彈性力學第四章用極坐標解平面問題

第四章 用極坐標解平面問題4.1.極坐標中的平衡微分方程工程上常常可以遇到圓形、環(huán)形、楔形或扇形類的結(jié)構(gòu)物。在這些情況下，用直角坐標描述邊界條件會變得相當復(fù)雜，由于極坐標使得結(jié)構(gòu)的邊界與坐標線一致，因而使邊界條件的描述更加簡單，使問題更易于求解。首先我們定義極坐標中的應(yīng)力分量和體積力分量。用夾角為d的兩條極徑和兩條半徑相差為d的同心圓弧截取一個微元體（圖4.1）。圓弧截面oxd稱為面。面的法向沿徑向而且指向增加方向，這一圓弧Kρ面稱為正面，反之稱為負面。極徑截面稱為面。面的Ky法向沿環(huán)向而且指向增加方向，這一極徑截面稱為正圖4.1極坐標下的應(yīng)力符號面。反之稱為負面。oxd面上的正應(yīng)力用表示，剪應(yīng)力用表示。面上的正應(yīng)力用表示，剪應(yīng)力用表示。用f表示體積KρKy力在徑向的分量,用f表示體積力在環(huán)向的分量。應(yīng)力的符dd號規(guī)定與直角坐標下的規(guī)定完全相同：正面上指向正向（坐圖4.2單元體上的應(yīng)力標增加的方向）的應(yīng)力為正值應(yīng)力，負面上指向負向（坐標減小的方向）的應(yīng)力亦為正值應(yīng)力，反之，為負值的應(yīng)力。體積力符號規(guī)定也與直角坐標下的規(guī)定相同，指向坐標軸正向（坐標增加的方向）的體積力為正值，反之，為負值。直角坐標和極坐標之間具有嚴格的變換關(guān)系。從理論上說，我們完全可以通過坐標變換的方法由直角坐標的基本方程導(dǎo)出極坐標下的相應(yīng)方程。但是，為了加深對極坐標下平衡方程物理意義的理解，我們?nèi)匀煌ㄟ^極坐標下的微分單元體的平衡導(dǎo)出極坐標下的平衡微分方程。我們?nèi)∫粋€微分單元體研究，各個面上的應(yīng)力分量和體積力如圖4.2所示。

dd負 面上的正應(yīng)力為 ，剪應(yīng)力為 ；正 面的坐標比負 面增加了 d ，所以正 面的應(yīng)力和負 面相比，應(yīng)力產(chǎn)生了一個增量， 分別為 d和 d 。負 面上的正應(yīng)力為 ，剪應(yīng)力為 ；正 面的坐標比負 面增加了d ，所以正面的應(yīng)力和負 面相比，應(yīng)力產(chǎn)生了一個增量，分別為 d和 d 。由于微分單元體厚度是1，所以負面的面積為d，正面的面積為(d)d；正、負面的面積均為d。體力為f和f。各面的合力對形心求矩MC0，可以再次證明剪應(yīng)力互等定理。（4.1）取各面上的力在方向上的平衡，有F0：(d)(d)dd(d)dsind2（a）sind)dcosdcosdd(ddfdd0222由于dddd成立。把它們用于（a）式并略是個微量，所以有cos21和sin22dd,整理后得去高一階的無窮小量。利用剪應(yīng)力互等定理并在方程兩邊同除以f0（b）再考察各面上的力在方向上的平衡F0，同理可得：2f0（c）（b）式和（c）式聯(lián)立得到一組平衡微分方程：f 0（4.2）2f 0這個方程組中包含了 、 和 三個獨立的未知函數(shù)，方程本身比直角坐標下的相應(yīng)方程復(fù)雜得多。一般情況下，它的求解也復(fù)雜得多。4.2. 極坐標中的幾何方程及物理方程在4.1節(jié)中我們導(dǎo)出了三個應(yīng)力分量應(yīng)該滿足的平衡微分方程。 但是僅僅通過兩個方程求解三個未知函數(shù)是不夠的，必須找到一個補充方程，也就是說要考慮變形幾何關(guān)系。首先要定義在極坐標中的應(yīng)變分量與位移分量。4.3）。比照在直角坐標中的應(yīng)變分量的定義辦法，我們定義與應(yīng)力相對應(yīng)的應(yīng)變， 表示徑向線段的線應(yīng)變（徑向正應(yīng)變），表示環(huán)向線段的線應(yīng)變（環(huán)向正應(yīng)變），表示徑向線段和環(huán)向線段之間的直角改變量（剪應(yīng)變）。位移分量是按照位移的方向定義的，u表示徑向位移，u表示環(huán)向位移。變形幾何方程是描述位移和應(yīng)變之間關(guān)系的一組方程。欲研究平面彈性體在極坐標下的變形，要選取相互正交的徑向線段和環(huán)向線段。徑向線段PAd，環(huán)向弧線所含的弧度為d ，弧長PB d 。線段端點及其坐標分別為 P(,)，A( d,)和B( , d )。由于極坐標中正交線段的位移可以看作沿徑向的位移和沿環(huán)向位移的合成。在分析位移與應(yīng)變關(guān)系時我們分兩步完成，第一步先考察正交線段僅發(fā)生徑向移動（不考慮環(huán)向位移）所產(chǎn)生的位移與應(yīng)變分量間的關(guān)系（圖

OxdPduρP'BA'AuuduyB'ud圖4.3徑向位移正交線段的徑向移動使P點移動到P點，位移為u，A點移動到A點，由于A、P兩點極角相同，A點極徑比P點的極徑增加了d，所以其徑向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來的函數(shù)增量ud，A點的位移為uu，這兩點的環(huán)向位移u0，PA的轉(zhuǎn)d角為零。線段PA的伸長量可以通過兩個端部A、P兩點的位移差計算，產(chǎn)生的徑向線應(yīng)變?yōu)镻'A'PAAA'PP'，PAPA即uuduu（a）正交線段的徑向移動同時使B點移動到B點，由于B、P兩點極徑相同，B點極角比P點的極角增加了d，所以其徑向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來的函數(shù)增量ud，B點的徑向位移為uud，這兩點的環(huán)向位移也有u0。同理，PB弧所產(chǎn)生的環(huán)向線應(yīng)變?yōu)镻'B'PBP'B1PBPB，即PB(u)ddu（b）d由于B、P兩點徑向位移不同，就使得PB產(chǎn)生了一個轉(zhuǎn)角BB'PP'，PB(uuud)u（c）d故剪應(yīng)變?yōu)閡（d）第二步是在第一步的基礎(chǔ)上研究徑向位移后的兩條線段端點P、A和B只發(fā)生環(huán)向位移而不發(fā)生徑向位移（圖4.4）。正交線段的環(huán)向移動使P點移動到P點，位移為u，A點移動到A點。A點極徑比P點的極徑增加了d，所以其環(huán)向位移產(chǎn)生一個由于變化u，A點的環(huán)向位移為AAo帶來的函數(shù)增量d，AAuu（e）d這兩點的徑向位移 u 0。線段PA位移到PAy后，其伸長量可以視為零，所以其徑向線應(yīng)變

