高中數(shù)學(xué)經(jīng)典例題-與圓有關(guān)的最值問題

精彩解讀【試題來源】人教A精彩解讀【試題來源】人教A版必修2PlM組T6.(1)求證：直線l恒過定點(diǎn);【母題評析】本題考查圓的有關(guān)最值問題,高中數(shù)學(xué)經(jīng)典例題-與圓有關(guān)的最值問題I.題源探究?黃金母題【例1】已知圓C:(X-12+(y-2)2=25，直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,m為任意實(shí)數(shù).考查考生的分析問題，解決問題的能力.考查考生的分析問題，解決問題的能力.(2)判斷直線l被圓截C得的弦何時(shí)最長、何時(shí)最短？并求截得的弦長最短時(shí)m的值以及最短長度.【思路方法】結(jié)合圓的有關(guān)幾何性質(zhì)解題.【答案】(1)(3,1)；(2)-3i5.4【解析】(1)直線l的方程經(jīng)過整理得(2x+y-7)m+(x+y-4)=0.由于m的任意性，于是有尸X+y—7,解此方程組，得；X=3,,即直線l恒過定點(diǎn)[x+y-4. [y=1D(3,1).(2)因?yàn)橹本€l恒過圓C內(nèi)一點(diǎn)D，所以當(dāng)直線l經(jīng)過圓心C時(shí)被截得的弦最長，它是圓的直徑；當(dāng)直線l垂直于CD時(shí)被截得的弦長最短.由CG,2),D(3,1)，可知直線CD的斜率為k=-1，故當(dāng)直線l被圓C截得的弦長最短時(shí)，直線CD2l的斜率為2，于是有-也+1=2，解得m=-3，此時(shí)直m+1 4線l的方程為y-1=2(X-3)，即2X-y-5=0。又C^D^=\：'(1-3)+(2-12=、5，最短弦長為2v25-5=4,療。直

線/被圓C截得的弦最短時(shí)m的值為_3，最短長度是4^。4II.考場精彩?真題回放【例2】【2017高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系元°丁中，點(diǎn)【命題意圖】本類題主要考查點(diǎn)與圓、直線與圓?圓與圓位置關(guān)系，以及考查邏輯思維A(—12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P在圓O：X2+y2二50【命題意圖】本類題主要考查點(diǎn)與圓、直線與圓?圓與圓位置關(guān)系，以及考查邏輯思維PA?PB^20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 .【答案】［―5"1］【解析】不妨設(shè)PQ,y)，則X2+y2=50，且易知0 0 0 0X0￡,5挺,5應(yīng)］.因?yàn)辂?P二AP?麗=（X。+12,y0）G0,y0-6）=能力■運(yùn)算求解能力■數(shù)形結(jié)合的能力、方程思想的應(yīng)用.【考試方向】這類試題考查根據(jù)給定直線、圓方程判斷點(diǎn)與圓、直線與圓■圓與圓的位■關(guān)系，同時(shí)考查通過數(shù)形結(jié)合思想、充分X2+12X+y2-6y=50+12x-6y<20，故0 0 0 0 0 02x0-y0+5<0.11y

利用圓的幾何性質(zhì)解決圓的切線■圓的弦長等問題.在考查形式上，主要要以選擇題.填空題為主，也有時(shí)會出現(xiàn)在解答題中，中^6.【難點(diǎn)中心】.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法((1)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑長〃的大小關(guān)系來判斷.若d>r，則直線與圓相離；若d=r,則直線與圓相切；若d<r，則直線與圓相交.所以點(diǎn)P（x0,y°）在圓O:x2+y2=50上，且在直線x-y+5=0的左上方（含直線）.聯(lián)立Jx2+y2=50[2x-y+5=0得A=-5,x2=1,如圖所示，結(jié)合圖形知xg|^-5>/2,1].(2)^數(shù)法故填［-5/12.點(diǎn)與圓,與圓位置關(guān)系的判斷方法，類似的也有幾何法和代數(shù)法兩種;3.比較圓心距與兩個(gè)圓的半徑和與半徑差點(diǎn)故填［-5/12.點(diǎn)與圓,與圓位置關(guān)系的判斷方法，類似的也有幾何法和代數(shù)法兩種;3.比較圓心距與兩個(gè)圓的半徑和與半徑差點(diǎn)（1,0）為圓心且與直線mx-y（m￡R）相切的的大小關(guān)系，特別是遇到參數(shù)問題時(shí)，如何所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為建立等式或不等式是一個(gè)難點(diǎn).【例3】【2015高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系％0y中，以【答案】（x-1）2+y2=2【解析】解法一（幾何意義）：動直線mx-y-2m-1=0整理得m（x-2）-（y+D=0，則i經(jīng)過定點(diǎn)M（2,-1），故滿足題意的圓與/切于M時(shí)，半徑最大，從而r=\；（2-1?+（-1-01=庭，故標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+y2=2.解法二（代數(shù)法一基本不等式）：由題意r=d=Jmd、叵亙Vm2+1\'m2+1，當(dāng)且僅當(dāng)m，當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)，取"=”.故標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2...