因式分解的概念

因式分解的概念第一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日1.整式乘法有幾種形式?(1)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式(2)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式:a(m+n)=_______(3)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式:(a+b)(m+n)=_____________2.乘法公式有哪些?(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=_______

(2)完全平方公式:(a±b)2=___________am+anam+an+bm+bn復(fù)習(xí)與回顧第二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日993-99能被100整除嗎?小明是這樣想的:993-99=99×992-99×1=99×(992-1)=99(99+1)(99-1)=99×100×98所以,993-99能被100整除.你知道每一步的根據(jù)嗎?想一想:993-99還能被哪些整數(shù)整除?答：98，99探究第三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日做一做計(jì)算下列個(gè)式:3x(x-1)=_____(m+4)(m-4)=____(y-3)2=_______a(a+1)(a-1)=____m(a+b+c)=_________根據(jù)左面的算式填空:3x2-3x=_______m2-16=__________(3)y2-6y+9=______(4)a3-a=___________(5)ma+mb+mc=___________3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+9a3-a3x(x-1)m(a+b+c)(m+4)(m-4)

(y-3)2

a(a+1)(a-1)思考：左右兩邊的運(yùn)算有什么特點(diǎn)?第四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日（1）6等于2乘哪個(gè)整數(shù)？6＝2×3（2）x2－1等于x+1乘哪個(gè)多項(xiàng)式？對于多項(xiàng)式，有多項(xiàng)式x－1使得 ，我們把x+1叫作x2－1的一個(gè)因式，同理，x－1也是x2－1的一個(gè)因式．說一說對于整數(shù)6與2，有整數(shù)3使得6＝2×3，我們把2叫作6的一個(gè)因數(shù)．同理，3也是6的一個(gè)因數(shù)．第五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日

一般地，對于兩個(gè)多項(xiàng)f與g，如果有多項(xiàng)式h

使得f=gh，那么我們把g

叫作f的一個(gè)因式，此時(shí)，h也是

f的一個(gè)因式．在現(xiàn)代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，把單項(xiàng)式看成是只有一項(xiàng)的多項(xiàng)式．把寫成的形式，叫作把的因式分解

一般地，把一個(gè)含字母的多項(xiàng)式表示成若干個(gè)均含字母的多項(xiàng)式的乘積的形式，稱為把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．為什么要把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解呢？第六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日利用平方差公式，把方程的左邊 寫成(x+1)(x－1)，就得到方程把 寫成(x+1)(x－1)，叫作把 因式分解．(x+1)(x－1)＝0這樣就可以求出解了．你會(huì)解方程 嗎?多項(xiàng)式的因式分解為解決許多問題架起了橋梁．第七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日做一做計(jì)算下列個(gè)式:3x(x-1)=_____(m+4)(m-4)=____(y-3)2=_______a(a+1)(a-1)=____m(a+b+c)=_________根據(jù)左面的算式填空:3x2-3x=_______m2-16=__________(3)y2-6y+9=______(4)a3-a=___________(5)ma+mb+mc=___________3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+9a3-a3x(x-1)m(a+b+c)(m+4)(m-4)

(y-3)2

a(a+1)(a-1)第八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日因式分解定義像上面右邊是整式乘法、左邊是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式（單項(xiàng)式和多項(xiàng)式）的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式第九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日自學(xué)指導(dǎo)思考整式乘法與因式分解之間的關(guān)系？整式乘法與因式分解是互為逆運(yùn)算變形過程.因式分解有什么特點(diǎn)：1、等式左邊是多項(xiàng)式，右邊是整式乘積的形式2、等式右邊（即分解結(jié)果）不能含獨(dú)立的加減號(hào)3、分解到不能再分解為止第十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日自學(xué)檢測一理解概念判斷下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2).2x(x-3y)=2x2-6xy(3).(5a-1)2=25a2-10a+1(4).x2+4x+4=(x+2)2(5).(a-3)(a+3)=a2-9(6).m2-4=(m+4)(m-4)(7).2πR+2πr=2π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解第十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日解方程把③式左端的多項(xiàng)式因式分解，得從④式得即因此方程③的解是③④例1第十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日