P d xd u AB P A2B A1Au uu d u d0（f）圖4.4環(huán)向位移正交線段的徑向移動使B點移動到B點，由于B點極角比P點的極角增加了d，其環(huán)向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來增量u，B點的環(huán)向位移為BB：dudBBuPB弧所產(chǎn)生的環(huán)向線應(yīng)變?yōu)镻BPB，也就是PB(uuPBPBBBd)uPPPBPBd即u（g）由圖

4.5

可以看出，線段

PA

位移到

PA

所轉(zhuǎn)過的角度包含兩部分，一部分是徑線OA

轉(zhuǎn)動到

OA1的位置時剛體轉(zhuǎn)動角

，u（h）另一部分是環(huán)向位移使線段PA1轉(zhuǎn)動到PA位置時轉(zhuǎn)過的角度，只有這一部分轉(zhuǎn)角才是正交線段的直角改變量，可以這樣計算uduAAuAA2uA2PAPAd（i）u uA2PA

（j）把兩種位移產(chǎn)生的徑向應(yīng)變、環(huán)向應(yīng)變和剪應(yīng)變疊加（k）把（a）、（b）、（d）、（f）、（g）和（j）式代入（k）式后得到總的徑向應(yīng)變、環(huán)向應(yīng)變和剪應(yīng)變與位移之間的關(guān)系，即幾何方程如下：uuu（4.3）u u uu u式中 是由徑向位移產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)變， 是由環(huán)向位移產(chǎn)生的剛體轉(zhuǎn)動角度。所得到的平衡微分方程描述的力學量之間的關(guān)系，幾何方程描述的是幾何量間的關(guān)系。幾何方程要作為補充方程，必須把幾何量轉(zhuǎn)化為力學量，物理方程就為完成這種轉(zhuǎn)變提供了依據(jù)。物理方程是描述力和變形之間的關(guān)系的，在彈性力學中描述的是應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系。由于極坐標也是正交坐標系，微分單元體和直角坐標是一致的，所以力和變形之間所遵循的規(guī)律是完全一致的，因此物理方程形式不變。在平面應(yīng)力狀態(tài)下物理方程的極坐標形式為1()E1()（4.4）E2(1)G E寫成矩陣的形式為10110（4.4）E02(1)0按照與2.4節(jié)相同的做法，可以得到用應(yīng)變表示應(yīng)力的平面應(yīng)力狀態(tài)下物理方程的極坐標形式E()12E()（4.5）12GE2(1)其矩陣形式為E10（4.5210）10102將（4.4）式中的E和分別用E和代換，可以得到平面應(yīng)變狀態(tài)下物理方121程的極坐標形式12()E112E()（4.6）E12(1)GE它的矩陣形式為11012（4.6）10E12001至此，我們已經(jīng)得到兩個獨立的平衡微分方程，三個幾何方程和三個物理方程，計八個方程，含有需要求解的八個未知函數(shù)，具備了求解的基本條件。4.3極坐標中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程在平面直角坐標系求解問題時，采用應(yīng)力函數(shù)是一種行之有效的方法，求解時也試圖采用同樣的方法，為此我們需要導(dǎo)出極坐標下用應(yīng)力函數(shù)求解的基本方程。這里僅考慮體積力為常量的情況。首先把用直角坐標表示的拉普拉斯方程轉(zhuǎn)化為極坐標表示。通過兩個坐標系的轉(zhuǎn)換很容易的得到應(yīng)力函數(shù)從直角坐標系到極坐標的轉(zhuǎn)化，

我們在用極坐標o xxΦ[x(,),y(,)]Φ(,)。ytx和y的方向?qū)?shù)的方法導(dǎo)出極坐標下用y下面我們用求在極坐標下對圖4.6極坐標下的方向角應(yīng)力函數(shù)描述的相容方程。x和之間的夾角為（圖4.6），所以在極坐標下對x的方向一階導(dǎo)數(shù)為ΦΦΦ（a）xcossin把Φ整體視為新函數(shù)，再求對它對x的一階導(dǎo)數(shù)，即用它代替（a）式中的Φ得到x2Φ(Φ(ΦΦ)cosx2)cossinxx(b)ΦΦ(cossin)sin所以有2222yx22cos2sincos(c)222sincossin222sin2由于y方向?qū)?shù)比x方向的角度增加了2，所以求應(yīng)力函數(shù)在極坐標下對y方向一階導(dǎo)數(shù)時僅需把對x方向求導(dǎo)的(c)式右邊各項中用2代換即可。因此有2222xy22cos(2)2sin(2)cos(2)22sin(2)cos()sin2()222sin2()222即222xsinsincos22222（d）sincos22cos22cos按照與推導(dǎo)（b）式相似的做法可以得到應(yīng)力函數(shù)對x、y的混合導(dǎo)數(shù)2xyy()(cossin)cosx(cossin)sin所以有22(cos2sin2xyxy2sincos2)（e）22(cos2sin2)sincos22sincos把(c)式和（d）式相加得出拉普拉斯算子的極坐標表達式222222()（f）x2y222222由于xσ，所以用應(yīng)力描述的變形相容方程為y2(x2(22σy))(222)()0（4.7）（4.7）式可以寫成2[()22]()0（4.7）把(c)式和（d）式代入應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程中就可以得到極坐標下的相容方程。4222)2(220（4.8）把（4.6）市展開為44244234222443ρρρ（4.8）2324203222423ρρρρρρρ由此可以看出，用極坐標解答平面問題時，也和直角坐標一樣，只需選擇某一個應(yīng)力函數(shù)，求出各應(yīng)力分量，并要求它們能滿足所給彈性體所有的邊界條件即可。4.4.應(yīng)力的坐標變換在4.3節(jié)我們已經(jīng)導(dǎo)出用極坐標描述的直角坐標應(yīng)力 x、 y和xy，只要完成用直角坐標應(yīng)力表示極坐標下的應(yīng)力，把前面所得到的結(jié)果代入，不難導(dǎo)出極坐標下應(yīng)力的應(yīng)力函數(shù)表達式。這里我們通過坐標變換完成兩種坐標系下的應(yīng)力變換。在數(shù)學中可以用坐標變換矩陣給出坐標軸旋轉(zhuǎn)后一點的O坐標(x,y)與旋轉(zhuǎn)前的坐標 (x,y)之間的關(guān)系：x l m x（a）y m l y y

