《近世代數(shù)》教學(xué)大綱（本科）

“近世代數(shù)”課程教學(xué)大綱課程編號：08022030課程名稱：近世代數(shù)/ModernAlgebra學(xué)時：72學(xué)時學(xué)分：4學(xué)分適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)開課學(xué)期：第3學(xué)期開課部門：數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院先修課程：高等代數(shù)課程考核：(1)考核形式：平時作業(yè)、考勤和期末考試（閉卷考試，百分制成績）(2)成績計算：課程成績按百分制計算，其中期末試卷考試成績占70%，平時作業(yè)、課堂考核占30%。使用教材及主要參考書：楊子胥《近世代數(shù)》，高等教育出版社，2011年張禾瑞《近世代數(shù)基礎(chǔ)》，高等教育出版社，1978年熊全淹，《近世代數(shù)》，武漢大學(xué)出版社，2004年一、課程的性質(zhì)和任務(wù)《近世代數(shù)》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)必修課程，是數(shù)學(xué)專業(yè)方向的主干課程，《近世代數(shù)》中的相關(guān)內(nèi)容是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的基礎(chǔ)。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步了解近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的構(gòu)造思想和公理化思想。同時，通過近世代數(shù)基本理論知識，增強學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力，為后續(xù)課程學(xué)習(xí)和學(xué)生今后的進(jìn)一步深造打下堅實的基礎(chǔ)。二、教學(xué)目的與要求通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)生較好地掌握群、環(huán)、域、模等理論的基本概念和相關(guān)性質(zhì)，理解群同態(tài)與同構(gòu)，環(huán)同態(tài)與同構(gòu)、模同態(tài)與同構(gòu)等定理和它們的應(yīng)用，為進(jìn)一步在數(shù)學(xué)領(lǐng)域深造及學(xué)習(xí)本學(xué)科的前沿知識打下基礎(chǔ)，同時培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，邏輯推理能力以及研究與解決數(shù)學(xué)問題的能力。三、教學(xué)學(xué)時分配章節(jié)內(nèi)容學(xué)時1代數(shù)系102群論243環(huán)與域264模論12合計72四、教學(xué)中應(yīng)注意的問題本課程以課堂講授為主，精講多練，注重理論聯(lián)系實際。各章中平行的內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)，以提高學(xué)生獨立思考和解決問題的能力。《近世代數(shù)》課程涉及的概念較多，解題方法靈活多樣，更需要分析和解決問題的能力，因此必須通過做練習(xí)題來加深對概念的理解和掌握，基本方法的運用，從而達(dá)到理解、掌握所學(xué)知識的目的。因此獨立完成作業(yè)是學(xué)好本課程的重要手段。在教學(xué)中，通過習(xí)題的布置，使學(xué)生深入理解基本原理及概念，提高分析和解決問題的能力。五、課程教學(xué)內(nèi)容第一章代數(shù)系（帶有運算的集合）1.教學(xué)基本內(nèi)容（1）集合：集合定義的描述，集合的運算等；（2）映射：映射三要素，特殊映射，映射的復(fù)合等；（3）代數(shù)運算：定義，代數(shù)運算表，代數(shù)系，代數(shù)運算律（結(jié)合律、交換律、分配律）；（4）代數(shù)系中的特殊元素：單位元，逆元；（5）等價關(guān)系：關(guān)系的定義，等價關(guān)系的定義；（6）集合的分類：集合分類，等價關(guān)系與集合的分類。