2011年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）（含解析版）

第頁碼頁碼頁/總NUMPAGES總頁數(shù)總頁數(shù)頁2011年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）復(fù)數(shù)z=1+i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則z?﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i 2．（5分）函數(shù)y=（x≥0）的反函數(shù)為（）A．y=（x∈R） B．y=（x≥0） C．y=4x2（x∈R） D．y=4x2（x≥0）3．（5分）下面四個條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是（）A．a(chǎn)＞b+1 B．a(chǎn)＞b﹣1 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3 4．（5分）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，則k=（）A．8 B．7 C．6 D．5 5．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=cosωx（ω＞0），將y=f（x）的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則ω的最小值等于（）A． B．3 C．6 D．9 6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于（）A． B． C． D．1 7．（5分）某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（）A．4種 B．10種 C．18種 D．20種 8．（5分）曲線y=e﹣2x+1在點（0，2）處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為（）A． B． C． D．1 9．（5分）設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），則=（）A．﹣ B．﹣ C． D． 10．（5分）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線y=2x﹣4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB=（）A． B． C． D． 11．（5分）已知平面α截一球面得圓M，過圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4π，則圓N的面積為（）A．7π B．9π C．11π D．13π 12．（5分）設(shè)向量，，滿足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，則||的最大值等于（）A．2 B． C． D．1 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.（注意：在試題卷上作答無效）13．（5分）的二項展開式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，則tan2α=．15．（5分）已知F1、F2分別為雙曲線C：的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為（2，0），AM為∠F1AF2的平分線，則|AF2|=．16．（5分）已知E、F分別在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．18．（12分）根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3．設(shè)各車主購買保險相互獨立．（Ⅰ）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；（Ⅱ）X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)．求X的期望．19．（12分）如圖，四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）證明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小．20．（12分）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0且．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，記，證明：Sn＜1．21．（12分）已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為﹣的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足．（Ⅰ）證明：點P在C上；（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．22．（12分）（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，證明：當x＞0時，f（x）＞0．（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽到的20個號碼互不相同的概率為p，證明：．

2011年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）復(fù)數(shù)z=1+i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則z?﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i 【考點】A5：復(fù)數(shù)的運算．【專題】11：計算題．【分析】求出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，代入表達式，求解即可．【解答】解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i故選：B．【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算，考查計算能力，?？碱}型．2．（5分）函數(shù)y=（x≥0）的反函數(shù)為（）A．y=（x∈R） B．y=（x≥0） C．y=4x2（x∈R） D．y=4x2（x≥0） 【考點】4R：反函數(shù)．【專題】11：計算題．【分析】由原函數(shù)的解析式解出自變量x的解析式，再把x和y交換位置，注明反函數(shù)的定義域（即原函數(shù)的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函數(shù)為y=（x≥0）．故選：B．【點評】本題考查函數(shù)與反函數(shù)的定義，求反函數(shù)的方法和步驟，注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域．3．（5分）下面四個條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是（）A．a(chǎn)＞b+1 B．a(chǎn)＞b﹣1 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3 【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件．【專題】5L：簡易邏輯．【分析】利用不等式的性質(zhì)得到a＞b+1?a＞b；反之，通過舉反例判斷出a＞b推不出a＞b+1；利用條件的定義判斷出選項．【解答】解：a＞b+1?a＞b；反之，例如a=2，b=1滿足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的條件．故選：A．【點評】本題考查不等式的性質(zhì)、考查通過舉反例說明某命題不成立是常用方法．4．（5分）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，則k=（）A．8 B．7 C．6 D．5 【考點】85：等差數(shù)列的前n項和．【專題】11：計算題．【分析】先由等差數(shù)列前n項和公式求得Sk+2，Sk，將Sk+2﹣Sk=24轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程求解．【解答】解：根據(jù)題意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2∴Sk+2﹣Sk=24轉(zhuǎn)化為：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故選：D．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式及其應(yīng)用，同時還考查了方程思想，屬中檔題．5．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=cosωx（ω＞0），將y=f（x）的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則ω的最小值等于（）A． B．3 C．6 D．9 【考點】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】56：三角函數(shù)的求值．【分析】函數(shù)圖象平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，說明函數(shù)平移整數(shù)個周期，容易得到結(jié)果．【解答】解：f（x）的周期T=，函數(shù)圖象平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，說明函數(shù)平移整數(shù)個周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故選：C．