yxyxxpxXnxyYpny即 圖4.6 面上的應(yīng)力變換xxconysin（b）yxsinycos如果直角坐標下的應(yīng)力單元體斜截面的法向正好是極坐標中的徑向（圖4.6），利用（2.10）式可以得到斜截面上應(yīng)力在x向和y向的分量(px,py)為pxxxylpyyxym那么斜截面上應(yīng)力在向和t向的分量正是極坐標下的正應(yīng)力和剪應(yīng)力由坐標變換可以得到它們與(px,py)的關(guān)系：lmpxO（d）mlpy把（c）式代入（d）式得到：ylmlxxy（e）mlm圖4.7yxy如果直角坐標下的應(yīng)力單元體斜截面的法向正好是極坐標中的切向（圖面上應(yīng)力在x向和y向的分量(px,py)為

c）( , )，σxyyxXpxnxyσxYpny面上的應(yīng)力變換4.7），那么截pxxxym（f）pylyxy那么斜截面上應(yīng)力在向和t向的分量正是極坐標下的剪應(yīng)力和正應(yīng)力(,)，由坐標變換可以得到它們與(px,py)的關(guān)系：l m pxm l py

（g）把（f）式代入（g）式得到：mml

xyyxy

m（h）l把（e）式和（h）式分別擴展為矩陣，而后相加就得到直角坐標應(yīng)力分量變換成極坐標下的應(yīng)力分量。lmxxylm（4.9）mlmlyxy用矩陣符號表示為1（i）TT式中——極坐標下的應(yīng)力矩陣；——直角坐標下的應(yīng)力矩陣；——二維的坐標變換矩陣；T-1——二維的坐標變換矩陣的逆矩陣。把（4.9）式展開得到從直角坐標到極坐標下的應(yīng)力變換公式xcos2ysin22xysincosxsin2ycos22xysincos（4.10）(yx)sincosxy(cos2sin2)通過對（i）式作矩陣運算可以求出從極坐標到直角坐標下的應(yīng)力變換矩陣式T1T（j）把（j）式展開則得到從極坐標到直角坐標下的應(yīng)力變換公式xcos2sin22sincosysin2cos22sincos（4.11）xy()sincos(cos2sin2)從理論上講，把4.3節(jié)導(dǎo)出的用極坐標描述的直角坐標應(yīng)力x，y和xy代入到（4.10）式中去，就可以得到極坐標下的應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)間的關(guān)系。這需要作一些煩瑣的運算。為簡單起見，我們給出4.3節(jié)導(dǎo)出的描述直角坐標應(yīng)力的（c）式、（d）式和（e）式如下：2222sinsinx22coscos222cos22222sin2y2cos2cossin222sin2222

2sin cos（4.3c）2sin cos（4.3d）xyxy2sincos2(cos2sin2)（4.3e）22(cos2sin2)sincos22sincos把（4.3c）式、（4.3d）式與（4.11）式相比較，很容易得到22222（4.12）22()可以證明:當ffρ0時,(4.12)能滿足平衡微分方程(4.2)式。在極坐標下略去體積力分量而按應(yīng)力求解平面問題時，可歸結(jié)為根據(jù)（4.8）式求出應(yīng)力函數(shù)，然后根據(jù)（4.12）求出各應(yīng)力分量，再使它們滿足邊界上的應(yīng)力邊界條件，同時要滿足位移單值條件。4.5軸對稱問題的一般解在工程上有一些結(jié)構(gòu)是旋轉(zhuǎn)體，而且他們所承受的荷載及約束又是關(guān)于軸截面對稱的，如架空的或埋置較深的地下管道（圖 4.8）、隧道以及機械上緊配合的軸套等。像這類構(gòu)件的幾何形狀、受力及約束關(guān)于通過 z軸的平面對稱而且無體積力作用的彈性力學問題簡稱為軸對稱問題。取形心為極坐標的原點。由于彈性體內(nèi)的各力學量都是關(guān)于任意通過原點的軸為對稱的，所以同一圓周上的任意兩個單元體都是對稱的，其應(yīng)力一定也是對稱的。換句話說，軸對稱問題的應(yīng)力僅僅是極徑 的函數(shù)，而與 無關(guān)。由于在一個截

O x面上是反對稱的應(yīng)力，在軸對稱的情況下必不可能y存在，即 0。同樣 0?？梢姡谳S對 圖4.8深埋的壓力管道稱問題中僅僅存在 和 兩個應(yīng)力分量，而且它們只是 的函數(shù)，()，()。我們首先求軸對稱問題的應(yīng)力分量。由于不考慮體積力，而且應(yīng)力分量中不含，所以在軸對稱的條件下平衡微分方程（4.2）式中的第二式自然滿足。這樣一來，獨立的平衡微分方程只有一個：d0（4.13）d其相容方程為(d2d)()0（4.14）d2d（4.14）式可以寫成1d[d()]0dd將（a）式積分兩次得到Bln C平衡微分方程（ 4.13）式改寫為d0d把它與（b）式相加，d2 Bln Cd方程（c）的特解和相應(yīng)的非其次方程的通解分別為A*BBC2，ln224由此得到徑向正應(yīng)力和周向正應(yīng)力分別為ABBC2ln422ABBC2ln422由于應(yīng)力是有界的，所以必有B0。把（e）式中的常數(shù)重新命名得到：

a）b）c）d）e）A2 C（4.15）A2 C此后，我們再求軸對稱問題的位移分量。由于并不知道坐標原點的約束情況，一般情況下位移是與極角有關(guān)的。把（4.15）式代入物理方程（4.4）求出各應(yīng)變分量，而后再用幾何方程（4.3）將應(yīng)變分量用位移表示，則有u1)1A(1)C]([(1)2EEuu1)1A(1)C]([(1)2（f）EEuuu0由（f）第一式積分得u