2.教學(xué)基本要求（1）理解集合的概念，掌握集合的運算，會使用集合的符號；（2）理解映射與特殊映射的概念，熟練掌握映射三要素，能在實際問題中加以運用，掌握映射的復(fù)合運算；（3）掌握代數(shù)運算與映射的關(guān)系，理解代數(shù)系的概念，掌握運算律；（4）掌握左單位元、右單位元、單位元和左逆元、右逆元、逆元的概念，理解它們的基本性質(zhì)；（5）掌握關(guān)系與等價關(guān)系的概念；（6）理解集合分類的概念，掌握等價關(guān)系與集合的分類之間的聯(lián)系。3.教學(xué)重點與難點（1）教學(xué)重點：代數(shù)系的構(gòu)造以及代數(shù)系中運算律、單位元、逆元；（2）教學(xué)難點：等價關(guān)系與集合分類之間的聯(lián)系。4.教學(xué)建議本章內(nèi)容以課堂講授為主，強調(diào)學(xué)生課前自習(xí)，在課堂中組織學(xué)生進(jìn)行討論。.第二章群論1.教學(xué)基本內(nèi)容（1）（定義了一個運算的集合的分類）具有一個運算的代數(shù)系的分類：半群、交換半群、群、交換群；（2）半群：定義、例題；（3）群：定義與等價定義，典型例題，基本性質(zhì)；（4）群中元素的階：定義，基本性質(zhì)，典型例題；（5）子群：定義與判定定理，典型例題，基本性質(zhì)，群中子集的乘積，生成子群；（6）群的同態(tài)與同構(gòu)：群同態(tài)與同構(gòu)的定義與基本性質(zhì)，典型例題；（7）循環(huán)群：定義，基本性質(zhì)，例題，循環(huán)的子群；（8）變換群與置換群：變換、置換、循環(huán)置換、變換群、置換群的定義及它們的基本性質(zhì)，元對稱群的性質(zhì)；（9）子群的陪集：左陪集、右陪集的定義和基本性質(zhì)；（10）Lagrange定理；（11）正規(guī)子群：定義，判定定理，典型例題；（12）商群：定義，例題及其基本性質(zhì)；（13）群同態(tài)基本定理:同態(tài)核，同態(tài)基本定理及其應(yīng)用（群同構(gòu)定理）。2.教學(xué)基本要求（1）理解帶有一個運算的集合的分類的思想方法；（2）掌握半群的概念；（3）掌握群的概念，熟練掌握群的等價定義，典型例題，用具體例題幫助抽象概念的理解；（4）掌握群中元素的階的概念；（5）掌握子群的定義和判定定理，掌握群中子群的乘積運算，熟練掌握群中元素所生成子群的具體結(jié)構(gòu)；（6）掌握群同態(tài)的定義，熟練掌握群同構(gòu)基本定理，并能應(yīng)用其做題；（7）掌握循環(huán)群的概念，熟練掌握循環(huán)群的生成元，能夠找出循環(huán)群的所以生成元；（8）掌握變換群和置換群的概念，熟練掌握變換、置換在變換群中的逆元以及若干變換進(jìn)行具體的運算所得結(jié)果，熟練掌握對稱群S_n中的具體元素以及各種具體運算；（9）掌握子群陪集的概念以及由陪集給出的群中的等價關(guān)系，熟練掌握陪集中元素的個數(shù)；（10）熟練掌握Lagrange定理及其應(yīng)用；（11）掌握正規(guī)子群的概念，掌握正規(guī)子群的等價定義；（12）掌握商群中的單位元，商群中元素的形式，熟練掌握商群中元素的運算；（13）掌握群同態(tài)的概念，熟練掌握同態(tài)核的性質(zhì)，理解并應(yīng)用群同構(gòu)基本定理。3.教學(xué)重點與難點（1）教學(xué)重點：群的等價定義，子群的陪集，正規(guī)子群，Lagrange定理，商群，群同態(tài)基本定理；（2）教學(xué)難點：商群中元素的具體形式以及元素間的運算，群同態(tài)基本定理及應(yīng)用。4.教學(xué)建議本章以講授為主，強調(diào)學(xué)生課前自學(xué)和課后自習(xí)，鼓勵學(xué)生課后討論，教師在本章多講習(xí)題。第三章環(huán)與域1.