一. . 一m—1解法三（代數(shù)法A判別式)：由題目r_d_/ ?解法三（代數(shù)法m2+1m2+2m+1設(shè)t_m2+2m+1貝j(t—1)m2—2m+t—1_0，?二mgR,max??.A=(—2>-4(t—1>>0，解得0<t<2,,dmax【例4】【2015高考廣東卷】已知過原點(diǎn)的動直線/與圓Cjx2+y2-6x+5=。相交于不同的兩點(diǎn)A,B.（1）求圓ci的圓心坐標(biāo)；（2）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；（3）是否存在實(shí)數(shù)左，使得直線l:y=k（x-4）與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）（3,0）；（2）(3)2752行亍，〒?【解析】（1）由x2+y2-6x+5=0得（x-3>+y2=4，所以圓C的圓心坐標(biāo)為（3,0）；i（2）設(shè)M（x,y）.因?yàn)辄c(diǎn)M為弦AB中點(diǎn)，即C1M1AB，所以kCM-kAB=T，即號.x=」，所以線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的方程為. 3 .（3）由（2）知點(diǎn)M的軌跡是以C-,0為圓心，r==為半徑的部分圓弧網(wǎng)不包括兩端點(diǎn)）,且d-呼.又直線/:y=k(x—4)過定點(diǎn)D(4,0),TOC\o"1-5"\h\z1/3八八 一當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，由k[2—4）~°3得k=±3.\o"CurrentDocument"■!——=_ 4kk2+12 2又k=-又k=-k=DEDFV3/54-32c5，所以當(dāng)7k，卜I，!W24，孚時(shí)，直線1:y=k(x-4)與曲線c只有一個(gè)交點(diǎn).iii.理論基礎(chǔ)?解題原理考點(diǎn)一與截距有關(guān)的圓的最值問題形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.考點(diǎn)二與斜率有關(guān)的圓的最值問題形如日=匕b形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.x-a考點(diǎn)三與距離有關(guān)的圓的最值問題在運(yùn)動變化中，動點(diǎn)到直線、圓的距離會發(fā)生變化，在變化過程中，就會出現(xiàn)一些最值問題，如距離最小，最大等.這些問題常常聯(lián)系到平面幾何知識，利用數(shù)形結(jié)合思想可直接得到相關(guān)結(jié)論，解題時(shí)便可利用這些結(jié)論直接確定最值問題.常見的結(jié)論有：(1)圓外一點(diǎn)A到圓上距離最近為|Aq-r，最遠(yuǎn)為忤。|+r；(2)過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長為圓的直徑，最短為該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦;(3)直線與圓相離，則圓上點(diǎn)到直線的最短距離為圓心到直線的距離d+r，最近為d-r;(4)過兩定點(diǎn)的所有圓中，面積最小的是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的面積.(5)直線外一點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離中，最短的是點(diǎn)到直線的距離；(6)兩個(gè)動點(diǎn)分別在兩條平行線上運(yùn)動，這兩個(gè)動點(diǎn)間的最短距離為兩條平行線間的距離.考點(diǎn)四與面積相關(guān)的最值問題與圓有關(guān)的最值問題，因與平面幾何性質(zhì)聯(lián)系密切，且與圓錐曲線相結(jié)合的命題趨勢，使與圓相關(guān)的最值問題成為命題寵兒.與圓的面積的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有時(shí)可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.17.題型攻略?深度挖掘【考試方向】這類試題，通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題、中檔題；若以解答題的形式呈現(xiàn)，則有一定難度.【技能方法】形結(jié)合法處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解.研究與圓有關(guān)的最值問題時(shí)，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.常見的最值問題有以下幾種類型：①形如r=曰形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t=ax+by形式的最值問x一a題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；③形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.2.建立函數(shù)關(guān)系求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系的特點(diǎn)選用參數(shù)法、配方法、判別式法等進(jìn)行求解.2.