北師大八年級數學上學期教案

§1.1探索勾股定理（一）

教學目標：

1、經歷用數格子的辦法探索勾股定理的過程，進一步發(fā)展學生的合情推力意

識，主動探究的習慣，進一步體會數學與現實生活的緊密聯系。

2、探索并理解直角三角形的三邊之間的數量關系，進一步發(fā)展學生的說理和

簡單的推理的意識及能力。

重點難點：

重工:了解勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡單的問題。

難點：勾股定理的發(fā)現

教學過程

一、創(chuàng)設問題的情境，激發(fā)學生的學習熱情，導入課題

出示投影1（章前的圖文pl）教師道白：介紹我國古代在勾股定理研究方面

的貢獻，并結合課本P5談一談，講述我國是最早了解勾股定理的國家之一，

介紹商高（三千多年前周期的數學家）在勾股定理方面的貢獻。

出示投影2（書中的P2圖1—2）并回答：

1、觀察圖-2,正方形A中有個小方格，即A的面積為_____個單位。

正方形B中有個小方格，即A的面積為_____個單位。

正方形C中有個小方格，即A的面積為個單位。

2、你是怎樣得出上面的結果的？在學生交流回答的基礎上教師直接發(fā)問：

3、圖1—2中，A,B,C之間的面積之間有什么關系？

學生交流后形成共識，教師板書，A+B=C,接著提出圖1一1中的A.B,C的關系

呢？

二、做一做

出示投影3（書中P3圖1—4）提問：

1、圖1—3中，A,B,C之間有什么關系？

2、圖1—4中，A,B,C之間有什么關系？

3^從圖1—1,1—2,1—3,11—4中你發(fā)現什么？

學生討論、交流形成共識后，教師總結：

以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊的正方形面積。

三、議一議

1、圖1—1、1-2、1—3、1一4中，你能用三角形的邊長表示正方形的面

積嗎？

2、你能發(fā)現直角三角形三邊長度之間的關系嗎？

在同學的交流基礎上，老師板書：

直角三角形邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股

定理”

也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c

2

那么/+b=C-

我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的為股，斜邊為弦，這

就是勾股定理的由來。

3、分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個直角三角形，并測量斜邊的

長度（學生測量后回答斜邊長為13）請大家想一想（2）中的規(guī)律，對

這個三角形仍然成立嗎？（回答是肯定的：成立）

四、想一想

這里的29英寸（74厘米）的電視機，指的是屏幕的長嗎？只的是屏幕的款嗎？

那他指什么呢？

五、鞏固練習

1、錯例辨析：

△ABC的兩邊為3和4,求第三邊

解：由于三角形的兩邊為3、4

所以它的第三邊的c應滿足°?=32+4?=25

即：c=5

辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應具備直角三角形這個必不可少的條

件，可本題

△ABC并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據。

（2）若告訴AABC是直角三角形，第三邊C也不?定是滿足/+〃2=,2,

題目中并為交待C是斜邊

綜上所述這個題目條件不足，第三邊無法求得。

2、練習P6§1.11

六、作業(yè)

