演示文稿常微分方程第三

（優(yōu)選）常微分方程第三版第一章ppt講解當前1頁，總共29頁。常微分方程Ordinarydifferentialequation第一章緒論第二章一階微分方程的初等解法第三章一階微分方程的解的存在定理第四章高階微分方程第五章線性微分方程組第六章定性理論初步1

2第七章一階線性偏微分方程當前2頁，總共29頁。課程目的/MajorSubjectionofCourse/

學習各類可求解的常微分方程和方程組的類型及其求解方法。熟悉常微分方程解的基本性質，如解的存在性，唯一性等內容，了解研究常微分方程的基本方法，如穩(wěn)定性分析、定性分析等。課時/Periods/4節(jié)/周，共54學時?？荚?Examination/

閉卷：期中測驗、期末考試。參考書目/ReferenceBooks/

葉彥謙，常微分方程講義，高等教育出版社。王柔懷，伍卓群，常微分方程講義，人民教育出版社。當前3頁，總共29頁。第一章緒論

Introduction當前4頁，總共29頁。

微分方程概述/SketchofODE/

基本概念/BasicConception/

練習題/Exercise/當前5頁，總共29頁。本章要求/Requirements/

能快速判斷微分方程的類型；掌握高階微分方程及其初值問題的一般形式；

理解微分方程解的意義。CH.1Introduction當前6頁，總共29頁。

微分方程理論起始于十七世紀末，是研究自然現(xiàn)象強有力的工具，是數(shù)學科學聯(lián)系實際的主要途徑之一。

1676年，萊布尼茲在給Newton（牛頓）的信中首次提到DifferentialEquations（微分方程）這個名詞。微分方程研究領域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、Euler、Taylor、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。微分方程理論發(fā)展經歷了三個過程：求微分方程的解；定性理論與穩(wěn)定性理論；微分方程的現(xiàn)代分支理論?！?.1

微分方程概述/SketchofODE/§1.1SketchofODE當前7頁，總共29頁。

含有未知量(數(shù))的等式(或關系式)。例如:1代數(shù)方程(組)，其未知量為數(shù)一元n次代數(shù)方程：無理方程：方程組：2超越方程（組），其含有超越函數(shù)三角方程：指數(shù)方程：其特點：方程的解為實數(shù)（有限個或者無限個）方程/Equation/§1.1SketchofODE當前8頁，總共29頁。例

3函數(shù)方程（或泛函方程），其未知量為函數(shù)其特點：方程的解為有限個或無窮多個函數(shù)。定義：一個或幾個包含自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些階導數(shù)（或微商）的關系式，稱之為微分方程

。§1.1SketchofODE當前9頁，總共29頁。n階隱式方程n階顯式方程方程組偏微分方程偏微分方程不是微分方程§1.1SketchofODE當前10頁，總共29頁。例1：質量為m的物體在重力的作用下，沿鉛直線下落，物體下落距離S(向下為正）隨時間t而改變。在不考慮空氣阻力的情況下，試求出距離S應滿足的微分方程。

微分方程模型舉例/ModelingofODE/解：設在時刻t物體下落的距離為

按牛頓第二定律§1.1SketchofODE當前11頁，總共29頁。

例2：放射性元素鐳因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質量，這種現(xiàn)象成為衰變，實驗知鐳的衰變率與其當時的質量成比例。試求鐳衰變的規(guī)律。

微分方程模型：含有自變量，未知函數(shù)及未知函數(shù)導數(shù)（或變化率）的關系式。解：設在任意時刻t鐳的質量為R(t),§1.1SketchofODE當前12頁，總共29頁?！?.2

