2019版數(shù)學(xué)（文）高分計劃一輪高分講義：第9章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 9.2　用樣本估計總體

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精9．2用樣本估計總體［知識梳理]1．用樣本的頻率分布估計總體分布（1）頻率分布：樣本中所有數(shù)據(jù)（或者數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率，所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布．(2）作頻率分布直方圖的步驟:①求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差；②決定組距與組數(shù)；③將數(shù)據(jù)分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率/組距，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1。(3）頻率分布折線圖和總體密度曲線①頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線．(4）①莖葉圖:統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫莖葉圖,莖是指中間一列數(shù),葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好,它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄,給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便．②莖葉圖的畫法步驟第一步：將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；第二步:將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列,寫在左（右)側(cè)；有兩組數(shù)據(jù)時，寫在中間；第三步:將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的右（左）側(cè)．2．樣本的數(shù)字特征（1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動程度的大?。讲睿簊2＝eq\f（1，n)[（x1－eq\o(x，\s\up14(－）))2＋（x2－eq\o(x,\s\up14(－）））2＋…＋（xn－eq\o（x，\s\up14（－）））2］，標(biāo)準(zhǔn)差:s＝eq\r（\f（1，n)[x1－\o(x,\s\up14（－))2＋x2－\o(x,\s\up14(－））2＋…＋xn－\o(x,\s\up14(－）)2］）。(3）關(guān)于平均數(shù)、方差的有關(guān)性質(zhì)①若x1，x2，…,xn的平均數(shù)為eq\o（x，\s\up14（－）)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x，\s\up14(－)）＋a。②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1′＝x1＋a,x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變．③若x1，x2，…，xn的方差為s2,那么ax1＋b，ax2＋b，…,axn＋b的方差為a2s2.(4）平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平,標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動；標(biāo)準(zhǔn)差，方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．3．各種統(tǒng)計表的優(yōu)點與不足[診斷自測］1．概念思辨（1）一組數(shù)據(jù)的方差越大,說明這組數(shù)據(jù)的波動越大．(）(2)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．（)（3）在頻率分布直方圖中,小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率越高．（)(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)懀覀?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．（）答案（1)√（2)√(3)√(4）×2．教材衍化(1)（必修A3P70例題）若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91。5 D．92和92答案A解析這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87，89,90，91,92,93,94，96，∴中位數(shù)是eq\f（91＋92，2)＝91。5，平均數(shù)eq\o(x,\s\up14(－)）＝eq\f（87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96，8)＝91。5。故選A。（2)（必修A3P82T7)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則（)A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差答案C解析由圖可得,eq\o（x,\s\up14(－)）甲＝eq\f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，eq\o(x，\s\up14(－）)乙＝eq\f(3×5＋6＋9,5)＝6，故A錯誤；甲的成績的中位數(shù)為6，乙的成績的中位數(shù)為5,故B錯誤；seq\o\al(2,甲)＝2，seq\o\al（2，乙）＝2.4，故C正確；甲的成績的極差為4,乙的成績的極差也為4，D錯誤．故選C.3．小題熱身(1)右面莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16。8，則x,y的值分別為()A．2，5B．5,5C．5，8D．8,8答案C解析由莖葉圖及已知得x＝5，又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，即eq\f(9＋15＋10＋y＋18＋24,5)＝16.8,解得y＝8，故選C.