利用基林等式求解最值如果所求的表達(dá)式是滿足基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，如1?b或者〃+b的表達(dá)式求最值，常常利用題設(shè)條件建立兩個(gè)變量的等量關(guān)系，進(jìn)而求解最值.同時(shí)需要注意，"一正二定三相等”的驗(yàn)證.V舉一反三?觸類旁通考向1與斜率有關(guān)的圓的最值問題【例1】如果直線2ax-by+14=0(a>0,b>0)和函數(shù)/(1=3+i+1(m>0,m中1)的圖象恒過同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓(x-a+1)2+(y+b-21=25的內(nèi)部或圓上，那么-的取值范圍是a(34-，，143」【答案】C【解析】函數(shù)f(x)=mx+1+1恒過定點(diǎn)(-1,2).將點(diǎn)(-1,2)代入直線2ax-by+14=0可得-2a-2b+14=0，即a+b=7,(a>0,b>0).由點(diǎn)(-1,2)在圓(x-a+1)2+(y+b-2)2=25內(nèi)部或圓上可得(-可得(-1-a+1)2+(2+b-2)2<25即a2+b2<25(a>0,b>0).a+b=7fa=3Tfa=41 -一n人,或<-a2+b2=25 [b=4 [b=3.所以點(diǎn)(點(diǎn)(a,b)在以A(3,4)和B(4,3)為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動.b表示以A(3,4)和B(4,3)為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與afb1 4-04一— ——1a) 3fb1 4-04一— ——1a) 3-0 3max.所以3<a-3.故C正確.1a) 4-04min【例2】已知圓C:x2+y2-8x+15—0，直線y—kx+2上至少存在點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)P為原心，半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最小值是 ()A.-43【答案】A【解析】試題分析:因?yàn)橹躤的方程為^+/-8x+15=0」整理得(工―4)，+/=1，所以圓心為C(430),半徑為「二L又因?yàn)橹本€N二丘+2上至少存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)產(chǎn)為圓心，半徑為1的圓與圓。有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)。到直線尸=版+2的距離小于或等于2,所以牛絲1<2,化簡39+4也<0,解得《尹+14 4一^^5所以南的最小值是一『故選A.【跟蹤練習(xí)】1.已知實(shí)數(shù)x、y滿足X2+y2=4，則2孫的最小值為 （）x+y-2A.2—2MB.2M—2C.2+2v/2 D.—2—2M【答案】A【解析】由已知區(qū)耳■產(chǎn)川得二(x+y)3—2金=4=2冷=(x+y)i—4=0+y+2)O+y—2),從而—紅)=葡+y+2=心則直線尤+/+2—』=。與圖x3+y3=4有交點(diǎn)、，所以有2二衛(wèi)x+y-2 /2z-2|<2^/2?2-272<2<2+2-./2,^=2-272，故選A.2.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，圓C：(x+11+(y—61=25，圓C2:(x—17?+(y-301=r2.若圓C2上存在一點(diǎn)尸，使得過點(diǎn)尸可作一條射線與圓q依次交于點(diǎn)A,B，滿足|PA|=2|AB|,則半徑r的取值范圍是 .【答案】卜,551【解析】由題，知圓C1的圓心為(-1,6)，半徑為5，圓C2的圓心為(17,30)，半徑為r，兩圓圓心距為7(17+1)2+(30-6)2=30，如圖，可知當(dāng)AB為圓C的直徑時(shí)取得最大值，所以當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P所在位置時(shí)r取得最小值，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P2所在位置時(shí)r取得最大值.因?yàn)镮ABI=10,1PA1=21ABI,所以益二5,rmax=55.3.過點(diǎn)M(1,2)的直線I與圓C：Q-3)2+(y-4)2=25交于A,B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)ZACB最小時(shí)，直線l的方程是.【答案】:x+y-3=0【解析】：要使ZACB最小，由余弦定理可知，需弦長|AB|最短.要使得弦長最短，借助結(jié)論可知當(dāng).. .. 4-2M(1,2)為弦的中點(diǎn)時(shí)最短.因圓心和M(1,2)所在直線的k=---=1，則所求的直線斜率為-1，由點(diǎn)斜式3—1可得y-1=-(x-2)nx+y-3=0.【點(diǎn)評】此題通過兩次轉(zhuǎn)化，最終轉(zhuǎn)化為求過定點(diǎn)的弦長最短的問題.4.若圓C：x2+y2+2x-4y+3=0關(guān)于直線2ax+by+6=0對稱，則由點(diǎn)(a,b)向圓所作的切線長的最小值是【答案】4【解析】因?yàn)閳AC：/+/+&C—4y+&=0關(guān)于直線2mc+與+6=0對稱,所以直線2皿+與+6=0過圓心，即圓心5-1,2）在直線2a+附46=。,所以—2q+勸+6=0即口—8—3二0,這說明點(diǎn)理口⑼在直線x—N—3=0上運(yùn)動，由點(diǎn)網(wǎng)a盼向圓所引的切線長為|產(chǎn)T卜所以當(dāng)忸C|有最小值時(shí),PT有最小倩,|明|的最小值為圓心到直線工-卜-3=0的距離|PC|PT有最小倩,|明|的最小值為圓心到直線工-卜-3=0的距離|PC|niji=d==3立，所以,=J（3^）1-2=4.