演示文稿中心力場講解

（優(yōu)選）第五章中心力場當(dāng)前1頁，總共41頁。在求解中心力場中粒子的能量本征方程時，選用

為力學(xué)量完全集是很方便的。這是因為：當(dāng)選用了守恒量完全集（

，

，

）來對態(tài)進(jìn)行分類以后，屬于同一個能級的諸簡并態(tài)的正交性問題將自動得到保證。能量本征方程為:考慮到中心力場的特點：球?qū)ΨQ性，選用球坐標(biāo)系是方便的，此時利用xz球坐標(biāo)ry當(dāng)前2頁，總共41頁。左邊第一項稱為徑向動能算符，第二項稱為離心勢能。H的本征方程此式使用了角動量平方算符L2

的表達(dá)式：當(dāng)前3頁，總共41頁。取:分離變量,徑向方程可寫為：當(dāng)前4頁，總共41頁。徑向波函數(shù)或的歸一化條件可寫成:，（不慢于

）求解方程時，可作以下替換，使得計算更方便，令：

代入式得：由于波函數(shù)要求有限，所以要求這就是徑向方程的一個定解條件。

當(dāng)前5頁，總共41頁。（1）不同的中心力場中粒子的能量本征波函數(shù)的差別僅在于徑向波函數(shù)Rl(r)或l(r)，它們由中心勢V(r)的性質(zhì)決定。一般而言，中心力場中粒子的能級至少為2l+1重簡并的。注意：（2）在一定邊界條件下求解徑向方程，即可得出能量本征值E。對于非束縛態(tài)，E是連續(xù)變化的。對于束縛態(tài)，則E取離散值。（3）在求解徑向方程時，由于束縛態(tài)邊界條件，將出現(xiàn)徑向量子數(shù)nr.

當(dāng)前6頁，總共41頁。二、兩體問題化為單體問題

兩個質(zhì)量分別為m1和m2的粒子，相互作用只依賴于相對距離。這個二粒子體系的能量本征方程為：ET為體系的總能量。引入質(zhì)心坐標(biāo)和相對坐標(biāo)

1x+r1r2rR2Oyz二體運動可化為：I一個具有折合質(zhì)量的粒子在場中的運動II二粒子作為一個整體的質(zhì)心運動。當(dāng)前7頁，總共41頁?？梢宰C明：其中——體系的總質(zhì)量，

——約化質(zhì)量或折合質(zhì)量。

對兩個粒子坐標(biāo)的微商變換成對相對坐標(biāo)和質(zhì)心坐標(biāo)的微商。

當(dāng)前8頁，總共41頁。則二粒子體系的能量本征方程可化為：此方程可分離變量，令得：當(dāng)前9頁，總共41頁。分解為二個本征方程:描述質(zhì)心運動，是能量為EC的自由粒子的能量本征方程，EC是質(zhì)心運動能量。即質(zhì)心按能量為EC的自由粒子的方式運動。這沒有提供與體系內(nèi)部狀態(tài)有關(guān)的任何信息。描述相對運動，E是相對運動能量?？梢钥闯雠c單粒子能量本征方程形式上相同，只不過應(yīng)把m理解為約化質(zhì)量，E理解為相對運動能量。當(dāng)前10頁，總共41頁。§5.4氫原子 量子力學(xué)發(fā)展史上最突出得成就之一是對氫原子光譜和化學(xué)元素周期律給予了相當(dāng)滿意得解釋。氫原子是最簡單的原子，其Schrodinger方程可以嚴(yán)格求解，氫原子理論還是了解復(fù)雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。當(dāng)前11頁，總共41頁。氫原子的原子核是一個質(zhì)子，帶電+e，在它的周圍有一個電子繞著它運動。它與電子的庫侖吸引能為（取無窮遠(yuǎn)為勢能零點）這是一個兩體問題。1x+r1r2rR2Oyz當(dāng)前12頁，總共41頁。具有一定角動量的氫原子的徑向波函數(shù)滿足下列方程：

邊界條件：為電子的約化質(zhì)量，me和mp分別為電子和質(zhì)子的質(zhì)量。(1)當(dāng)前13頁，總共41頁。一、氫原子的能級氫原子的能量本征值：(2)玻爾半徑：主量子數(shù)：n見110頁：氫原子的能級圖當(dāng)前14頁，總共41頁。當(dāng)前15頁，總共41頁。與En相應(yīng)的歸一化的徑向波函數(shù)為：二、氫原子的波函數(shù)

合流超幾何函數(shù)當(dāng)前16頁，總共41頁。氫原子的束縛態(tài)能量本征函數(shù)為：、定態(tài)波函數(shù)的共同本征函數(shù)。是氫原子體系和主量子數(shù)角動量量子數(shù)磁量子數(shù)當(dāng)前17頁，總共41頁。當(dāng)前18頁，總共41頁。當(dāng)前19頁，總共41頁。1、能級簡并度氫原子的能級只與主量子數(shù)n有關(guān)，對應(yīng)的本征態(tài)