【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的圖象的平移，三角函數(shù)的周期定義的理解，考查技術(shù)能力，?？碱}型．6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于（）A． B． C． D．1 【考點】MK：點、線、面間的距離計算．【專題】11：計算題；13：作圖題；35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】畫出圖形，由題意通過等體積法，求出三棱錐的體積，然后求出D到平面ABC的距離．【解答】解：由題意畫出圖形如圖：直二面角α﹣l﹣β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐D﹣ABC的高為h，所以AD=，CD=，BC=由VB﹣ACD=VD﹣ABC可知所以，h=故選C．【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查點到平面的距離，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，等體積法是求解點到平面距離的基本方法之一，考查計算能力．7．（5分）某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（）A．4種 B．10種 C．18種 D．20種 【考點】D3：計數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】11：計算題．【分析】本題是一個分類計數(shù)問題，一是3本集郵冊一本畫冊，讓一個人拿一本畫冊有4種，另一種情況是2本畫冊2本集郵冊，只要選兩個人拿畫冊C42種，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，一是3本集郵冊一本畫冊，從4位朋友選一個有4種，另一種情況是2本畫冊2本集郵冊，只要選兩個人拿畫冊C42=6種，根據(jù)分類計數(shù)原理知共10種，故選：B．【點評】本題考查分類計數(shù)問題，是一個基礎(chǔ)題，這種題目可以出現(xiàn)在選擇或填空中，也可以出現(xiàn)在解答題目的一部分中．8．（5分）曲線y=e﹣2x+1在點（0，2）處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為（）A． B． C． D．1 【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成一般式，然后求出與y軸和直線y=x的交點，根據(jù)三角形的面積公式求出所求即可．【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲線y=e﹣2x+1在點（0，2）處的切線方程為y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為×1×=故選：A．【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及兩直線垂直的應(yīng)用等有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），則=（）A．﹣ B．﹣ C． D． 【考點】3I：奇函數(shù)、偶函數(shù)；3Q：函數(shù)的周期性．【專題】11：計算題．【分析】由題意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知條件進行運算．【解答】解：∵f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故選：A．【點評】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性的應(yīng)用，以及求函數(shù)的值．10．（5分）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線y=2x﹣4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB=（）A． B． C． D． 【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)已知中拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線y=2x﹣4與C交于A，B兩點，我們可求出點A，B，F(xiàn)的坐標，進而求出向量，的坐標，進而利用求向量夾角余弦值的方法，即可得到答案．【解答】解：∵拋物線C：y2=4x的焦點為F，∴F點的坐標為（1，0）又∵直線y=2x﹣4與C交于A，B兩點，則A，B兩點坐標分別為（1，﹣2）（4，4），則=（0，﹣2），=（3，4），則cos∠AFB===﹣，故選：D．【點評】本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關(guān)系，其中構(gòu)造向量然后利用向量法處理是解答本題的重要技巧．11．（5分）已知平面α截一球面得圓M，過圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4π，則圓N的面積為（）A．7π B．9π C．11π D．13π 【考點】MJ：二面角的平面角及求法．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】先求出圓M的半徑，然后根據(jù)勾股定理求出求出OM的長，找出二面角的平面角，從而求出ON的長，最后利用垂徑定理即可求出圓N的半徑，從而求出面積．【解答】解：∵圓M的面積為4π∴圓M的半徑為2根據(jù)勾股定理可知OM=∵過圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圓N的半徑為則圓的面積為13π故選：D．【點評】本題主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知識，同時考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）設(shè)向量，，滿足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，則||的最大值等于（）A．2 B． C． D．1 【考點】9P：平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】利用向量的數(shù)量積求出的夾角；利用向量的運算法則作出圖；結(jié)合圖，判斷出四點共圓；利用正弦定理求出外接圓的直徑，求出最大值．【解答】解：∵，∴的夾角為120°，設(shè)，則；=如圖所示則∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四點共圓∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=當OC為直徑時，模最大，最大為2故選：A．【點評】本題考查向量的數(shù)量積公式、向量的運算法則、四點共圓的判斷定理、三角形的正弦定理．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.（注意：在試題卷上作答無效）13．（5分）的二項展開式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為0．【考點】DA：二項式定理．【專題】11：計算題．【分析】利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數(shù)分別取1，9求出x的系數(shù)與x9的系數(shù)；求出值．【解答】解：展開式的通項為令得r=2；令得r=18∴x的系數(shù)與x9的系數(shù)C202，C2018∴x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為C202﹣C2018=0故答案為：0【點評】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，則tan2α=﹣．【考點】GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；GS：二倍角的三角函數(shù)．【專題】11：計算題．【分析】利用題目提供的α的范圍和正弦值，可求得余弦值從而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案為：﹣【點評】本題考查了二倍角的正切與同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，是個基礎(chǔ)題．15．（5分）已知F1、F2分別為雙曲線C：的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為（2，0），AM為∠F1AF2的平分線，則|AF2|=6．【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】16：壓軸題．【分析】利用雙曲線的方程求出雙曲線的參數(shù)值；利用內(nèi)角平分線定理得到兩條焦半徑的關(guān)系，再利用雙曲線的定義得到兩條焦半徑的另一條關(guān)系，聯(lián)立求出焦半徑．【解答】解：不妨設(shè)A在雙曲線的右支上∵AM為∠F1AF2的平分線∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案為6【點評】本題考查內(nèi)角平分線定理；考查雙曲線的定義：解有關(guān)焦半徑問題常用雙曲線的定義．16．（5分）已知E、F分別在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于．【考點】MJ：二面角的平面角及求法．【專題】11：計算題；16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合．