冪函數(shù)的定義

關(guān)于冪函數(shù)的定義第一頁，共十一頁，編輯于2023年，星期一預(yù)備知識冪的概念的推廣正比例函數(shù)的概念及其性質(zhì)反比例函數(shù)的概念及其性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2的概念及其性質(zhì)重點(diǎn)冪函數(shù)的概念、定義域和值域幾個特殊指數(shù)的冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)難點(diǎn)冪函數(shù)的定義域、值域冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)學(xué)習(xí)要求了解冪函數(shù)的概念會求冪函數(shù)的定義域和值域理解幾個特殊指數(shù)的冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)能根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)比較同底冪的大小第二頁，共十一頁，編輯于2023年，星期一

設(shè)當(dāng)年人口為12億，如果人口的年凈增率是5.3‰，那么到

25年后，人口總數(shù)y為

y=12(1+0.0053)25=121.005325，(1)現(xiàn)在想知道，不同的年凈增率對25年后總?cè)丝跀?shù)y大小的影響，年凈增率不再是常數(shù)0.0053，而是一個可變化的量，不妨用p來表示它．不同的p，計算y的公式是y=12(1+p)25．以x表示量1+p，上式成為

y=12x25．(2)我們知道x25是x的25次冪，只是現(xiàn)在(2)中的x不是常數(shù)，而是一個變量，那么它是什么呢？引入：第三頁，共十一頁，編輯于2023年，星期一1．冪函數(shù)的定義對每一個x1，x25是一個冪；隨著x的變化，冪的大小也發(fā)生變化。對每一個確定的x，x25有唯一確定的值與之對應(yīng)，因此x與x25之間具有函數(shù)關(guān)系．這種類型的函數(shù)關(guān)系，叫做冪函數(shù)．

冪函數(shù)的一般形式是y=x，其中x是自變量，叫做冪指數(shù)(0)，冪指數(shù)是常量．冪指數(shù)僅有一個限制：0，即可以取任意不等于零的確定的實(shí)數(shù)值．第四頁，共十一頁，編輯于2023年，星期一2.冪函數(shù)的定義域和值域我們先來考察幾個具體冪函數(shù)的例子．例1

求下列冪函數(shù)的定義域和值域：

(1)y=；(2)y=；(3)y=分析根據(jù)有理指數(shù)冪的定義當(dāng)>0時，a的允許取值范圍及所得冪的范圍如下表:第五頁，共十一頁，編輯于2023年，星期一qpa允許取值范圍ap值值的范圍

＞0奇數(shù)偶數(shù)(-,+)[0,+)[0,+)奇數(shù)(-,+)(-,+)偶數(shù)

奇數(shù)[0,+)[0,+)[0,+)解(1)因?yàn)橹笖?shù)>0，且指數(shù)的分母、分子均為奇數(shù)，對照上表，即知其定義域?yàn)?-,+)，值域?yàn)?-,+)；第六頁，共十一頁，編輯于2023年，星期一(2)因?yàn)橹笖?shù)>0，且指數(shù)的分母為奇數(shù)，分子為偶數(shù)，對照上表，即知其定義域(-,+)，值域?yàn)閇0,+)；(3)因?yàn)橹笖?shù)>0，且指數(shù)的分母為偶數(shù)，分子為奇數(shù)，對照上表，即知其定義域[0,+)，值域?yàn)閇0,+)．當(dāng)<0時，只要把上表中把a(bǔ)允許取值范圍及去掉0，其余不變．值的范圍例2

求下列冪函數(shù)的定義域和值域：(1)y=；(2)y=x

-2；(3)y=．第七頁，共十一頁，編輯于2023年，星期一分析根據(jù)有理指數(shù)冪的定義，當(dāng)＜0時，a的允許取值范圍及所得冪的范圍如下表：qpa允許取值范圍ap值值的范圍

＜0奇數(shù)偶數(shù)(-,0)(0,+)(0,+)(0,+)奇數(shù)(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)偶數(shù)奇數(shù)(0,+)(0,+)(0,+)第八頁，共十一頁，編輯于2023年，星期一解

(1)因?yàn)橹笖?shù)-<0，且指數(shù)的分母、分子為奇數(shù)，對照上表知其定義域?yàn)?-,0)(0,+)，值域?yàn)?-,0)(0,+)；(2)因?yàn)橹笖?shù)-2<0，且指數(shù)的分母為奇數(shù)(分母為1，作為奇數(shù))，分子為偶數(shù)，對照上表并注意去掉0，即知其定義域?yàn)?-,0)(0,+)，值域?yàn)?0,+)；(3)因?yàn)橹笖?shù)-＜0，且指數(shù)的分母為偶數(shù)，分子為奇數(shù)，對照上表知其定義域?yàn)?0,+)，值域?yàn)?0,+)．對其它的冪函數(shù)y=x，當(dāng)為有理數(shù)來確定它的定義域和值域．時，可仿例1、例2第九頁，共十一頁，編輯于2023年，星期一課內(nèi)練習(xí)11.確定下列冪函數(shù)的定義域和值域.(1)y=x3；(2)y=x-2；(3)y=x3/4；(