【點(diǎn)評】與切線長有關(guān)的問題及與切線有關(guān)的夾角問題，解題時(shí)應(yīng)注意圓心與切點(diǎn)連線與切線垂直，從而得出一個(gè)直角三角形.考向2與截距有關(guān)的圓的最值問題【例3】【2017北京海淀模擬】設(shè):為不等式?一i--■,一表示的平面區(qū)域，直線.一.一一二與區(qū)域:有公共點(diǎn)，則、的取值范圍是 .【答案】?-一?或者m__ 胃= <]【解析】由題設(shè)匚其.到直線 的距離. ?：--,解之得二:M?叱i，應(yīng)填答案|J.【跟蹤練習(xí)】1.【2017江蘇南通高三第三次調(diào)研考試】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)二，點(diǎn):'，?,■"PB為圓/二=：上一動點(diǎn)，則:‘，?的最大值是一.【答案】2解析】設(shè)點(diǎn)尸5T)，則M屋>=曰鈣醇第二產(chǎn)75)而嗎表示圓上一點(diǎn)與點(diǎn)-金的斜率，所以當(dāng)過點(diǎn)C，-3的直線與圓相切時(shí)取得最值，設(shè)直線：尸+；岫一；)由小得尼=-F陷=1所以篝的最大值時(shí)L=—%故詈虹*)=2■5 aS -J JT r ￡,tJ!!PB點(diǎn)睛：首先根據(jù)問題將的表達(dá)式列出來，做最值問題的小題，首先得明確問題表達(dá)式，然后根據(jù)函數(shù)或者基本不等式求解最值，本題解題關(guān)鍵在于，寫出表達(dá)式后要將其化為斜率的定義求法來理解從而求得結(jié)論.2.【2018安徽六安模擬】若直線y=-白m與.曲線y=1歷同恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.(1,<2) B.(<2-1,,/2+1)C.(1,<2+1)D.(2,<2+1).一一x...... 1. -一一…一一.…一一.一一一.思路分析：直線y=-5+m與曲線y=5M4-*21恰有三個(gè)公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍，可以轉(zhuǎn)化為直線y=-5+m的圖象與曲線y=1j4-x2|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，通過圖象觀察臨界直線，從而求出m的取值范圍；本題曲線y=1J4-X2|的圖象是易錯(cuò)點(diǎn)，2'畫圖時(shí)要分類討論，知圖象由橢圓的上一部分與雙曲線的上部分組成.解析二由題意知,曲線歷藥的圖象由橢圓的上一部分與雙曲線的上部分蛆成，故直線尸=—彳+wq q與曲線￥ 亞西恰有三個(gè)公共點(diǎn)的喧界直線有:當(dāng)直線丁=-3+常過點(diǎn)(2,0)時(shí)，即y _3y 10二一1+陽1s故溺=1］當(dāng)直線尸=一一+用與橢圖的上部分相切，即下二一J 二一一J即H=&,T=g時(shí)』此時(shí)而=也：故實(shí)數(shù)肥的限值范圍是在&卜選項(xiàng)A為正確答案.3.【2018湖北穩(wěn)派教育高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，且y軸和直線%—<3y+2=0均與圓C相切.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P(0,1)，若直線y=%+m與圓C相交于M,N兩點(diǎn)，且/MPN為銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)【答案】(1)(%-2)2+y2=4;(2)J2""-1-T5J』-^廠2+2近)-【解析】試題分析：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及用向量解決直線和圖位置關(guān)系中的角度的問題.(0設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程J根據(jù)題意得關(guān)于參數(shù)的方程組，求得參數(shù)可得圖的方程.⑵利用代S4法求解」將4fEV為銳角轉(zhuǎn)化為可/麗A0求解.試題解析:a>0i=0 a=2(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：0-尸+3-功 一”故由題意得|^|=r ，解得I,\a--j3b+2\_〔產(chǎn)=2

- 2=r???圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：0- 十7==4.y=x+m(2)由｛ 消去y整理得2/+2(冽-2次+/=口.(%-2)2+y2=4?.?直線y=X+m與圓C相交于M,N兩點(diǎn)，/.A=4（*2）;癡心。，解得—2—2代</<—2+2點(diǎn)，設(shè)州（西,乃）,少（孫乃），則為4勺=2—周演也士絲????正旅二（五1，『]一1）』巾二（/,『口一1）,■zL依題意得PM?PN=x1X2+(y1—1)(y—1)=xx+(x依題意得PM?PN=x1X2+(y1=Xxx+(m—1)(x+x)+(m—1>>0,/.m2+(m—1=Xxx+(m—1)(x+x)+(m—1>>0,解得叫<二!二包或師二二1域.又-2-2晚<微<-2+2收，―2—2質(zhì)<m<土^5或2 2 2二+正<m<—2+2Vx.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-2-2逝,±^）1]（匚上2-2+26）.