下列直角三角形中未知邊的長.6x101213x第三十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日

2.

受臺風莎麥影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部3米處，問這棵樹折斷前有多高？（注：樹干與地面垂直）快速搶答4米3米ABC解：常用勾股數(shù)：勾3，股4，弦5（勾股定理）第三十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日169

或119再展身手注意：哪條邊是斜邊!分類討論思想125ACB①BC為斜邊125CAB②BA為斜邊4、已知：Rt△ABC中，AB＝12，AC＝5,則

等于____________.第三十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日若直角三角形的兩條邊長為6cm、8cm，則第三邊長一定為10cm.()

判斷正誤:6868×第三十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日5.高速公路上有A、B兩站相距25km，C、D為兩個小鎮(zhèn)，DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在公路邊上建設一個收購站E，使得它到兩鎮(zhèn)的距離相等，則E站應建在距A站多遠處?DAEBC1510x25-x方程思想再展身手第三十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日你能用四個直角邊長是a、b(b>a)，斜邊長c的全等三角形，拼成一個邊長為c的正方形嗎？abcabcabcabc動動手第四十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日想一想（1）你能用幾種方式表示正方形ABCD的面積？（2）由此你能得到怎樣的等式？你能利用該等式證明勾股定理嗎？ABCDEFGHcaba第四十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日趙爽（即趙君卿）是三國時期吳國的數(shù)學家，他在注釋《周髀算經(jīng)》時，用四個全等的直角三角形拼圖，對勾股定理進行了詳細證明。他是我國最早對勾股定理進行證明的數(shù)學家，也是我們中華民族的驕傲。ABCDEFGHcabcccaaabbb這就是趙爽的弦圖，又叫勾股圓方圖！第四十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日

為了紀念他的這一重大貢獻，2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會，將弦圖作為了該屆大會會徽。第四十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日基本方法

通過構造幾何圖形,并利用不同方法去表示同一個幾何圖形的面積，來證明代數(shù)式之間的恒等關系，這種方法既具嚴密性，又具直觀性，是數(shù)形結合的一個典范。面積構造法ABCDEFGHcabcccaaabbb數(shù)形結合思想第四十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日《周髀算經(jīng)》

畢達哥拉斯

商高

數(shù)學史話《勾股圓方圖》第四十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日如果用四個直角邊長是a、b，斜邊長c的全等三角形，拼成一個邊長為（a+b）的正方形，你能根據(jù)所拼出的圖形，利用面積法證明勾股定理嗎？動動手abcabcabcabc第四十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日如果用四個直角邊長是a、b，斜邊長c的全等三角形，拼成一個邊長為（a+b）的正方形，你能根據(jù)所拼出的圖形，利用面積法證明勾股定理嗎？動動手證明：周元治證法

abbcABCD第四十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日總統(tǒng)證法

用兩個直角邊長分別為a,b,斜邊長為c的直角三角形和一個以c為直角邊的等腰直角三角形拼成一個梯形。acbbacADCBE第四十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日acbbacACBEacbbacABE總統(tǒng)證法拼圖正好是周元治證法拼圖

的一半！圖1圖2acbbacCDacbbacABE

總統(tǒng)證法周元治證法

第四十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日

如果我們要找一個定理，它的出現(xiàn)稱得上是數(shù)學發(fā)展史上的里程碑，那么勾股定理一定是最佳選擇,很多具有古老文化的民族和國家都會說：我們首先認識的數(shù)學定理是勾股定理，它的發(fā)現(xiàn)和證明在世界數(shù)學史上有著獨特的貢獻和地位。

勾股定理——

人類偉大的發(fā)現(xiàn)第五十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日勾股弦定理商高定理

中國是最早發(fā)現(xiàn)研究勾股定理的國家之一，我國古代著名的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中曾記載，早在三千多年前，周朝數(shù)學家商高就提出了：勾三，股四，弦五。第五十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日畢達哥拉斯定理百牛定理第五十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日圖1圖2畢達哥拉斯證法第五十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日（鄒元治證明）

（趙爽證明）

（總統(tǒng)證明）

精彩紛呈的證明方法

迄今為止，關于勾股定理的證明方法已有500余種，各種證法融幾何知識與代數(shù)知識于一體，完美地體現(xiàn)了數(shù)形結合的魅力，勾股定理是數(shù)學中數(shù)與形的第一定理。第五十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日精彩紛呈的證明方法（歐幾里得證明）

第五十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日（劉徽的青朱出入圖）

精彩紛呈的證明方法第五十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日精彩紛呈的證明方法（達芬奇證法）

第五十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日精彩紛呈的證明方法印度、阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)的一種拼圖證明第五十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日（李銳證明）

精彩紛呈的證明方法第五十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日（陳杰證明）

精彩紛呈的證明方法第六十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日（項明達證明）

精彩紛呈的證明方法（向明達證法）第六十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日（楊作玫證明）

精彩紛呈的證明方法第六十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日（辛卜松證明）

精彩紛呈的證明方法第六十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期日（梅文鼎證明）

精彩紛呈的