1

[(1

)

A

(1

)

C]

f(

)

（g）E把（g）式代入（f）式中的第二式，經(jīng)整理有uf( )把此式積分求得u f()d f1( ) （h）把（g）式（h）式代入（f）式中的第三式，得到uuu1f1()1f1()]0（i）f()[f()d對于兩個獨立的變量要保持（i）式恒成立，必須有f1()f1()f()f()dD（k）由此得出df1()f1()D（j）ddf()f()dD（l）d求解方程(j)，（j）式為線性微分方程，可用分離變量法求解:df1()df1()D其通解為f1()FD（m）（l）式對 求導(dǎo)，得出d2f()0（n）d2f()解之得f()IcosKsin（p）把（p）式代入（l）式，運算后可求得f()ddf()（q）DDIsinKcosd把（p）式代入（g）式得u1[(1)A(1)C]IcosKsinE把（m）式和（q）式代入（h）式得uFIsinKcos由此我們得出極坐標下軸對稱問題的位移解：u1[(1)A(1)C]IcosKsin（4.16）EuFIsinKcos式中A、C、F、I、K都是任意常數(shù)，其中F、I、K和2.3節(jié)中的、u0、v0一樣，代表剛體位移(由位移邊界確定)。如果是平面應(yīng)變問題，則僅需把式（4.16）做E換成E、12換成 的代換即可求得其位移分量。14.6受壓圓環(huán)或圓筒的解深埋地下的受壓管道可以簡化為軸對稱的力學模型，截取單位厚度的薄片就可以視為平面應(yīng)變問題。 為了簡單起見我們首先分析平面應(yīng)力問題， 而后可以通過彈性系數(shù)的代換得到 qb平面應(yīng)變的解。單位厚度的厚壁圓筒內(nèi)半徑 a,外半徑b，承受均布的內(nèi)壓力qa，外壓力qb（圖4.9）。

qa

x該問題簡化為軸對稱問題， a的內(nèi)邊界應(yīng)力邊界條件為

ay b圖4.9承受內(nèi)壓和外壓的圓環(huán)()aqa（a）()0a的外邊界應(yīng)力邊界條件為| b qb( ) b 0根據(jù)4.5節(jié)，軸對稱的應(yīng)力分量為ACAC0顯然，()a0和()b0自然能夠滿足。利用邊界條件（|ACqaaa2|bACqbb2求解關(guān)于A和C的方程組（c）得到Aa2b2(qbqa)，Ca2qab2qbb2a2b2a2把A和C的值代入（4.17）式，即得拉梅（Lame'）解:b211a222b2qaa2qb11a2b2b211a222qaqbb2a211a2b24.5節(jié)給出了軸對稱問題的位移分量為u1[(1)AC(1)]EuFIsinKcos

（b）（4.17）a）式和（b）式，（c）（4.18）（4.16）若適當給定約束條件，不僅彈性體無剛性位移，對稱面上亦無沿周向的位移，則(u)0，(u)/20，F(xiàn)KI0u(1)A(1)CEEu0Oxqa根據(jù)（4.18）式的結(jié)果討論幾種特例。1.只受內(nèi)壓（qa0，qb0）這是壓力容器最常見的受力方式，其應(yīng)力為圖4.10圓筒受內(nèi)壓(b)21(b)2qa1a（4.19）(b)21(b)2qa1a沿軸向受壓應(yīng)力作用，沿環(huán)向受拉應(yīng)力作用，分布狀態(tài)見圖4.10。最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力均在內(nèi)壁。()(b/a)21maxa(b/a)2qa，1σmax(σ)aqa。2.只受外壓（qa0，qb0）這是深埋管道的受力方式，其應(yīng)力為qb1(a)2Oxqb1(a)2（4.20）b1(a)2(a)qb12圖4.11圓筒受外壓b，均為壓應(yīng)力，分布狀態(tài)見圖4.11。徑向最大壓應(yīng)力在外壁，而環(huán)向最大壓應(yīng)力在內(nèi)壁。（）a2qb，當b遠達于a時，內(nèi)壁2，1，aqbρa1(2qbρb)b( ) a 0，( ) b -qb無限域開圓孔在內(nèi)壓用下當b時qb0b2(11)2limb22b2qaa2qab1)a2b2b2(1212)2lim1bqaa2qab2(1b2b2)a驗證圣維南原理：由圖4.12可以看出，在a處，應(yīng)力很小，可以不計，即在內(nèi)壓qa作用下，在b處圓孔的影響可略而不計。針孔問題（應(yīng)力集中）在含有針孔的大板受均勻分布的外壓時，在內(nèi)徑a0時()a22qbqb1(a)2b可見，孔徑雖然很小，但孔邊應(yīng)力卻提高了近常在孔邊發(fā)生開裂，就是這個原因。