(2)（2018·濟南調(diào)研）為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗．所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，［13,14)，[14，15)，[15,16)，［16，17］,將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，上圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為________．答案12解析全體志愿者共有:eq\f（20，0。24＋0。16×1)＝50（人)，所以第三組有志愿者：0.36×1×50＝18（人）．∵第三組中沒有療效的有6人，∴有療效的有18－6＝12(人)．題型1樣本數(shù)字特征的計算及應(yīng)用eq\o(\s\up7(），\s\do5(典例)）某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：（a，b)，(a,eq\o（b,\s\up14(－））），（a,b)，（eq\o(a，\s\up14(－)），b)，(eq\o（a,\s\up14(－）），eq\o(b,\s\up14(－））），(a,b)，(a，b），（a，eq\o(b,\s\up14(－)）)，（eq\o(a，\s\up14（－)），b)，(a，eq\o(b,\s\up14（－））)，（eq\o（a,\s\up14(－）)，eq\o（b，\s\up14（－))），（a，b)，（a,eq\o（b,\s\up14（－)）），（eq\o(a，\s\up14(－)），b)，(a,b），其中a，eq\o(a,\s\up14(－)）分別表示甲組研發(fā)成功和失?。籦，eq\o（b,\s\up14（－）)分別表示乙組研發(fā)成功和失敗．（1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分,否則記0分．試計算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；(2）若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計恰有一組研發(fā)成功的概率．(1）直接用公式求解；（2)按古典概型求解．解(1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?，1，1,0,0,1，1,1，0,1,0，1,1，0，1.其平均數(shù)為eq\o（x,\s\up14（－)）甲＝eq\f（10，15)＝eq\f(2，3)；方差為seq\o\al（2，甲)＝eq\f（1，15)eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(2,3）））2×10＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0－\f(2,3))）2×5)）＝eq\f(2,9)。乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?,0,1，1,0,1，1,0，1，0，0,1,0，1，1，其平均數(shù)為eq\o(x，\s\up14(－））乙＝eq\f(9，15)＝eq\f(3，5)；方差為seq\o\al（2，乙)＝eq\f(1，15)eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（3，5))）2×9＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f（3,5)））2×6））＝eq\f（6，25).因為eq\o（x，\s\up14(－）)甲>eq\o（x,\s\up14(－））乙，seq\o\al（2,甲)〈seq\o\al(2,乙),所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組．（2）記E＝{恰有一組研發(fā)成功｝．在所抽得的15個結(jié)果中,恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是（a,eq\o(b，\s\up14（－））)，(eq\o(a，\s\up14(－）)，b），(a,eq\o(b,\s\up14（－））),（eq\o（a，\s\up14（－)),b），(a，eq\o（b,\s\up14（－）))，(a,eq\o（b,\s\up14(－))）,(eq\o（a，\s\up14(－）)，b），共7個，故事件E發(fā)生的頻率為eq\f（7,15)，將頻率視為概率，即得所求概率為P(E）＝eq\f（7，15）。方法技巧眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論1．平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征,是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大?。?．方差的簡化計算公式：s2＝eq\f(1，n)[(xeq\o\al(2，1)＋xeq\o\al（2,2）＋…＋xeq\o\al(2，n）)－neq\o(x,\s\up14（－))2],或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n）（xeq\o\al(2,1）＋xeq\o\al（2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x，\s\up14(－））2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．3．平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2,…，xn的平均數(shù)為eq\o（x，\s\up14(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a,…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o（x,\s\up14（－))＋a.（2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a,…,xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.