教學(xué)基本內(nèi)容（1）具有二個運算的代數(shù)系的分類：環(huán)、交換環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域；（2）加法群：加法群符號與叫法，加法群與半群的比較；（3）環(huán)：定義，典型例題，基本性質(zhì)；（4）特殊環(huán)：交換環(huán)，有單位元的環(huán)，無零因子環(huán)，整環(huán)，除環(huán)與域的定義及其基本性質(zhì)；（5）四元數(shù)除環(huán)；（6）模的剩余類環(huán):定義，基本性質(zhì)；（7）環(huán)與域上的多項式環(huán)：定義，基本性質(zhì)；（8）環(huán)的特征：定義，無零因子環(huán)特征的性質(zhì)；（9）子環(huán)：定義，例題，子環(huán)、子域判定及它們的基本性質(zhì)，生成子環(huán)；（10）理想：定義，例題，判定方法及其基本性質(zhì)；（11）生成理想：定義，主理想構(gòu)造；（12）商環(huán)：定義，例題，基本性質(zhì)；（13）環(huán)同態(tài)基本定理：環(huán)同態(tài)與同構(gòu)的定義，例題，基本性質(zhì)，同態(tài)核，環(huán)同構(gòu)基本定理及其應(yīng)用；（14）素理想與極大理想：定義，基本性質(zhì)；（15）域的擴(kuò)張：擴(kuò)域，素域，單代數(shù)擴(kuò)域，單超越擴(kuò)域，代數(shù)元，超越元，最小多項式它們的定義，例題及基本性質(zhì)。2.教學(xué)基本要求（1）理解具有二個運算的代數(shù)系的結(jié)構(gòu)，了解二個運算的代數(shù)系的分類；（2）掌握加法群使用的符號與叫法，熟練掌握加法群的相關(guān)性質(zhì)；（3）掌握環(huán)的定義，熟悉典型例題，熟練掌握環(huán)的基本性質(zhì)；（4）掌握交換環(huán)，有單位元的環(huán)，無零因子環(huán)，整環(huán)，除環(huán)與域的定義及其它們的基本性質(zhì)；（5）掌握四元數(shù)除環(huán)的具體結(jié)構(gòu)；（6）掌握模的剩余類環(huán)的具體結(jié)構(gòu)，熟練掌握其基本性質(zhì)；（7）掌握環(huán)與域上的多項式環(huán)的定義，掌握其基本性質(zhì)，會求解該多項式在環(huán)或域中的根；（8）掌握環(huán)的特征的定義，熟練掌握無零因子環(huán)特征的性質(zhì)；（9）掌握子環(huán)、子域的定義及判定方法，掌握它們的基本性質(zhì)，會計算環(huán)中元素所生成子環(huán)；（10）掌握理想的定義及其判定方法，熟練掌握其基本性質(zhì)；（11）掌握生成理想的定義，會計算環(huán)中元素所生成的理想，掌握主理想的構(gòu)造；（12）掌握商環(huán)的定義，熟悉相關(guān)例題，掌握其基本性質(zhì)；（13）掌握環(huán)同態(tài)與同構(gòu)的定義，熟練掌握其基本性質(zhì)，理解同態(tài)核的性質(zhì)，熟練掌握環(huán)同構(gòu)基本定理及其應(yīng)用；（14）掌握素理想與極大理想的定義和基本性質(zhì)；（15）了解擴(kuò)域，素域，單代數(shù)擴(kuò)域，單超越擴(kuò)域，代數(shù)元，超越元，最小多項式它們的定義，例題及基本性質(zhì)。3.教學(xué)重點與難點（1）教學(xué)重點：環(huán)，理想，商環(huán)，域，環(huán)同態(tài)基本定理；（2）教學(xué)難點：理想，商環(huán)，環(huán)同構(gòu)基本定理。4.教學(xué)建議本章以講授為主，強調(diào)學(xué)生課前自學(xué)和課后復(fù)習(xí)，增加老師與學(xué)生課中討論次數(shù)，教師在本章多講習(xí)題。第四章模論1.教學(xué)基本內(nèi)容（1）數(shù)域上的線性空間的分析；（2）模：定義，典型例題，與加法群、環(huán)的關(guān)系，基本性質(zhì)；（3）子模：定義，判定方法，基本性質(zhì)，生成子模；（4）商模：定義；（5）模同態(tài)基本定理：模同態(tài)、模同構(gòu)的定義，基本性質(zhì)，模同態(tài)基本定理及應(yīng)用；（6）自由模：模的基底的定義及基本性質(zhì)，自由模的定義，典型例題及基本性質(zhì)。2.教學(xué)基本要求（1）熟練掌握數(shù)域上的線性空間的定義；（2）掌握模的定義及典型例題，理解其與加法群、環(huán)的關(guān)系，掌握其基本性質(zhì)；（3）掌握子模的定義，熟練掌握子模的判定方法，掌握其基本性質(zhì)，會計算模中元素所生成的子模；（4）熟練掌握商模的定義和結(jié)構(gòu)；