（4.20）rxOqay圖4.12圓孔的應(yīng)力集中2倍，這就是應(yīng)力集中現(xiàn)象。 工程實際中4.7壓力隧洞（無限大彈性體內(nèi)的內(nèi)壓圓筒）像埋置較深的地下輸送液體或氣體的管道、 帶有內(nèi)襯的地下巷道或隧道等結(jié)構(gòu)物， 在研究內(nèi)層管道本身的應(yīng)力與變形的同時， 常常需要考慮外層材料的受力與變形。 對這類問題的分析需要利用兩個彈性體在接觸面上的變形協(xié)調(diào)關(guān)系， 所以它也是一種接觸問題。 按接觸條件可以把接觸問題分為兩大類：一類是完全接觸，即兩彈性體的接觸面保持緊密接觸，不發(fā)生相對滑動。 （a）在接觸面上的應(yīng)力條件是正應(yīng)力 相等，剪應(yīng)力 也相等；（b）在接觸面上的位移條件是徑向位移u相等，環(huán)向位移 u也相等。另一類是非完全接觸， 即兩彈性體的接觸面是光滑的， 但接觸面依然保持緊密接觸。（a）在接觸面上的應(yīng)力條件是正應(yīng)力 相等，剪應(yīng)力 等于零；（b）在接觸面上的位移條件是徑向位移u相等，而環(huán)向位移 u不相等（相對滑動）一般來說壓力隧洞屬于完全接觸。設(shè)圓管埋置的深度遠大于其直徑，可以視為圓筒是埋在無限大彈性體中，管內(nèi)部受均勻分布的壓力q（圖4.13）。管道材料的彈性常數(shù)E、μ，彈性體材料的彈性常數(shù)E、μ，求管道和外層彈性體的各應(yīng)力分量。顯然這是一個軸對稱問題，它們的應(yīng)力分布也是軸對稱的，所以4.5節(jié)和4.6節(jié)的結(jié)果（4.15）式和（4.16）式仍然適用。分別給出圓筒、無限大彈性體的應(yīng)力與位移表達式，但須注意它們具有不同的材料彈性常數(shù)及積分常數(shù)。圓筒的各應(yīng)力分量為：ACq2AC（4.17）O20無限大彈性體的各應(yīng)力分量為圖4.13壓力隧洞AC2AC（4.21）20在兩組方程中有四個待定常數(shù)。根據(jù)圣維南原理，當時無窮遠處應(yīng)力近乎為零，所以在（4.21）式中有：()0（a）()0由此得出C0。要確定另三個待定常數(shù)還需要三個條件。利用圓筒內(nèi)表面的邊界條件有(ACq（b）)b2a無限大彈性體和圓筒的接觸面上，它們的面力是作用力與反作用力的關(guān)系，所以徑向面力相等：()b()b，把C0代入即有AA（c）b2Cb2要確定A還要利用兩個部分的變形連續(xù)條件。由于這里取出的單位厚度的薄片屬于平面應(yīng)變問題，所以求圓筒的位移需要對（4.16）式進行E換成E、換成的代211換，變?yōu)?[(12)CAIcosKsinu]（4.22）EuFIsinKcos無窮遠處的彈性體內(nèi)各點位移為零， 而且兩彈性體是完全接觸， 所以約束可看作是軸對稱的，故有u0，也就是說FIK0，僅有u存在。平面應(yīng)變狀態(tài)下圓筒外邊界的徑向位移為：(u)ρb1[(12)CbA]（d）Eb同理，含圓孔的無限大體的位移為u1[(12)CA]IcosKsinE（4.23）uFIsinKcos同樣，無限大體的位移中u0，即所以有FIK0。注意到C0，平面應(yīng)變狀態(tài)下無限大體內(nèi)的徑向位移為u1[(1A（e）E)在無限大體內(nèi)圓孔邊界b的徑向位移為(u)ρb1A（g）Eb由于兩物體接觸面的徑向位移相等，(u)b(u)b，即1[(12)CbA]1A（h）EbEb由第（h）式整理：E(1)[(12)Cb2A]A0（i）E(1)E(1)令n,（i）式改寫成E(1)n[(12)Cb2A]A0（j）（b）式、（c）式和（h）式聯(lián)立Aa2 C qACA（k）b2b2n[(12)Cb2A]A0求解關(guān)于A、C、A'的三元一次方程組（ k）式求得Aqb2[1n(12)]b2[1n(12(1n))]2aCq1n（k）2[1n(12)]b2(1n)aAq2n(1-)b22[1n(12)]b2(1n)a把A、A'、C、C'回代到應(yīng)力分量表達式（4.15）和（4.21）式中，得到各應(yīng)力分量為：2[1n(12)]b2(1n)qb2[1n(12)]a2(1n))]b2[1n(122(1n)qq（4.24）b2O[1n(12(1n))]2a)b2E,2n(12aE,qb2b[1n(12(1n)圖4.14壓力隧洞應(yīng)力分布)]2a當n1時，應(yīng)力分布大致如圖4.14。4.8薄板中圓孔的應(yīng)力集中工程實踐告訴我們，如果受拉伸的板中有一個圓孔的話，一般來說破壞總是首先從圓孔處開始。下面我們要研究均勻拉伸應(yīng)力場中圓孔附近的應(yīng)力分布狀態(tài)。假設(shè)一個受水平方向均勻拉伸的無限大板中間有一個半徑為 r的圓孔（圖 4.15）。板厚為一個單位，分布力集度為q，不計體力分量，求板內(nèi)各應(yīng)力分量。對于薄板受均勻拉伸的問題已經(jīng)在用直角坐標求解平面問題中作過介紹，但是其中圓孔用直角坐標描述很不方便。為了便于求解,我們必須把無限大板的均勻應(yīng)力場用極坐標描述，為此，我們作一個半徑為b且與圓孔同心的大圓作為假想的新邊界（b>>r）。這就將薄板直邊界轉(zhuǎn)換為圓邊界（圖4.16），從而可以采用極坐標研究。在半徑為b的圓周上各點受力狀態(tài)都是均勻拉伸狀orx態(tài)，即xq，yτxy0，由坐標變換式（4.10）式求得邊界上極坐標下的應(yīng)力分量，以此作為無限遠處yqb的應(yīng)力邊界條件。圖4.15圓孔的應(yīng)力集中()bqqcos222rx()bqqcos2（a）bo22q()qxbsin2y2圓孔r的邊界條件為：圖4.16新建的邊界()r0,()r0（b）根據(jù)無限遠處應(yīng)力邊界條件可以看出：和的分布是關(guān)于x軸和y軸對稱的，是周期為的函數(shù)，而xy是關(guān)于x軸和y軸反對稱，也是周期為的函數(shù)。為此，設(shè)板內(nèi)各點的三個應(yīng)力分量函數(shù)形式具有與遠處應(yīng)力相類似的形式，分別為：F()f()cos2G()g()cos2（c）h()sin2把（c）式分別代入平衡微分方程（4.2）式和相容方程（4.7）式可得dFFG(dffg2h)cos20dd(d)(dh2g2h)sin20dd2d(F）[d22(fg)dg)4d2(FG)dGd(f2(fg)]cos20d要使（d）式中關(guān)于自變量的函數(shù)sin2或cos2的多項式恒為零，得到兩組方程：第一組方程d2(FG)d(FG）02d(e)ddFFG0d比照4.5節(jié)中方程（4.12）式的解法，同樣利用應(yīng)力的有界性，由方程組（e）解得F()AB2（f）AG()B2第二組方程dffg2h0ddh2g2h0（g）dd2(fg)d(fg)4(fg)0d2d2（g）式中的第三式是關(guān)于(fg)的歐拉方程，它的特征根12，22所以它的解為fg2CD(h)2（g）式中的第一式減去第二式，dd