同樣地，每一個(gè)多項(xiàng)式可以表示成若干個(gè)最基本的多項(xiàng)式的乘積的形式，從而為許多問題的解決架起了橋梁．

例如，以后我們要學(xué)習(xí)的分式的約分，解一元二次方程等，常常需要把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.第十三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日舉例

例1下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？（1）

a2+2ab+b2=(a+b)2；（2）

m2+m

-4=(m+3)(m-2)+2.第十四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日解是.因?yàn)閺淖筮叺接疫吺前讯囗?xiàng)式a2+2ab+b2表示成了多項(xiàng)式a+b與a+b

的積的形式.（1）

a2+2ab+b2=(a+b)2（2）

m2+m

-4=(m+3)(m-2)+2.解不是.因?yàn)?m+3)(

m-2)+2不是幾個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式.第十五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日例2

檢驗(yàn)下列因式分解是否正確.

（1）

x2+xy=x(x+y)；

（2）

a2

-5a+6=(a-2)(a-3)；

（3）2m2

-n2=(2m-n)(2m+n).分析檢驗(yàn)因式分解是否正確，只要看等式右邊的幾個(gè)多項(xiàng)式的乘積與左邊的多項(xiàng)式是否相等.第十六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日解因?yàn)?a-2)(a-3)=a2-5a+6，所以因式分解a2

-5a+6=(a-2)(a-3)正確.（1）

x2+xy=x(x+y)解因?yàn)閤(

x+y

)=x2+xy，所以因式分解x2+xy=x(x+y)正確.（2）

a2

-5a+6=(a-2)(a-3)

（3）2m2

-n2=(2m-n)(2m+n).解因?yàn)?2m-n)(2m+n)=4m2-n2≠2m2-n2，所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正確.第十七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日1.求4，6，14的最大公因數(shù).

答：因?yàn)?=2×26=2×314=2×7練習(xí)所以最大公因數(shù)是2.第十八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日2.下列各式由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是，為什么？（1）

(x+1)(x+2)=x2+3x+2；（2）2x2y+4xy2=2xy(x+2y)；答：是因式分解.（3）

x2-2=(x+1)(

x-1)-1；（4）4a2-4a+1=(2a-1)2.答：是因式分解.解不是.

因?yàn)閤2

+3x+2不是幾個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式.解不是.

因?yàn)?x+1)(x-1)-1不是幾個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式.第十九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日3.檢驗(yàn)下列因式分解是否正確.（1）-2a2+4a=-2a(a+2)

；（2）x3+x2+x=x(x2+x)

；解因?yàn)?2a(a+2)=-4a2-4a≠-2a2+4a

，所以因式分解-2a2+4a=-2a(a+2)不正確.（3）m2+3m+2=(m+1)(m+2).解因?yàn)閤(x2+x)=x3+x2≠x3+x2+x，所以因式分解x3+x2+x=x(x2+x)不正確.解因?yàn)?m+1)(m+2)=m2+3m+2，所以因式分解m2+3m+2=(m+1)(m+2)正確.第二十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日解:ab-ac=a(b-c)當(dāng)a=3.14,b=2.386,c=1.386時(shí),原式=3.14×(2.386-1.386)=3.14拓展延伸1.當(dāng)a=3.14，b=2.386，c=1.386時(shí)，求ab－ac的值。第二十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日2：計(jì)算3.若則=87（87+13）=(101+99)(101-99)4=8700=200×2=4002：計(jì)算3.若則2：計(jì)算3.若則2：計(jì)算3.若則第二十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期日規(guī)律總結(jié)整式的乘法是把幾個(gè)整式的積變?yōu)槎囗?xiàng)式的形