乙 乙 乙點(diǎn)睛：（1）對于NBAC為銳角的問題（或點(diǎn)A在以BC為直徑的圓外，或|ABX+|ACp>\BCX），都可轉(zhuǎn)化為AB.AC>0，然后坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算處理.（2）對于直線和圓位置關(guān)系的問題，可將直線方程和圓的方程聯(lián)立消元后根據(jù)所得的二次方程的判別式、根據(jù)系數(shù)的關(guān)系，借助于代數(shù)運(yùn)算處理.解題時(shí)注意'設(shè)而不求〃、“整體代換〃等方法的運(yùn)用，以減少計(jì)算量、提高解題速度.考向3與距離有關(guān)的圓的最值問題【例4】【2018廣西南寧模擬】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知（x—2%+y2=5,x—2y+4=0，則1 1 2 2（X]-x2>+G]-y2>的最小值為（）A.亙B,1C,1X1D,必5 5 5 5【答案】BE解析】由已知得點(diǎn)3加在圓［x-k+j1小上，點(diǎn)（巧,）在直線、一27+4=0上.故（西一切”+（尸1一巧『表示.一2『+/=5的點(diǎn)和直線工一力+4=0上點(diǎn)的距離平方，面距離的最小值為母工一出二呼，故■—巧J的最小值為；故選B>/1+4 5 5【跟蹤練習(xí)】.【2018江西贛州紅色七校一聯(lián)】已知圓C: .:??：， -? （a<0）的圓心在直線■「1上，且圓C上的點(diǎn)到直線：:一一。的距離的最大值為「。則「」的值為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】圓的方程為：—產(chǎn)—'??；二='，圓心為心"」「「："①一”|j37+b| .. 『 『圓c上的點(diǎn)到直線工一。的距離的最大值為〃一，"—一'聲②二由①②得「,：：—I=」a<0,故得，：「」.；=1.：?".,--=3.點(diǎn)睛：圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值，就是圓心到直線的距離加半徑；再就是二元化一元的應(yīng)用..【2018山西臨汾一中、忻州一中、長治二中、康杰中學(xué)模擬】已知A（2,0），直線4x+3y+1=0被圓C:（x+3）+（y-m）=13（m<3）所截得的弦長為4、，3，且P為圓C上任意一點(diǎn)，則pPA|的最大值為（A.729-<13B.5+<13C.2"+<13D.,,,29+,；13【答案】D【解析】根據(jù)弦心距、半徑、半弦長的關(guān)系得：[吐111+（2右）2=13，解得：m=2或m=—（舍I5J 3去），當(dāng)m=2時(shí)，|PA|的最大值|Pq+r=口+J13，故選D.ir.[2017遼寧遼南協(xié)作校一模】圓X2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-8=0的最大距離與最小距離的差是（）A.18B.6「'C.5v2D.4%2【答案】C1解析】圖的方程即：（3C-2）1+（尸—=5^2,同心到直線的距離為：故直線與圖相交,最小距離為仇最大距離為3立+2忑=5血J綜上可得：圓/十儼-41-僅UM上的點(diǎn)到直線工廿/W的最大距離與最小距離的差是5及-0=5母.故選C.點(diǎn)睛：判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法..[2017安徽宣城二?！恳阎狿是圓%2+y2=4上一點(diǎn)，且不在坐標(biāo)軸上，A（2,0）,B（0,2），直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與1軸交于點(diǎn)N，則|AN|+2BM的最小值為.【答案】8【解析】設(shè)點(diǎn)P（2cos9,2sin0），則直線PA的方程：y=sin。（%—），則M（0,-2sme]/cose-1 I,cose-1）同理n（-2cose,01則ani+21bm\=6+2cose+4sine的最小值為8.Isine-1） sine-1cose-1.[2107吉林省延邊州模擬】點(diǎn)N是圓（％+5）2+y2=1上的動點(diǎn)，以點(diǎn)A（3,0）為直角頂點(diǎn)的RtAABC另外兩頂B,C在圓12+y2=25上，且BC的中點(diǎn)為M，則MN的最大值為.【答案】15+“'41口 2如圖J設(shè)M（范熊）,由于可是EC的中點(diǎn),則四，方C,于是團(tuán)戶+mb2=ob2.又因?yàn)镸B=W,得/+/+"—球+/=25.即端r的軌跡方程為（二―?+/=??那么,imhi的最大值為5十,十1十但11“嚴(yán).2V4 2.【2017山東濟(jì)寧3月模擬考試】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：上+21=1（a>b>0）的離心率a2b2是孚，且直線l：-+2=1被橢圓C截得的弦長為。百.2 1ab（工）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（口）若直線l］與圓D：-2+22-6-—42+m=0相切：（i）求圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ii）若直線l2過定點(diǎn)（3,0）,與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E、F，與圓D交于不同的兩點(diǎn)M、N，求|EF|?MN的取值范圍.