插值與擬合牛頓法演示文稿

插值與擬合牛頓法演示文稿當(dāng)前1頁，總共22頁。優(yōu)選插值與擬合牛頓法當(dāng)前2頁，總共22頁。Lagrange插值多項式的基函數(shù)：優(yōu)點：形式對稱，有很強的規(guī)律性，便于記憶。

缺點：(1)

重復(fù)計算多,導(dǎo)致計算量大；(2)

插值基函數(shù)lj(x)依賴于所有節(jié)點，當(dāng)增加插值節(jié)點時，原來已算出的所有l(wèi)j(x)都需要重新計算，使計算量加大。

當(dāng)前3頁，總共22頁。

差商及其性質(zhì)牛頓插值公式牛頓插值余項差分以及等距節(jié)點牛頓插值多項式4.3差商與牛頓插值公式Newton(1624～1727)當(dāng)前4頁，總共22頁。

由線性代數(shù)知識可知,任何一個n次多項式都可表示成:這n+1個多項式的線性組合.問：是否可以將這

n+1個多項式作為插值基函數(shù)？

已知函數(shù)

f(x)的插值節(jié)點

xi及相應(yīng)函數(shù)值,將上述線性無關(guān)的多項式取作Newton插值法的基函數(shù),即令：Newton插值基函數(shù)當(dāng)前5頁，總共22頁。則相應(yīng)的插值多項式為:式中,為待定參數(shù),它們可利用插值條件來求,即令：可以求得：當(dāng)前6頁，總共22頁。依此類推,可求得.為標(biāo)記、推導(dǎo)、記憶方便,給出差商定義,可得參數(shù)的一般表達(dá)式。這也太復(fù)雜了吧！當(dāng)前7頁，總共22頁。為關(guān)于節(jié)點的一階均差(差商)4.3.1差商及其性質(zhì)1.差商的定義:設(shè)給定函數(shù)在個互異的節(jié)點處的函數(shù)值為,稱為關(guān)于節(jié)點的二階差商缺倒數(shù)第二個節(jié)點缺最后一個節(jié)點最后一個節(jié)點－倒數(shù)第二個節(jié)點稱當(dāng)前8頁，總共22頁?？梢姡阂粋€高階差商可由兩個低一階的差商得到缺倒數(shù)第二個節(jié)點缺最后一個節(jié)點稱為關(guān)于節(jié)點的

k階差商最后一個節(jié)點－倒數(shù)第二個節(jié)點當(dāng)前9頁，總共22頁。由此定義,顯然:用歸納法可證：將上述結(jié)果代入：當(dāng)前10頁，總共22頁。2.差商的性質(zhì)性質(zhì)1：差商與函數(shù)值的關(guān)系

f(x)關(guān)于的

k階差商是

f(x)在這些點上函數(shù)值的線性組合,即例如:可以用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)前11頁，總共22頁。利用對稱性,可對

f(x)關(guān)于的

k階差商變形注：上式是計算中常用的差商公式，可建立差商表.缺第一個節(jié)點缺最后一個節(jié)點最后一個節(jié)點－第一個節(jié)點性質(zhì)2：對稱性差商對于定義它的節(jié)點而言是對稱的,也就是說任意調(diào)換節(jié)點的次序,差商的值不變當(dāng)前12頁，總共22頁。3.差商的計算方法：差商表規(guī)定函數(shù)值為零階差商當(dāng)前13頁，總共22頁。性質(zhì)3:差商與函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)

f(k)(x)

在包含節(jié)點

x0,

x1,

…,

xk

的區(qū)間存在時,在

x0,x1,…,xk之間必存在一點ξ,使得當(dāng)前14頁，總共22頁。內(nèi)容歸納Newton插值基函數(shù):并形式上給出Newton插值多項式:式中,待定.通過引進均差/差商的概念,可以將系數(shù)表示為：當(dāng)前15頁，總共22頁。4.3.2牛頓插值公式為

f

(x)

關(guān)于節(jié)點的

n

次Newton插值多項式.1.定義:稱------(1)當(dāng)前16頁，總共22頁。由插值多項式的唯一性,Newton插值公式的余項為:實用的余項估計式：------(2)Lagrange插值多項式導(dǎo)數(shù)型余項當(dāng)前17頁，總共22頁。若將視為一個節(jié)點,則由一階均差定義4.3.3牛頓插值余項同理,由二階均差定義有有當(dāng)前18頁，總共22頁。因此可得:Newton插值多項式差商型余項------(3)當(dāng)前19頁，總共22頁。4.3.4差分及其等距節(jié)點牛頓插值多項式定義4.4

設(shè)

f(x)

在等距節(jié)點處的函數(shù)值為稱為f(x)在xk處的二階向前差分為f(x)在xk處的一階向前差分等距節(jié)點插值是比較常見的情況,為簡化計算,引進差分的概念.依此類推:為f(x)在x