定積分及其應(yīng)用

微分法:積分法:互逆運(yùn)算第四章積分學(xué)不定積分定積分積分及其應(yīng)用

第一節(jié)一、定積分問(wèn)題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)定積分的概念及性質(zhì)第四章一、定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積解決步驟:1)

分割.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得3)近似求和.4)取極限.令則曲邊梯形面積2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度n

個(gè)小段過(guò)的路程為3)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:

解決問(wèn)題的方法步驟相同:“分割

,常代變,近似和,取極限”二、定積分定義(P225)任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和(1)定積分是一個(gè)數(shù)，僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),即注：(2)定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)(證明略)定理3.(3)(4)可積的充分條件:例1.

利用定義計(jì)算定積分解:將[0,1]n

等分,分點(diǎn)為取注[注]

利用得兩端分別相加,得即4.1.4定積分的幾何意義:曲邊梯形面積的負(fù)值表示各部分面積的代數(shù)和.注：幾何意義可用來(lái)計(jì)算定一些便于繪圖的簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分。例2、解：三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))證:

當(dāng)時(shí),因在上可積,所以在分割區(qū)間時(shí),可以永遠(yuǎn)取

c

為分點(diǎn),于是注：不論a,b,c,的大小關(guān)系如何，上式都成立.6.若在[a,b]上則證:推論2.

若在[a,b]上則推論1

若在[a,b]上則例3解：注：以上兩個(gè)性質(zhì)常用來(lái)比較積分值的大小（不計(jì)算情況下）.7、（估值定理）注：此性質(zhì)用來(lái)估計(jì)定積分的范圍（不計(jì)算定積分）例4.證例5.

試證:證:

設(shè)則在上,有即故即8.

積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.說(shuō)明:可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.積分中值定理對(duì)因內(nèi)容小結(jié)1.