(f h) f g 0把（h）式代入其中后可以得到dh)2CD0(f2dfh12CD2E22式和(j)式相減得到gh32CD2E22代入方程（g）式中的第二式dhh)4hdh32CD2E02(g4h2dd即dh2CD4h322Ed方程（l）的一個特解為h*12CD1E2222

(i)(j)k）l）方程（l）的通解是h12CD1G222E42把h代入（j）式和（k）式中，得到fD1EG224g2C1EG24由于應(yīng)力是有界的，所以C0。由此得出應(yīng)力的函數(shù)表達式ABD1G)cos22(2E42AB(1G)cos2（m）2E42(D1G2222E4)sin利用應(yīng)力邊界條件確定常數(shù)，b的外邊界的應(yīng)力邊界條件（a）為( )( )( )

bbb

B1Ecos2qqcos2222B1Ecos2qqcos2（n）2221qEsin2sin222由此確定出常數(shù)B和E，Bqq。利用r的內(nèi)邊界上的應(yīng)力邊界條件,，E2()r0,()r0,則有()AqDpG0rr2(r22r4)cos22（p）()r(DqG)sin202r22r4由此得出A1r2q,D2r2q,G3r4q。含圓孔的無限大板單向均勻拉伸下的解為22qr2q(14r23r4(12)24)cos222qr2q(13r4(4.25)(12)4)cos222q(12r23r424)sin22在r的孔邊，環(huán)向應(yīng)力q(1 2cos2)圓周上環(huán)向應(yīng)力幾個重要的數(shù)據(jù)列于表 4-1：表4-1圓周上幾個重要的應(yīng)力數(shù)據(jù)030o45o60o90oq0q2q3q在的徑線上環(huán)向應(yīng)力2q(1

r

3r42 4)2

2的徑線上環(huán)向應(yīng)力幾個重要的數(shù)據(jù)列于表 4-2：2表4-2徑線上幾個重要的應(yīng)力數(shù)據(jù)r2r3r4r5r3q1.22q1.07q1.04q1.02q圖4.17給出了三條徑線上環(huán)向應(yīng)力的分布情況。研究圓孔邊的應(yīng)力分布可以看出，孔邊附近的局部區(qū)域應(yīng)力發(fā)生應(yīng)力增大的現(xiàn)象，我們稱之為應(yīng)力集中?？走叺淖畲髴?yīng)力與無孔時應(yīng)力的比值稱為應(yīng)力集中系數(shù)。在r的圓周上，時，有最大值2()max|r3q(4.26)2孔邊的最大應(yīng)力比無孔時提高了2倍。圓孔的應(yīng)力集中系數(shù)K3。當(4～5)r時，q，在y軸上應(yīng)力已接近于均勻分布。說明5r時圓孔的影響已經(jīng)很小，這再次驗證了圣維南原理的正確性。qoo沿著0的x軸方向環(huán)向應(yīng)力為qo3qoxqr23r2o(21)3qoqoqo22qor處，q；在3r處，0（圖y圖4.17孔邊的應(yīng)力分布4.17）。在r3r的區(qū)間內(nèi)，壓應(yīng)力的合力為F3r)0d1.924qrr(換言之，當圓孔處于壓應(yīng)力q作用下時，在孔邊也會產(chǎn)生最大值為q的拉應(yīng)力。對于抗拉性能較差的材料來說特別應(yīng)該注意。所得到的單向均勻拉伸應(yīng)力場中圓孔的解可以很容易用于求解雙向均勻拉伸圓孔（圖4.18）的應(yīng)力分析中去。 把(4.25)式中的角度用 代替，就得到y(tǒng)向拉伸的解。如果y2向分布力的集度為 q2（圖4.18b），x向分布力的集度為 q1（圖4.18c），那么用疊加法可求得雙向均勻拉伸情況下圓孔邊的應(yīng)力解（圖 4.18a）(q1) (q2)(q1) (q2) （q）(q1) (q2)（a） （b） （c）圖4.18兩向均勻拉伸情況下應(yīng)力場的疊加即使在任意平面應(yīng)力狀態(tài)下，只要應(yīng)力變化梯度不大而且圓孔直徑又足夠小?？梢韵惹蟪鲈搮^(qū)域內(nèi)的主應(yīng)力 1、 2（或 3）。令q1 1，q2 2（或q2 3），再利用（q）式計算圓孔的應(yīng)力集中。嚴格地說這樣做是有誤差的，但其結(jié)果仍可以給出有實用價值的初步估算。4.9平面楔頂部受力 .半無限平面受法向力4.9.1. 平面楔頂部受力有一單位厚度的平面楔，楔體的中心角為2，下端當作無限延伸。在楔頂部單位厚度上受方向沿對稱軸的集中荷載F作用（圖4.19），不計體積力，計算楔形體中的應(yīng)力。我們采用主應(yīng)力坐標系求解該問題較為簡單。為此，我們首先建立主用力坐標系并導(dǎo)出拉梅—麥克斯韋爾方程。所謂主應(yīng)力坐標系是指由兩個主力的跡線所構(gòu)成的坐標系。 Fy彈性體內(nèi)的主應(yīng)力1、2正交，主應(yīng)力1的跡線為s1，主應(yīng)力2的跡線為s2。規(guī)定由1轉(zhuǎn)到2逆時針向為正，而且增加時應(yīng)力矢量逆時針向轉(zhuǎn)時為 s正向（圖4.20）。在主應(yīng)力坐標系下，每

o個以兩組平行的坐標面截得的微單元體上僅有正應(yīng)力1和2作用，而沒有剪應(yīng)力作用。令x1 2， 1 2 (a) 圖4.19a平面楔受集中力根據(jù)斜方向上的應(yīng)力公式可以得到 x、y方向的應(yīng)力分別為

y 2 1xyxy把（4.27)和 都是

1(cos2)21(cos2)(4.27)2sin22式代入平衡微分方程（2.2）式的第一式，注意到、x、y的函數(shù)。那么主應(yīng)力坐標系下的平衡微分方程為