【答案】(1)-2+22=1;(II)(i)(--31+(2-2>=5;(ii)(0,81.y=y=k(x+3),由｛x2—+y2=1,424k2x1+x2=1+4k236k2一4x1x2=1+4k2【解析】試題分析：（工）由直線l過定點(diǎn)（a,0）,（0,b），可得到a2+b2=5，再結(jié)合-=—，即可求1 a2出橢圓的方程；（口）（i）利用圓的幾何性質(zhì)，求出圓心到直線I1的距離等于半徑，即可求出m的值，即可求出圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ii）首先設(shè)直線12的方程為y=k（x-3），利用韋達(dá)定理即可求出弦長怛聞的表達(dá)式，同理利用圓的幾何關(guān)系可求出弦長悝飛的表達(dá)式，即可得到肉葉慳N冏表達(dá)式，再用換元法t=1+4k2w|~1,9］，即可求出H/.|MN|的取值范圍.L5）試題解析：（工）由已知得直線11過定點(diǎn)（a,0）,（0,b）,a2+b2=5,又-=,a2=b2+-2，解得a2=4,b2=1,故所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=1.TOC\o"1-5"\h\za2 4（口）（i）由（工）得直線1的方程為X+y=1,即x+2y-2=0，又圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 2（x—3）+（y—2）=13—m,???圓心為（3,2），圓的半徑r=3+222-2=下,12+22???圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—3)2+(y-2)2=5.（ii）由題可得直線12的斜率存在，設(shè)12 :y=k（X-3），與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)為E（\,yj、F（x2, y2）,消去y得(+4k2)x2—24k2x+36k2一4=0，由A>0，得0<k2<5,iiFTH )~. n 1( 7 )f( 24k2 )2/ 36k2—4] / M+k2)G-5k2)E^F\=J1+k21x+x力-4xx=Ji+k2' -42 =4-/ \、L12 12」[ 11+4k2J 1+4k2 1 Q+4k2)又圓D的圓心(3,2)到直線1：kx-y-3k=0的距離d=0k/3k= ,2 k2+1 v'k2+1???圓D截直線/2所得弦長|M^|=2Jr2-d2=2.設(shè)t=1+4k設(shè)t=1+4k2el1,|1-25k4G+4k2}G+k2)G-5k2) 5k2+1 『 v x2 -8\1+4k2? k2+1，k2-7，貝Q|EF|?|MN|=8、1-25(1\+50--25，11725?25?y--9%2+50%-25的對稱軸為x--，在(5,1］上單調(diào)遞增,19」(1(1、+50--25<16,117,0<|EF|?|MN|<8.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線，直線與圓的位置關(guān)系，常采取聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求解，對于直線與圓的位置關(guān)系，常采取圓的幾何性質(zhì)較多，運(yùn)算量較少點(diǎn)，圓錐曲線類的題目的特點(diǎn)就是運(yùn)算量大，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，屬于難題.考向4與面積相關(guān)的最值問題【例5】在平面直角坐標(biāo)系中，AB分別是％軸和y軸上的動點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2%+y-4-0相切，則圓C面積的最小值為.【答案】4冗5【解析】設(shè)直線八2工+￥-4=0一因?yàn)閨Q7卜］』叫=4_『，所以圓心C的軌跡為以0為焦點(diǎn),』1為準(zhǔn)線的拋物線一圓C半徑最小值為 展圓C面積的最小值為第(制=*選A【例6】動圓C經(jīng)過點(diǎn)F(1,0)，并且與直線％--1相切，若動圓C與直線y-%+2a+1總有公共點(diǎn)，則圓C的面積的最小值 .【答案】4冗【解析】設(shè)圓心為(a,b)，半徑為r，r=1CF1=1a+11,即5_1)2+b2=5+1)2,即a=1b2,.??圓心為41 ] Ib2-b+2近+11 b2(-b2,b),r=-b2+1，圓心到直線y=x+2<2+1的距離為d=)—— <二+1,二4 4 、：2 4b<-2(2<2+3)或b>2，當(dāng)b=2時(shí)，r=1x4+1=2,?S=nr2=4兀.min4 min【跟蹤練習(xí)】1.設(shè)m,neR，若直線mx+ny-1=0與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，且l與圓x2+y2=4相交所得弦的長為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AABO面積的最小值為.【答案】3【解析】l與圓相交所得弦的長為2，故弦心距d=,1 =v2^-17=<3，所以%m2+n2m2+n2=->2Imn3 1,,1，.」1m川<二,6，1 ' )1與x軸相交于點(diǎn)M/Q卜與y軸相交于點(diǎn)”7°J1, ,, ,11...s =-OfA\OfB\=——aaob 21 2m112mn2.【2017屆高三七校聯(lián)考期中考試】已知直線l:x-y=1與圓M：x2+y2-2x+2y-1=0相交于A,C兩點(diǎn)，點(diǎn)B,D分別在圓M上運(yùn)動，且位于直線AC兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值為 【答案】｛30【解析】x2+y2-2x+2y-1=0=(x-1)2+(y+1)2=3，圓心m到直線l:x-y=1距離為]] [ [I[十二=一,BD為過圓心M且垂直于AC的直徑時(shí)，四邊形ABCD面積取最大值，為22v21xACxBD=1x213-1x2<3=■v30.2 2 23.