因此能級是簡并的（除n=1外），簡并度為討論：當(dāng)前20頁，總共41頁。2、氫原子核外電子的幾率分布當(dāng)氫原子處于nlm態(tài)時，在點周圍的體積元內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的幾率為:人們常常形象地把這個幾率分布叫做“幾率云”或“電子云”.當(dāng)前21頁，總共41頁。（1）在(r,r+dr)球殼中找到電子的幾率——徑向概率分布

稱為徑向幾率密度或徑向分布函數(shù)。取最大值的半徑稱為最可幾半徑。使當(dāng)前22頁，總共41頁。例如：氫原子處于基態(tài)，求最可幾半徑?解：

令經(jīng)檢驗為最大值時是最可幾半徑

所以當(dāng)前23頁，總共41頁。[1，0][2，0][3，0][4，0]0369121518212427303336r/a0a0Wnl(r)0.60.50.40.30.20.1Wnl(r)~r的函數(shù)關(guān)系[n，l]Rnl(r)的節(jié)點數(shù)nr=n––1當(dāng)前24頁，總共41頁。[2，1][3，1][4，1]04812162024283236404448r/a0a0Wnl(r)0.240.200.160.120.080.04Wnl(r)~r的函數(shù)關(guān)系[n，l]Rnl(r)的節(jié)點數(shù)nr=n––1當(dāng)前25頁，總共41頁。討論：<1>、關(guān)于描述氫原子核外電子分布問題舊量子論：電子在核外作軌道運動量子力學(xué)：由于電子的波粒二象性使軌道概念失去了意義，氫原子核外電子是以幾率分布的形式出現(xiàn)。<2>、關(guān)于氫原子的第一玻爾軌道半徑量子力學(xué)幾率分布的觀點解釋a的物理意義：當(dāng)氫原子處于1s態(tài)時，在r=a處找到電子的幾率最大，在r<a和r>a的區(qū)域仍有電子分布，只不過幾率較小而已。

當(dāng)前26頁，總共41頁。對r(0∞)積分Rnl(r)已歸一電子在(θ,)附近立體角d=sindd內(nèi)的幾率右圖示出了各種,m態(tài)下，Wm()關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，由于它與角無關(guān)，所以圖形都是繞z軸旋轉(zhuǎn)對稱的立體圖形。該幾率與角無關(guān)例1.=0,m=0，有：W00=(1/4)，與也無關(guān)，是一個球?qū)ΨQ分布。xyz(2)在中找到電子的幾率——角向分布方向的立體角當(dāng)前27頁，總共41頁。例2.=1,m=±1時，W1,±1(θ)=(3/8π)sin2

。在

=π/2時，有最大值。在

=0沿極軸方向（z向）W1,±1=0。例3.=1,m=0時，W1,0()={3/4π}cos2。正好與例2相反，在

=0時，最大；在

=π/2時，等于零。zzyxxyZ當(dāng)前28頁，總共41頁。m=-2m=+2m=+1m=-1m=0

=2當(dāng)前29頁，總共41頁。證明：的氫原子中的電子，在的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。解：

∴的電子，其

∴當(dāng)時為最大值。即在方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率最大。

在其它方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在～之間。例題1當(dāng)前30頁，總共41頁。3、類氫離子

以上結(jié)果對于類氫離子（He+，Li++，Be+++等，這些離子的原子核外，只有一個電子）也都適用。但需把核電荷+e換為+Ze（Z是核所帶正電荷數(shù)），而換為相應(yīng)的約化質(zhì)量。特別是類氫離子的能級公式為

當(dāng)前31頁，總共41頁。設(shè)氫原子處于狀態(tài)

求氫原子能量、角動量平方、角動量z分量的可能值及其幾率，并求其平均值。例題2當(dāng)前32頁，總共41頁。的可能值為：，解：能量的可能值為：

概率分別為：1/3，1/2，1/6

概率分別為：1/3，1/2，1/6概率分別為：1/3，1/2，1/6

的可能值為：，平均值分別為：當(dāng)前33頁，總共41頁。設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。例題3當(dāng)前34頁，總共41頁。氫原子處在基態(tài)，求：

(1)r的平均值；(2)勢能的平均值；

(3)最可幾半徑；

(4)動能的平均值；

例題4當(dāng)前35頁，總共41頁。解：(1)

當(dāng)前36頁，總共41頁。(3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為

令

當(dāng)為幾率最小位置

∴

是最可幾半徑。

當(dāng)前37頁，總共41頁。(4)

當(dāng)前38頁，總共41頁。解： （1）三維諧振子Hamilton量例1.求三維諧振子能級，并討論它的簡并情況§5.3二維、三維各向同性諧振子（105頁）當(dāng)前39頁，總共41頁。（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值為：則波函數(shù)三方向的分量分別滿足如下三個方程：因此，設(shè)能量本征方程的解為：如果系統(tǒng)Hamilton量可以寫成