課本P6§1.12、3、4

七、教后感：本節(jié)課是在了解勾股定理的由來的具體背景下，通過學生自己的

觀察、發(fā)現、總結、歸納，探索勾股定理的過程，進一步發(fā)展學生的合情推力

意識，主動探究的習慣，進一步體會數學與現實生活的緊密聯系。

§1.1探索勾股定理（二）

教學目標：

1.經歷運用拼圖的方法說明勾股定理是正確的過程，在數學活動中發(fā)展學生

的探究意識和合作交流的習慣。

2.掌握勾股定理和他的簡單應用

重點難點：

重點：能熟練運用拼圖的方法證明勾股定理

難點：用面積證勾股定理

教學過程

七、創(chuàng)設問題的情境，激發(fā)學生的學習熱情，導入課題

我們已經通過數格子的方法發(fā)現了直角三角形三邊的關系，究竟是兒個實例，

是否具有普遍的意義，還需加以論證，下面就是今天所要研究的內容，下邊請

大家畫四個全等的直角三角形，并把它剪下來，用這四個直角三角形，拼i拼、

擺一擺，看看能否得到一個含有以斜邊C為邊長的正方形，并與同學交流。在

同學操作的過程中，教師展示投影1（書中p7圖1-7）接著提問：大正方形

的面積可表示為什么？

（同學們回答有這幾種可能：（1）（a2+b2）（2）-ab-4+c2）

2

在同學交流形成共識之后，教師把這兩種表示大正方形面積的式子用等號連接

起來。

/+/=4岳4+。2請同學們對上面的式子進行化簡，得到：

2

a2+2ah+b2=2ab+c2BPa2+b2=c2

這就可以從理論上說明勾股定理存在。請同學們去用別的拼圖方法說明勾股定

理。

八、講例

1.飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛機飛到一個男孩頭頂正上方

4000多米處，過20秒，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每時飛行多少

千米？

分析：根據題意：可以先畫出符合題意的圖形。如右圖，圖中aABC的

Nc=90。,AC=4000米，AB=5000米，欲求飛機每小時飛行多少千米，就要

知道飛機在20秒的時間里的飛行路程，即圖中的CB的長，由于直角4ABC

的斜邊AB=5000米，AC=4000米，這樣的CB就可以通過勾股定理得出。這里

一定要注意單位的換算。

解：由勾股定理得8。2=482-4。2=52-42=9（千米）

即BC=3千米飛機20秒飛行3千米，那么它1小時飛行的距離為：

4四x3=540（千米/小時）

20

答：飛機每個小時飛行540千米。

九、議一議

展示投影2（書中的圖1—9）

觀察上圖，應用數格子的方法判斷圖中的三角形的三邊長是否滿足。2+。2=,2

同學在議論交流形成共識之后，老師總結。

勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。

十、作業(yè)

1、1、課文P9§1.21§1.1、2

2、選用作業(yè)。

十一、教后感：

課堂中教師發(fā)揮“集思廣益”“智力互激”的優(yōu)勢，積極組織學生開展平

等、寬松、民主的討論，尊重學生，關心學生，教學民主，讓學生體驗到他們

才是學習的主人，教師是他們平等的合作者.

§1.2能得到直角三角形嗎

教學目標：

知識與技能

1.掌握直角三角形的判別條件，并能進行簡單應用；

2.進一步發(fā)展數感，增加對勾股數的直觀體驗，培養(yǎng)從實際問題抽象出數

學問題的能力，建立數學模型.

3.會通過邊長判斷一個三角形是否是直角三角形，并會辨析哪些問題應用

哪個結論.

情感態(tài)度與價值觀

敢于面對數學學習中的困難，并有獨立克服困難和運用知識解決問題的成

功經驗，進一步體會數學的應用價值，發(fā)展運用數學的信心和能力，初步形成

積極參與數學活動的意識.

教學重點

運用身總熟悉的事物，從多種角度發(fā)展數感，會通過邊長判斷一個三角形

是否是直角三角形，并會辨析哪些問題應用哪個結論.

教學難點

會辨析哪些問題應用哪個結論.

課前準備

標有單位長度的細繩、三角板、量角器、題篇

教學過程：

復習引入：

請學生復述勾股定理；使用勾股定理的前提條件是什么？

已知AABC的兩邊AB=5,AC=12,則BC=13對嗎?

創(chuàng)設問題情景：由課前準備好的一組學生以小品的形式演示教材第9頁古

埃及造直角的方法.

這樣做得到的是一個直角三角形嗎？

提出課題：能得到直角三角形嗎

講授新課：

1.如何來判斷？（用直角三角板檢驗）

這個三角形的三邊分別是多少？（一份視為1）它們之間存在著怎樣的關

系？

就是說，如果三角形的三邊為a,b,c,請猜想在什么條件下，以這三

邊組成的三角形是直角三角形？(當滿足較小兩邊的平方和等于較大邊的平方

時)

2.繼續(xù)嘗試：下面的三組數分別是一個三角形的三邊長a,b,c：

5,12,13；6,8,10；8,15,17.

(1)這三組數都滿足a?+bJc2嗎？

(2)分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直

角三角形嗎？

3.直角三角形判定定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,

那么這個三角形是直角三角形.

滿足/+b2=c?的三個正整數，稱為勾股數.

4.例1一個零件的形狀如左圖所示，按規(guī)定這個零件中ZA和NDBC

都應為直角.工人師傅量得這個零件各邊尺寸如右圖所示，這個零件符合要求

嗎？

隨堂練習：

1.下列幾組數能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由.

(1)9,12,15；(2)15,36,39；

(3)12,35,36；(4)12,18,22.

2.已知AABC中BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為三角形，

是最大角.

3.四邊形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且NABC=90",求這個

四邊形的面積.

4.習題1,3

課堂小結：

1.直角三角形判定定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,

那么這個三角形是直角三角形.

2.滿足a、b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.勾股數擴大相同倍數后，仍

為勾股數.