s1s2O x圖4.20主應(yīng)力坐標系xcos22sin2xsin22cos2xyy

0 （b）為了簡單起見，現(xiàn)在就主應(yīng)力跡線 s1恰好與x方向一致，而且主應(yīng)力跡線 s2也恰好與y方向一致的特殊情況導(dǎo)出主應(yīng)力跡線坐標下的平衡微分方程。由于我們并不確知單元體上兩個主應(yīng)力的大小，這里把和x方向一致的主應(yīng)力作為1，和y方向一致的主應(yīng)力作為2并不影響對問題的討論。顯然，0時cos21，sin20，ds1dx，ds2dy，所以（b）式可以寫成()20（c）s1s2把（a）式代入（c）式，正是主應(yīng)力2跡線曲率，用曲率半徑表示為1，所ds2ds22以有1120（d）s12做與此相同的推導(dǎo)，可以把平衡微分方程（2.2）的第二式也寫成用主應(yīng)力及其跡線的曲率表示的形式，由此得出主應(yīng)力坐標下的平衡微分方程——拉梅—麥克斯韋爾方程。1 1 2s1 22 1 2s2 1

0（4.28）0楔頂部受集中荷載 F的邊界條件為( ) 0，( ) 0顯然， 的直線都是主應(yīng)力 1跡線。由于本問題屬于對稱問題， 所以 0的對稱面上沒有剪應(yīng)力作用， 0直線也是一條主應(yīng)力 1跡線。顯然三條主應(yīng)力 1跡線交于一點。根據(jù)主應(yīng)力跡線的性質(zhì)可以推斷：三條主應(yīng)力 1跡線的交點就是這種主應(yīng)力跡線的一個交匯點，也就是說1的主應(yīng)跡線是匯聚于O的射線族。另一組主應(yīng)力2跡線與該射線族中各條主應(yīng)力跡線正交，故必為一組以O(shè)為圓心的同心圓弧?？梢娭鲬?yīng)力跡線坐標系的1坐標線正是極坐標的極徑線，而2坐標線正是環(huán)線，即s1，s2d。這時曲率半徑有1，2，而且1，2。方程（4.28）作如上代換，主應(yīng)力跡線坐標系——極坐標系下的平衡微分方程變?yōu)?0由(e)式中的第二式積分得到f( )根據(jù)邊界條件 ( ) 0，所以f( ) 0把(f)式代入（e）式的第一式，得出0解此方程得到K( )把(f)式和(g)式代入應(yīng)力表示的相容方程（4.7）式2K()]0[()22][由（h）式得13[K()K()]0

(e)(f)(g)(h)為自變量，所以有K( ) K( )] 0解之得到K( ) Icos Jsin代入（g）式，有1(IcosJsin)（i）式中I、J是待定常數(shù)，要確定I、J必須利用頂部的合力條件。取半徑為的部分楔體，利用隔離體在x向和y向的平衡：cosd(IcosJsin)cosdFsind(IcosJsin)sind0解得I2F，J02sin2半無限楔體頂部單位厚度上受方向沿對稱軸的集中荷載F作用下的應(yīng)力解為2Fcos(2sin2)00（4.26）如果平面楔頂受任意集中力，可以把集中力分解為沿對稱面 x向的Fx和y向的Fy(圖3)。平面楔頂僅受 Fy作用又可以轉(zhuǎn)化受兩個 1Fy作用的反對稱問題，其應(yīng)力也必然是反對2稱的。如果 x軸截面存在剪應(yīng)力，根據(jù)剪應(yīng)力互等定理知道圓弧面上的剪應(yīng)力分布違背了反對稱規(guī)律。可知 x面上 0，同樣得出主應(yīng)力跡線坐標系與極坐標系是等價的結(jié)論。可按上述解法，只需將邊界條件改為cosd(IcosJsin)cond0FxyoFysind(IcosJsin)sindFy這樣可得解為2Fcos(2 sin2 )0 （11）0

x圖19b平面楔頂受集中力由此不難得到受斜任意集中力 F作用時的解，通常稱為密切爾解。4.9.2. 半無限平面受法向集中力如果，則上述問題轉(zhuǎn)化成半無限平面受法向力（圖4.21）。單位厚度上的力為F，2邊界條件為()0，()0。在（4.26）式中令，則得到半無限平面222受法向集中力的解Fy2Fcoso0（4.27）x0圖4.21半無限平面受法向力由（4.27）式的第一式得出D (k)cos(k)式表明，直徑 D 圓上各點，應(yīng)力 是相等的，此時應(yīng)力解可以表示成cos2FD0 （4.27）04.9.3. 半無限平面受法向力的位移計算（4.27）式代入物理方程（ 4.4）式，得出位移分量2FcosE2 FcosE0

（l）把（l）式代入幾何方程（ 4.3）式得到u2FcosuuE2Fcos（m）Euuu0由（m）式的第一式對 積分得到徑向位移2Fu ln cos f( ) (n)E把（n）式代入（m）式的第二式，經(jīng)運算可以得到u2Fln)cosf()（o）(E該式對積分得到環(huán)向位移u2F(ln)sinf()df1()（p）E把（n）式和（p）式代入（m）式的第三式，得到2Flnsinf2Fsinf1()2Fln)sinf1()f()d0E()(EE這是一個分別以和為自變量的兩個函數(shù)構(gòu)成的恒等式，由此可以得到關(guān)于函數(shù)f()和函數(shù)f1( )的兩個方程。第一個方程是f1()f1()G（q）即df1()df1()G求解得到f1()HG（r）第二個方程是2F(1)sinf()f()df1()f1()G（s）E方程（s）是積分方程，對求導(dǎo)得到微分方程f()f()2F(1)cosRe[2F(1)ei]（t）EE方程（t）對應(yīng)的齊次方程的通解為f()IcosKsin方程（t）的一個特解為f*()2F(1)sinE所以方程（t）的解為f()2F(1)sinIcosKsin（u）E把（u）式代入（s）式，可以得出f()d2F(1)sinf()G2F(1)cosIsinKcos（v）EE把（u）式、（v）式和（r）式分別代入 (n)式和（p）式得出半無限平面內(nèi)各點的位移分量u2Fln2F(1)sinIcosKsincosEE把f()d和f1()帶入到（p）式可得到u，得到的位移分量寫成u2Fcosln2F(1)sinIcosKsinEEu2Fsinln2F(1)sin2F(1)cos（w）EEEIsinKcosHG式中H、G、I和K為待定常數(shù)。根據(jù)對稱性知道，在0處，環(huán)向位移u0，即(u)0HG0由此得出HG0。把它們代入（w）式便得到半無限平面的位移解u2Fln(1)sinIcoscosEFE（4.28）2Fsin(1)(1)FulnFsincosIsin式中IEEE表示剛體位移，必須利用約束條件才能確定。對稱軸上各點的位移為u)02FlnIE半無限平面邊界上各點的位移為(u)[2Fln(1)FI]（x）2EE我們把半無限平面邊界上各點沿x向的位移稱作沉降量。由于I無法確定，所2以只能選取一個足夠遠的基點B(s,)作為相對位移的參考點。把要求點的位移相對基點B的差值作為相對沉降量（圖24.22）?；c距荷載作用點的距離為s，極角，其位移為2(u) s2