沖關(guān)針對訓(xùn)練（2017·湖北黃岡質(zhì)檢）已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn是某市n(n≥3，n∈N＊）個普通職工的年收入，設(shè)這n個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x,平均數(shù)為y，方差為z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1,則這(n＋1)個數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是()A．年收入平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能不變，方差可能不變B．年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變，方差變大C．年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差也不變D．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變答案B解析∵數(shù)據(jù)x1,x2，x3，…,xn是某市n(n≥3，n∈N*)個普通職工的年收入，xn＋1為世界首富的年收入，則xn＋1遠(yuǎn)大于x1,x2，x3,…，xn,故這(n＋1）個數(shù)據(jù)中,年收入平均數(shù)大大增大；中位數(shù)可能不變，也可能稍微變大；由于數(shù)據(jù)的集中程度受到xn＋1的影響比較大，更加離散，則方差變大．故選B。題型2莖葉圖及其應(yīng)用eq\o(\s\up7（）,\s\do5(典例）)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況,隨機訪問了50位市民，根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分（評分越高表明市民的評價越高)，繪制莖葉圖如下：（1)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)；（2)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率．（2）按古典概型求概率．解(1）由所給莖葉圖知,50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是75,75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75。50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故樣本中位數(shù)為eq\f（66＋68,2)＝67，所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計值是67。(2）由所給莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為eq\f(5,50）＝0.1，eq\f（8,50)＝0.16，故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0。1，0。16.［結(jié)論探究]根據(jù)題目所給出的莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價．解解法一:由所給莖葉圖知,市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對乙部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差，說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大．解法二：由所給莖葉圖知,市民對甲部門的評分的平均數(shù)高于對乙部門的評分的平均數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于乙部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差,說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大．方法技巧莖葉圖的應(yīng)用1．莖葉圖的繪制需注意:①“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；②重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄,不能遺漏，特別是“葉"的位置上的數(shù)據(jù)．2．莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù),也可以用來比較兩組數(shù)據(jù)．通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖,數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等．沖關(guān)針對訓(xùn)練為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效,隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間（單位：h）．試驗的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0．61.22。71.52.81.82。22.33.23。52．52。61.22。71.52。93。03。12。32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3．21.71.90。80。92。41.22.61。31.41．60。51。80。62。11。12。51。22。70。5(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),從計算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？解(1）設(shè)A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x，\s\up14(－））,B藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o（y,\s\up14(－）），由觀測結(jié)果可得eq\o(x,\s\up14(－))＝eq\f(1，20）（0。6＋1.2＋1.2＋1.5＋1。5＋1.8＋2.2＋2.3＋2。3＋2。4＋2.5＋2.6＋2。7＋2。7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3。5)＝2.3。eq\o（y，\s\up14（－））＝eq\f(1，20)（0.5＋0.5＋0。6＋0.8＋0.9＋1.1＋1。2＋1。2＋1。3＋1.4＋1。