基本概念/BasicConception/1.常微分方程和偏微分方程

2.一階與高階微分方程

3.線性和非線性微分方程

4.解和隱式解

5.通解和特解

6.積分曲線和積分曲線族

7.微分方程的幾何解釋-----方向場當前13頁，總共29頁。常微分方程與偏微分方程/ODEandPDE/

常微分方程/ODE/

在微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個的微分方程稱為常微分方程。偏微分方程/PDE/

自變量的個數(shù)有兩個或兩個以上的微分方程稱為偏微分方程?！?.2BasicConception當前14頁，總共29頁。一階與高階微分方程/FirstandHigherODE/微分方程的階/Order/

在一個微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導數(shù)的最高階數(shù)n稱為該方程的階。當n=1時，稱為一階微分方程；當n>1時，稱為高階微分方程。例如§1.2BasicConception當前15頁，總共29頁。一階常微分方程的一般隱式形式可表示為：一階常微分方程的一般顯式形式可表示為：類似的，n階隱方程的一般形式可表示為：n階顯方程的一般形式為其中F及f分別是它所依賴的變元的已知函數(shù)?！?.2BasicConception當前16頁，總共29頁。線性和非線性微分方程/LinearandNonlinearODE/如果方程的左端為未知函數(shù)及其各階導數(shù)的一次有理整式，則稱它為線性微分方程，否則，稱它為非線性微分方程。例如：§1.2BasicConception當前17頁，總共29頁。n階線性微分方程的一般形式為：其中均為的已知函數(shù)如：2階線性方程的一般形式§1.2BasicConception當前18頁，總共29頁。解和隱式解/Solution/

對于方程若將函數(shù)代入方程后使其有意義且兩端成立即則稱函數(shù)為該方程的一個解.或一階微分方程有解即關系式

若方程的解是某關系式的隱函數(shù)，稱這個關系式為該方程的隱式解。把方程解和隱式解統(tǒng)稱為方程的解。包含了方程的解，§1.2BasicConception當前19頁，總共29頁。通解和特解/GeneralSolutionandSpecialSolution/

常微分方程的解的表達式中，可能包含一個或者幾個常數(shù)，若其所包含的獨立的任意常數(shù)的個數(shù)恰好與該方程的階數(shù)相同，我們稱這樣的解為該微分方程的通解。常微分方程滿足某個初始條件的解稱為微分方程的特解。例：二階方程其通解而是方程滿足初始條件解。§1.2BasicConception當前20頁，總共29頁。初值條件/InitialValueConditions/對于n階方程初值條件可表示為n階方程初值問題（CauchyProblem）的表示一階和二階方程初值問題（CauchyProblem）的表示§1.2BasicConception當前21頁，總共29頁。積分曲線和積分曲線族

/IntegralCurve(s)/一階微分方程的解平面的一條曲線，我們稱它為微分方程的積分曲線，而微分方程的通解表示表示平面的一族曲線，稱它們?yōu)槲⒎址匠痰姆e分曲線族?！?.2BasicConception當前22頁，總共29頁。方向場/DirectionalPattern/對于一階微分方程其右端函數(shù)的定義域為，在定義域的每一點處，畫一個小線段，其斜率等于，此時，點集就成為帶有方向的點集。稱此區(qū)域為由方程確定的方向場。常微分方程求解的幾何意義是：在方向場中尋求一條曲線，使這條曲線上每一點切線的方向等于方向場中該點的方向?！?.2BasicConception當前23頁，總共29頁。例1

畫出方程的方向場。等傾線方程即也就是說，方向場中每點的方向與該點等傾線垂直。xyo§1.2BasicConception當前24頁，總共29頁。例2畫出方程的方向場。等傾線方程xyo，拐點線方程§1.2BasicConception當前25頁，總共29頁。練習題1編號微分方程自變量未知函數(shù)常或偏階數(shù)是否線性1234§1.3Exercise當前26頁，總共29頁。練習題2編號函數(shù)微分方程初始條件1234§1.3Exercise當前27頁，總共29頁。練習題3求下列曲線族所滿足的微分方程§1.3Exercise當前28頁，總共29頁。作業(yè)/Homework/4.給定一階微分方程（1）求出它的通解.（2）求