【2017河南安陽二模】已知圓：?‘：.；?-;-：????一-"動點(diǎn)；在圓二：'?'I：?上，則'廠」面積的最大值為()A. B."尸C.8JD.?'咯案】B【解析】因?yàn)镃J—2?產(chǎn)i=ViLQ■口”口=磊所以陷Q仁WV—2尸十4=2的J當(dāng)1a寸J△『qq的面積最大？其最大值為51Mls='X2^5X4=4^應(yīng)選答案B.4.【2018河南洛陽模擬】已知兩動圓F:(x+%/3)2+產(chǎn)=r2和F:(x—%,3)2+產(chǎn)=(4-r)2(0<r<4),1 2把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線C，若曲線C與y軸的正半軸的交點(diǎn)為M，且曲線C上的相異兩點(diǎn)AB滿足：MA.MB=0.(1)求曲線C的方程；(2)證明直線AB恒經(jīng)過一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求AABM面積S的最大值.咯案】(1)亍+y2=1；(2)證明見解析,定點(diǎn)坐標(biāo)為N(0,-3)；(3)25.【解析】試題分析：(1)設(shè)兩動圓的公共點(diǎn)為Q,則有|"|+ =4(>F1叮)，根據(jù)橢圓的定義可知Q的軌跡為橢圓，由此求出軌跡方程；(2)先求出M(0，1)，設(shè)A(%1，yi),B(x2y2)，當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)設(shè)直線方程KI ， ._1-__?_、I?E、— —3為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理計(jì)算MA-MB=xx+(kx+m-1)(kx+m-1)=0得m=~，所以直12 1 2 5線恒過定點(diǎn)n(0,-3)，驗(yàn)證當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)也過此點(diǎn)即可；(3)將三角形面積分割成兩部分進(jìn)行^5計(jì)算，即△ABM面積s=s+S =1\MNMx-xI=衛(wèi).<25k2+4，令t—練R，換元，由基本不等式AMNA AMNB2 1 2 25 1+4k2即可求出面積的最大值.

試題解析：(1)設(shè)兩動圓的公共點(diǎn)為Q,則有|Q4|+Qq|=4(>］勺.),由橢圓的定義可知Q的軌跡為橢圓，a=2,c=第.所以曲線。的方程是：上+w=1.4(2)證法一：由題意可知：M(0,1)，設(shè)A(5,1),B(x2?2),3當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，易知滿足條件MA?MB=0的直線AB為：x=0過定點(diǎn)N(0,-3)當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=kx+m，聯(lián)立方程組：x2+y2-1 ① -八、、一4 ，把②代入①有：(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4-0y-kx+m②-8-8km-x+x-+~4k-③，4m2-4ax?x ④，12 1+4k2因?yàn)镸A?MB=0，所以有x?x+(kx+m-1)(kx+m-1)=0,(1+k2)x「x2+k(m-1)(x1+x2)+(m-1)2=0，把③④代入整理：(1+k2)普W+k(mT)蔑+(mT)2-0，(有公因式m一1)繼續(xù)化簡得:-3j t人(m-1)(5m-3)=0,m=一或m=1(舍)，^53綜合斜率不存在的情況，直線AB恒過定點(diǎn)N(0,-3).^5證法二：(先猜后證)由題意可知：M(0,1)，設(shè)a(x,y),B(x,y),如果直線AB恒經(jīng)過一定點(diǎn)，由橢圓的對稱性可猜測此定點(diǎn)在y軸上，設(shè)為N(0,m);取特殊直線MA:y-x+1,則直線MB的方程為y--x+1,

解方程組Jy+y2=1得點(diǎn)4(-8,-3)，同理得點(diǎn)B(8,-3),1 5 5 5 5y=x+1此時(shí)直線AB恒經(jīng)過y軸上的點(diǎn)N(0,-3)3下邊證明點(diǎn)N(0,--)滿足條件MA?MB=0^5當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，直線AB方程為：x=0,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(0,±1)，滿足條件MA.MB=0；當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=kx-3，聯(lián)立方程組：^5TOC\o"1-5"\h\z丁+y2-1① 24k 644 ，把②代入①得：(1+4k2)x2-絲x-64-0,3 5 25y-kx- ②524k…x+x ③，12 25(1+4k2)12 25(1+4k2)一.、,’ 8 8所以MA?MB-x?x+(y-1)(y-1)=x?x+(kx--)(kx--)1 2 1 2 1 2 15 2 5二(1+k2)xx二(1+k2)xx-8k, 、64—(x+x)+——5 1 2 25-(1+k2)?--64_-妁.24k +婦-025(1+4k2) 55(1+4k2)25(3)△ABM面積S-S4mna+S^MNB--MNx-x二2 1 2《(x+x)2-4x?x由第(2)小題的③④代入，整理得：S-32?