6＋1。7＋1。8＋1。9＋2.1＋2。4＋2。5＋2。6＋2。7＋3.2）＝1。6。由以上計算結(jié)果可得eq\o(x,\s\up14(－))〉eq\o(y，\s\up14（－)），因此可看出A藥的療效更好．（2)由觀測結(jié)果可繪制如下莖葉圖:從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結(jié)果有eq\f（7，10）的葉集中在莖2，3上,而B藥療效的試驗結(jié)果有eq\f(7,10）的葉集中在莖0,1上，由此可看出A藥的療效更好。題型3頻率分布直方圖角度1求頻率或頻數(shù)eq\o(\s\up7（)，\s\do5（典例)）(2016·山東高考)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是[17.5，30］，樣本數(shù)據(jù)分組為［17。5，20），［20，22.5），［22。5，25)，［25，27.5）,［27。5，30］．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是(）A．56B．60C．120D．140首先求22.5～30范圍上的頻率，即求第三、四、五直方圖的面積，再求人數(shù)．答案D解析由頻率分布直方圖知這200名學(xué)生每周的自習(xí)時間不少于22。5小時的頻率為1－（0.02＋0.10）×2.5＝0。7，則這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22。5小時的人數(shù)為200×0.7＝140，故選D。角度2利用頻率分布直方圖估計總體eq\o(\s\up7()，\s\do5（典例））(2016·四川高考）我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查．通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位:噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，［4，4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中a的值;(2)設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由；（3）估計居民月均用水量的中位數(shù)．解（1)由頻率分布直方圖可知：月均用水量在［0,0.5）內(nèi)的頻率為0。08×0。5＝0。04。同理，在［0。5,1），［1。5，2），［2，2。5）,［3，3.5)，[3。5，4），[4，4.5]等組的頻率分別為0.08,0。21,0.25，0。06,0.04，0.02.由1－(0.04＋0。08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0。02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0。30.（2)由(1)知，該市100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0。06十0.04＋0.02＝0。12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0。12＝36000.(3)設(shè)中位數(shù)為x噸，因為前5組的頻率之和為0.04＋0。08＋0.15＋0。21＋0.25＝0.73>0.5。又前4組的頻率之和為0.04＋0。08＋0。15＋0。21＝0.48〈0。5.所以2≤x<2.5.由0.50×（x－2）＝0。5－0。48.解得x＝2。04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2。04噸．方法技巧1．頻率分布直方圖的性質(zhì)(1）小長方形的面積＝組距×eq\f（頻率，組距)＝頻率；(2)各小長方形的面積之和等于1；（3)小長方形的高＝eq\f（頻率,組距),所有小長方形的高的和為eq\f(1,組距)。2．頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)（1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；（2）平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標(biāo)是中位數(shù)；(3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．沖關(guān)針對訓(xùn)練（2014·全國卷Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標(biāo)值分組［75,85)［85，95)［95,105）[105,115）[115,125]頻數(shù)62638228（1）作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；（2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80％”的規(guī)定?解(1）頻率分布直方圖如圖．（2）質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為eq\x\to(x)＝80×0。06＋90×0。26＋100×0。38＋110×0.22＋120×0.08＝100。質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2＝(－20）2×0.06＋（－10）2×0。26＋0×0。38＋102×0。22＋202×0.08＝104。所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計值為100，方差的估計值為104.(3）質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38＋0。22＋0.08＝0。68。由于該估計值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80％”的規(guī)定．1.（2017·全國卷Ⅰ)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1,x2,…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2,…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)答案B解析因為可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度,所以要評估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．