【分析】由題意畫出正方體的圖形，延長CB、FE交點為S連接AS，過B作BP⊥AS連接PE，所以面AEF與面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP與正方體的棱長的關(guān)系，然后求出面AEF與面ABC所成的二面角的正切值．【解答】解：由題意畫出圖形如圖：因為E、F分別在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延長CB、FE交點為S連接AS，過B作BP⊥AS連接PE，所以面AEF與面ABC所成的二面角就是∠BPE，因為B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以SB：SC=1：2，設(shè)正方體的棱長為：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，tan∠EPB===，故答案為：【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查二面角的平面角的正切值的求法，解題的關(guān)鍵是能夠作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查計算能力，邏輯推理能力．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．【考點】HU：解三角形．【專題】11：計算題．【分析】由A﹣C等于得到A為鈍角，根據(jù)誘導(dǎo)公式可知sinA與cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化簡后，把sinA換為cosC，利用特殊角的三角函數(shù)值和兩角和的正弦函數(shù)公式把左邊變?yōu)橐粋€角的正弦函數(shù)，給方程的兩邊都除以后，根據(jù)C和B的范圍，得到C+=B或C++B=π，根據(jù)A為鈍角，所以C++B=π不成立舍去，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和為π，列出關(guān)于C的方程，求出方程的解即可得到C的度數(shù)．【解答】解：由A﹣C=，得到A為鈍角且sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b可變?yōu)椋簊inA+sinC=sinB，即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又A，B，C是△ABC的內(nèi)角，故C+=B或C++B=π（舍去），所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=π，解得C=．【點評】此題考查學(xué)生靈活運用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值以及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時應(yīng)注意三角形的內(nèi)角和定理及角度范圍的運用．18．（12分）根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3．設(shè)各車主購買保險相互獨立．（Ⅰ）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；（Ⅱ）X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)．求X的期望．【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【專題】11：計算題．【分析】（Ⅰ）首先求出購買乙種保險的概率，再由獨立事件和對立事件的概率求出該車主甲、乙兩種保險都不購買的概率，然后求該車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率即可．（Ⅱ）每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率均相等，故為獨立重復(fù)試驗，X服從二項分布，由二項分布的知識求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)該車主購買乙種保險的概率為P，則P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6，該車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由對立事件的概率該車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率1﹣0.2=0.8（Ⅱ）甲、乙兩種保險都不購買的概率為0.2，X～B（100，0.2）所以EX=100×0.2=20【點評】本題考查對立事件獨立事件的概率、獨立重復(fù)試驗即二項分布的期望等知識，考查利用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．19．（12分）如圖，四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）證明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大?。究键c】LW：直線與平面垂直；MI：直線與平面所成的角．【專題】11：計算題；14：證明題．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，即證明SD垂直于面SAB中兩條相交的直線SA，SB；在證明SD與SA，SB的過程中運用勾股定理即可（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，當為銳角時，所求的角即為它的余角；當為鈍角時，所求的角為【解答】（Ⅰ）證明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB?面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如圖所示的空間坐標系則A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，則由四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形知，M點一定在x軸上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，從而解得SM=，故可得S（，0，）則設(shè)平面SBC的一個法向量為則，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一個法向量為=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB與平面SBC所成的角的大小為arcsin【點評】本題考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角以及空間向量的基本知識，屬于中檔題．20．（12分）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0且．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，記，證明：Sn＜1．【考點】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式；8K：數(shù)列與不等式的綜合．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】（Ⅰ）由是公差為1的等差數(shù)列，知，由此能求出{an}的通項公式．（Ⅱ）由==，能夠證明Sn＜1．【解答】解：（Ⅰ）是公差為1的等差數(shù)列，，∴（n∈N*）．（Ⅱ）==，∴=1﹣＜1．【點評】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意裂項求和法的合理運用．21．（12分）已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為﹣的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足．（Ⅰ）證明：點P在C上；（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角；KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】15：綜合題；16：壓軸題；35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】（1）要證明點P在C上，即證明P點的坐標滿足橢圓C的方程，根據(jù)已知中過F且斜率為﹣的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足，我們求出點P的坐標，代入驗證即可．（2）若A、P、B、Q四點在同一圓上，則我們可以先求出任意三點確定的圓的方程，然后將第四點坐標代入驗證即可．【解答】證明：（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）橢圓C：①，則直線AB的方程為：y=﹣x+1②聯(lián)立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，則x1+x2=，x1×x2=﹣則y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1設(shè)P（p1，p2），則有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐標為（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以點P在C上．（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．設(shè)線段AB的中點坐標為（，），即（，），則過線段AB的中點且垂直于AB的直線方程為：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P關(guān)于點O的對稱點為Q，故0（0.0）為線段PQ的中點，則過線段PQ的