<25k2+4251+4k2因N在橢圓內(nèi)部，所以keR，可設(shè)t=\/25k2+4>2,S-~^2---^2-(t>2)，4t2+94t+9t,925 ~64 . . .64..4+->—,?.S<—（k=0時(shí)取到最大值）.所以△ABM面積S的最大值為瓦.t2 25 25考點(diǎn)：1.橢圓的定義與幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.基本不等式.考向5與圓有關(guān)的量值問題綜合題【例7】已知實(shí)數(shù)％,y滿足方程％2+j2-4%+1=0,求：(1)y的最大值和最小值；%y-%的最大值和最小值；%2+y2的最大值和最小值.【解析】原方程變形為Q-表示以Q6為圓心,半徑?齒的圓.(1)諾二局即7=肘，由題知，直線2=位與圓恒有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于等干半徑市，,及空收，晝嘰即一轉(zhuǎn)生他』Y的最大值為近，最小值為一錯(cuò)一#+1 X(2)設(shè)丁一工=如則當(dāng)直線丁一工二力與圓相切時(shí),［取最值,由“葦也也得m二一小詼，丁一、的最大值為擊一2,最小值為一2-#.0)笠4正仔表示原點(diǎn)與點(diǎn)⑴的距離」7原點(diǎn)與圖心(工。)的距離為2,，心=2+3,血口=2―收二爐+爐的最大值為(2+出+ 最小值為值—也)?="4:一【點(diǎn)評】研究與圓有關(guān)的最值問題時(shí)，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.常見的最值問題有以下幾種類型：①形如口二y-形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t=ax+by形式的最x-a值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；③形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.【例8】設(shè)P,Q分別為%2+(y—6)2=2和橢圓上+y2=1上的點(diǎn)，則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是【答案】6c【解析】依題意RQ兩點(diǎn)間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點(diǎn)的最大距離再加上:圓的半徑點(diǎn).設(shè)象羽?。?圓心到橢圓的最大距離#=亞+5-W=7-9/-12^+46=式五+$2+50￡5&,所以巴。兩點(diǎn)間的最大距離是6點(diǎn).【例9】設(shè)meR，過定點(diǎn)A的動直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P（x,y）,則IPAI?lPBI的最大值是 .【答案】5［解析:］易得邢2網(wǎng)L3）一設(shè)？（三汾，則消去陽得:/+F-X-力=0,所以點(diǎn)p在以AB為直徑的■J圖上，尸&_1_掰，所以|尸K『+|那『■■「=此|尸/岡圖區(qū)圖L=5一上.【跟蹤練習(xí)】.【2018廣西桂林柳州模擬】已知圓C1:（X+2a）2+y2=4和圓C2:x2+（y-b>=1只有一條公切線，若a,beR且ab牛0，則—+」的最小值為（）a2b2A.2B.4C.8D.9【答案】D【解析】由題意可得兩圓相內(nèi)切，兩圖的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為=+y==4;x=+（y-b）M,圓心分別為（-如0）」（0；b）>半徑分別為2和1,故有山目+yf（叱-2=5-勺丁4多g-4=9,當(dāng)且僅當(dāng)勺=42時(shí)，等號成立,ab ab+］的最小值為9.ab【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意〃拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中〃正〃（即條件要求中字母為正數(shù)）、〃定〃（不等式的另一邊必須為定值）、〃等〃（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤..【2017甘肅蘭州高三第一次診斷性考試】已知圓，一一和兩點(diǎn)i：f,：「，-I,若圓:上存在點(diǎn)使得三=二「，則當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)，■的坐標(biāo)是（）【答案】D【解析】設(shè)昭如為圓上一點(diǎn)，由題意知，=「即?一」：.…；:=二一一；」一/1—/一，戶；.：「一--L—L:，所以所在直線傾斜角為30，所以的縱坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為3.走一上￡,所以土三d，故選D.2 2 2 22.【2018黑龍江海林朝鮮中學(xué)】已知兩點(diǎn)A（d0）,B（—a,0）（a>0），若曲線x2+>2_2<3x_2y+3=0上存在點(diǎn)P，使得ZAPB=90。，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A?（0,31B,11,3]C.[2,3]D.11,2]【答案】B【解析】把圓的方程必+/—/―2/+3=D化為,—/了+（熊—if=L以15為直徑的圓的方程為/+ 若曲線/+/—地工—為+3=。上存在點(diǎn)尸』使得2加=90%貝]兩圖有交點(diǎn)，所以|。一1區(qū)解得10日43,選B..【2017吉林吉林大學(xué)附中高三第七次模擬】已