故選B。2．(2017·全國卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小,變化比較平穩(wěn)答案A解析對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份，故A錯誤;對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確;對于選項C、D，由圖可知顯然正確．故選A.3．(2017·山東高考）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位:件）．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等,則x和y的值分別為()A．3，5B．5，5C．3,7D．5,7答案A解析甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等得y＝5.又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，∴eq\f(1,5)×（56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq\f(1，5）×(59＋61＋67＋65＋78），∴x＝3.故選A。4．（2018·安徽安慶模擬)某學(xué)校高二年級共有女生300人，現(xiàn)調(diào)查她們每天的課外運動時間，發(fā)現(xiàn)她們的課外運動時間介于30分鐘到90分鐘,下圖是統(tǒng)計結(jié)果的頻率分布直方圖，則她們的平均運動時間大約是________分鐘．答案56。5解析由題圖得35×0。1＋45×0。1＋55×0。5＋65×0.2＋75×0。05＋85×0。05＝56。5（分鐘）．[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．(2015·安徽高考）若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1,…,2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為（)A．8B．15C．16D．32答案C解析設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為s,則s＝8,可知數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1,…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為2s＝16。故選C。2．（2018·保定聯(lián)考）在樣本頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8個長方形的面積和的eq\f(2,5)，且樣本容量為140，則中間一組的頻數(shù)為（)A．28B．40C．56D．60答案B解析設(shè)中間一個小長方形面積為x，其他8個長方形面積為eq\f（5，2）x,因此x＋eq\f（5，2)x＝1,解得x＝eq\f（2，7)，所以中間一組的頻數(shù)為140×eq\f（2,7)＝40。故選B.3．(2017·哈爾濱四校統(tǒng)考)一個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差不為0的等差數(shù)列{an｝，若a3＝8，且a1，a3,a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．13，12B．13,13C．12,13D．13,14答案B解析設(shè)等差數(shù)列｛an}的公差為d(d≠0）,a3＝8，a1a7＝aeq\o\al（2，3)＝64，（8－2d）(8＋4d）＝64，（4－d）（2＋d）＝8，2d－d2＝0，又d≠0,故d＝2,故樣本數(shù)據(jù)為：4，6,8,10,12,14，16，18，20,22，平均數(shù)為eq\f(S10,10)＝eq\f（4＋22×5,10)＝13,中位數(shù)為eq\f（12＋14,2)＝13.故選B。4．(2017·西寧一模)某校高二(1）班一次階段考試數(shù)學(xué)成績的莖葉圖和頻率分布直方圖可見部分如圖，根據(jù)圖中的信息，可確定被抽測的人數(shù)及分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)的人數(shù)分別為(）A．20,2B．24，4C．25，2D．25，4答案C解析由頻率分布直方圖可知，組距為10,［50,60)的頻率為0.008×10＝0。08，由莖葉圖可知［50，60）的人數(shù)為2，設(shè)參加本次考試的總?cè)藬?shù)為N，則N＝eq\f（2,0。08）＝25，根據(jù)頻率分布直方圖可知［90,100］內(nèi)的人數(shù)與[50，60）的人數(shù)一樣，都是2,故選C。5。某學(xué)校隨機抽取20個班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù),所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0，5)，[5,10），…，[30，35），[35,40]時,所作的頻率分布直方圖是（)答案A解析解法一：由莖葉圖知，各組頻數(shù)統(tǒng)計如表:此表對應(yīng)的頻率分布直方圖為選項A。故選A.解法二：選項C、D組距為10與題意不符，舍去，又由莖葉圖知落在區(qū)間[0,5)與［5,10)上的頻數(shù)相等，故頻率、頻率/組距也分別相等，比較A、B兩個選項知A正確．故選A。6．如圖所示，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up14（－)）A和eq\o（x,\s\up14(－）)B，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB，則(）A.eq\o(x,\s\up14（－)）A〉eq\o(x,\s\up14(－）)B，sA>sBB.eq\o（x，\s\up14（－）)A〈eq\o（x,\s\up14（－)）B,sA>sBC。eq\o（x，\s\up14（－）)A>eq\o（x,\s\up14（－))B，sA<sBD。eq\o（x，\s\up14（－）)A〈eq\o（x，\s\up14(－）)B，sA<sB答案B解析由圖可知A組的6個數(shù)為2。5,10,5,7。5，2。5,10，B組的6個數(shù)為15,10，12。5,10,12。5，10,所以eq\o（x，\s\up14(－）)A＝eq\f（2.5＋10＋5＋7。5＋2。