2Flns(1)FIEE（y）到荷載作用點的距離為，極角的點M,其位移為2(u)2Fln(1)FI（z）sF2EEy邊界上M點相對于基點B的沉降量為BMOuMuB由此得出沉降量公式x圖4.22沉降量的計算2Flns（4.29）E4.10 半無限平面體在邊界上受分布力在工程中，常常遇到半無限平面所承受的荷載分布范圍較大，已不宜作為集中荷載處理。這時我們則把這種情況簡化為半無限平面受分布力作用，可以通過對半無限平面受集中荷載解的積分得到新問題的解。半無限平面直角坐標下的應(yīng)力分量可通過對（4.9）式進行dFqd坐標變換得到y(tǒng)x xyyx y展開后得到

lm0lmml00ml

A o Bda b2Fcos3CCxcos2M(x,y)xM(x,0)22Fsin2cosysin（a）圖4.23x應(yīng)力影響線xysincos2Fsincos2半無限平面受集中力作用，直角坐標下的應(yīng)力分量為x2Fx3(x2y2)2y2Fxy2（4.30）(x2y2)22Fx2yxyyx(x2y2)2集度為q()的面力作用于半無限平面的邊界AB上，現(xiàn)在要求任意一點M(x,y)處的應(yīng)力分量。為此，我們以應(yīng)力x為例，介紹應(yīng)力影響線的概念。（4.30）式給出了在O點作用的一個單位的法向集中力所產(chǎn)生的應(yīng)力x，它的分布如圖4.23中關(guān)于x軸對稱的曲線，在M處的應(yīng)力x(x,y)為縱坐標MC的值。同樣，如果一個單位的法向集中力作用于M點所對應(yīng)的A點，那么它所產(chǎn)生的應(yīng)力x分布如圖4.23中關(guān)于AM直線對稱的曲線。這兩個集中力所產(chǎn)生x兩條分布曲線是對稱圖形?？梢钥闯?，O點的力在M處產(chǎn)生的應(yīng)力等與A點的力在M處產(chǎn)生的應(yīng)力。換句話說，O點的力在M處產(chǎn)生的應(yīng)力等與A點的力所產(chǎn)生的應(yīng)力x分布曲線上O點下方的線段MC，即x(x,y) x(x,0) MC可見，A點作用力的應(yīng)力分布曲線就是 O點的力在 M處產(chǎn)生的應(yīng)力 x的影響線。作用于 處微段上的dp qd 所引起的各應(yīng)力分量在 M點的值是dp下方應(yīng)力影響線下曲邊梯形的面積。ddd

x2qdx3[x2(y)2]2y2qdx(y)2（b）[x2(y)2]2xy2qdx2(y)[x2(y)2]2對（b）式進行積分就可以得到整個分布荷載在點 M所產(chǎn)生的應(yīng)力值x2aqx3db[x2(y)2]2y2aqx(y)2d（4.31）b[x2(y)2]2xy2aqx2(y)db[x2(y)2]2如果分布在b到a間的荷載的集度q為常量，則各應(yīng)力分量為xq[arctanybarctanyax2x(yb)2x2x(ya)2]xx(yb)(ya)qybyax(yb)x(ya)（4.32）y[arctanxarctanxx2(yb)2x2(ya)2qx2x2xy[x2(yb)2x2(ya)2]設(shè)單位力均勻分布在半無限平面邊界從c到c間的一段邊界上，分布的集度為1，I點為s的一點K的沉降量。22c求離分布力中心我們根據(jù)位移互等定理建立K點沉降量的影響線（圖4.23）。邊界A點處的單位力在K點產(chǎn)生的沉降等于K點的力在A點的沉降量，所以把單位力作用于K點產(chǎn)生的沉降曲線作為K點沉降量的影響線。那么dF引起的K點沉降可由（4.30）式計算d2dFlns2lnsd（c）EEc式中——為dF到K點的距離；s——dF與基點B的距離。由于s隨變化，為了簡化上式，設(shè)基點B的距離取得很遠，則s，積分時將s視為常數(shù)。若K點在荷載分布區(qū)間之外，則K點沉降量為kix2cdkix2c2lnsd（d）x2cx2cEc所以ki1(Fkic)E式中

1dF dc1C K Bd A Iscx2c2 2 xcxy 2圖4.23K點的沉降影響線4.33）Fkixln(2x1x21)2c)ln(4cs1c222(lnscc1ln2)（e）c若K點在荷載分布區(qū)間的中點，則ki

4Ec

c20

lnsd（4.34）積分結(jié)果仍為（4.33）式，常數(shù)仍由（e）式計算。但Fki0。當x為整數(shù)時（含x0）cc可以由表（4-3）查出Fki的數(shù)值。如果是平面應(yīng)變問題，則需要做EE2和11代換。表4-3半無限平面沉陷公式中的Fki值x012345678910cFki0-3.296-4.751-5.574-6.154-6.602-6.967-7.726-7.544-7.780-7.991x11121314151617181920cFki-8.181-8.356-8.516-8.664-8.802-8.931-9.052-9.167-9.275-9.378習 題4-1試比較極坐標和直角坐標中的平衡微分方程、幾何方程和物理方程，指出哪些項是相似的，哪些項是極坐標中特有的?并說明產(chǎn)生這些項的原因。4-2試導(dǎo)出極坐標和直角坐標中位移分量的坐標變換式。uuconvsinuuconusin答案：usinvcos，usin。u