5＋10，6）＝eq\f（37.5,6），eq\o（x，\s\up14（－)）B＝eq\f（15＋10＋12。5＋10＋12.5＋10,6)＝eq\f（70，6)。顯然eq\o(x，\s\up14（－)）A〈eq\o(x，\s\up14(－))B，又由圖形可知，B組的數(shù)據(jù)分布比A均勻，變化幅度不大，故B組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定，方差較小，從而標(biāo)準(zhǔn)差較小，所以sA>sB，故選B.7．（2017·廣東肇慶一模）圖1是某高三學(xué)生進(jìn)入高中三年來的數(shù)學(xué)考試成績莖葉圖，第1次到14次的考試成績依次記為A1，A2，…，A14。圖2是統(tǒng)計莖葉圖中成績在一定范圍內(nèi)考試次數(shù)的一個算法流程圖．那么算法流程圖輸出的結(jié)果是（)A．7B．8C．9D．10答案D解析該程序的作用是求考試成績不低于90分的次數(shù)，根據(jù)莖葉圖可得不低于90分的次數(shù)為10.故選D.8．(2017·吉林模擬)下面的莖葉圖是某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測試時的成績:根據(jù)莖葉圖，得出該班男、女生數(shù)學(xué)成績的四個統(tǒng)計結(jié)論，其中錯誤的一項是（)A．15名女生成績的平均分為78B．17名男生成績的平均分為77C．女生成績和男生成績的中位數(shù)分別為82，80D．男生中的高分段和低分段均比女生多，相比較男生兩極分化比較嚴(yán)重答案C解析15名女生成績的平均分為eq\f（1,15）×(90＋93＋80＋80＋82＋82＋83＋83＋85＋70＋71＋73＋75＋66＋57)＝78,A正確；17名男生成績的平均分為eq\f（1,17)×(93＋93＋96＋80＋82＋83＋86＋86＋88＋71＋74＋75＋62＋62＋68＋53＋57)＝77，故B正確；觀察莖葉圖，對男生、女生成績進(jìn)行比較,可知男生兩極分化比較嚴(yán)重，D正確;根據(jù)女生和男生成績數(shù)據(jù)分析可得，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為80，C錯誤．故選C。9．(2015·全國卷Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是(）A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)答案D解析從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；2004～2006年二氧化硫排放量越來越多,從2007年開始二氧化硫排放量變少，故B正確;從圖中看出，2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，故C正確；2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，而不是與年份正相關(guān)，故D錯誤．故選D.二、填空題10．(2017·聊城模擬）某校女子籃球隊7名運動員身高(單位：厘米)分布的莖葉圖如圖,已知記錄的平均身高為175cm，但有一名運動員的身高記錄不清楚，其末位數(shù)記為x，那么x的值為________．答案2解析由題意有：175×7＝180×2＋170×5＋1＋1＋2＋x＋4＋5?x＝2.11．某商場調(diào)查旅游鞋的銷售情況,隨機抽取了部分顧客的購鞋尺寸，整理得如下頻率分布直方圖，其中直方圖從左至右的前3個小矩形的面積之比為1∶2∶3，則購鞋尺寸在[39。5，43.5）內(nèi)的顧客所占百分比為________．答案55％解析后兩個小組的頻率為(0.0375＋0.0875)×2＝0.25，所以前3個小組的頻率為1－0。25＝0。75，又前3個小組的面積比為1∶2∶3，即前3個小組的頻率比為1∶2∶3.所以第三小組的頻率為eq\f(3，1＋2＋3）×0。75＝0.375,第四小組的頻率為0。0875×2＝0。175，所以購鞋尺寸在[39。5,43。5)的頻率為0。375＋0.175＝0.55＝55%。12．從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間,頻率分布直方圖如圖所示．(1）直方圖中x的值為________;(2)在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100，250）內(nèi)的戶數(shù)為________．答案（1）0。0044(2）70解析(1)由頻率分布直方圖知［200,250)小組的頻率為1－(0.0024＋0。0036＋0。0060＋0.0024＋0。0012)×50＝0。22，于是x＝eq\f(0。22,50)＝0.0044.(2）∵數(shù)據(jù)落在［100,250）內(nèi)的頻率為(0.0036＋0.0060＋0.0044）×50＝0.7，∴所求戶數(shù)為100×0.7＝70。13．已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3，3，7，a，b,12,13。7,18。3,20,且總體的中位數(shù)為10.5,若要使該總體的方差最小，則a,b的取值分別是________．答案10。5,10.5解析∵中位數(shù)為10。5,∴eq\f(a＋b，2)＝10.5，即a＋b＝21?！遝q\o(x,\s\up14(－））＝eq\f（2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13。7＋18。3＋20,10）＝10，∴s2＝eq\f（1，10）［（2－10）2＋（3－10）2×2＋(7－10）2＋(a－10）2＋(b－10）2＋(12－10)2＋（13.7－10）2＋（18.3－10)2＋（20－10)2]．令y＝（a－10)2＋（b－10)2＝2a2－42a＝2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（a－\f(21,2)））2＋eq\f(1，2），當(dāng)a＝10.5時，y取最小值，方差s2也取最小值．∴a＝10。5，b＝10。5。三、解答題14．(2017·福建八校聯(lián)考）某教師為了了解高三一模所教兩個班級的數(shù)學(xué)成績情況，將兩個班的數(shù)學(xué)成績(單位：分）繪制成如圖所示的莖葉圖．（1)分別求出甲、乙兩個班級數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)、眾數(shù);(2）若規(guī)定成績大于等于115分為優(yōu)秀，分別求出兩個班級數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率；（3）從