教后記錄：

1.《數學課程標準》提出學生是學習數學的主人，教師是數學學習的組織

者、引導者與合作者，因此本節(jié)課以開放式的課堂形式組織教學，讓學生進行

合作學習，共同操作與探索，共同探究、解決問題.在教學中能注意充分調動

學生的學習積極性、主動性，堅持做到以人為本，以學生為先，立足于讓學生

先看、先想、先說、先練，根據自己的體驗，用自己的思維方式，通過實驗、

思考、合作、交流學好知識.

2.在教學中，教師關注更多的是學生對待學習的態(tài)度是否積極，學生想了

沒有，參與了沒有，能否從數學的角度思考問題.

課題學習拼圖與勾股定理

教學目標

1.經歷綜合運用已有知識解決問題的過程，在此過程中加深對勾股定理、

整式運算、面積等的認識。

2.經歷不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多

樣性，進一步體會勾股定理的文化價值。

3.通過驗證過程中數與形的結合，體會數形結合的思想以及數學知識之間

的內在聯系，每一部分知識并不是孤立的。

4.通過豐富有趣的拼圖活動，經歷觀察、比較、拼圖、計算、推理交流等

過程，發(fā)展空間觀念和有條理地思考和表達的能力，獲得一些研究問題與合作

交流的方法與經驗。

5.通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷，增進數學學習的信?心。通過豐

富有趣拼的圖活動增強對數學學習的興趣。

教學重點

1.通過綜合運用已有知識解決問題的過程，加深對勾股定理、整式運算、

面積等的認識。

2.通過拼圖驗證勾股定理的過程，使學習獲得一些研究問題與合作交流的

方法與經驗。

教學難點

1.利用“五巧板”拼出不同圖形進行驗證勾股定理。

2.利用數形結合的方法驗證勾股定理。

教學準備

剪刀、雙面膠、硬紙板、直尺（或三角板）、鉛筆、多媒體課件。

課時安排：2課時。

教學過程

第一課時

一、了解已有的知識和經驗

1.你都知道關于勾股定理的哪些歷史故事？

2.你知道勾股定理的內容嗎？說說看。

3.你已知道的關于驗證勾股定理的拼圖方法有哪些？（教師在此給予學生

獨立思考和討論的時間，讓學生回想前面拼圖。利用四個全等的直角三角形拼

出的“弦圖”和所示方法，并使之親自驗證勾股定理。教師可利用課件介紹“弦

圖”的歷史，及“弦圖”被定為2002年世界數學大會的會標等小知識。）

二、動手操作，合作探究

1.教師介紹“五巧板”的制作方法，學生拿出準備好的硬紙板制作“五巧

板”。

步驟：做一個Rt^ABC,以斜邊AB為邊向內做正方形ABDE,并在正方形內

畫圖，使DFLBLCG=BC,HG±AC,這樣就把正方形ABDE分成五部分①②③④

⑤。

沿這些線剪開，就得了一幅五巧板。

2.取兩幅五巧板，將其中的一幅拼成一個以C為邊長的正方形，將另外一

幅五巧板拼成兩個邊長分別為a、b的正方形，你能拼出來嗎？（給學生充分

的時間進行拼圖、思考、交流經驗，對于有困難的學生教師要給予適當引導。）

3.用上面的兩幅五巧板，還可拼出其它圖形。你能驗證勾股定理嗎？（學

生親自實踐，加深對五巧板拼圖驗證勾股定理的理解，在此，對以“a”為邊

的正方形在直角三角形的內側不易理解，教師要適當地引導，不要限制學生思

維。）

4.利用五巧板還能通過怎樣拼圖來驗證勾股定理？（這個問題要給予學生

充足的時間和空間進行討論和拼圖，教師在這要引導適度，不要限制學生思維,

同時鼓勵學生在拼圖過程中進行交流合作。）

三、相互交流，整理結論，加深理解

了解學生拼圖的情況及利用自己的拼圖驗證勾股定理的情況。教師在巡視

過程中，相機指導，并讓學生展示自己的拼圖及讓學生講解驗證勾股定理的方

法，并根據不同學生的不同狀況給予適當的引導，引導學生整理結論。

WLI課堂總結

從R節(jié)課而有哪些收獲？

（教師應給予學生充分的時間鼓勵學生暢所欲言，只要是學生的感受和想

法，教師要多鼓勵、多肯定。最后，教師要對學生所說的進行全面的總結。）

五、鞏固

教科書第179頁，習題第1題。

勾股定理的發(fā)現、驗證過程蘊涵了豐富的文化價值，而它的驗證方法非常

之多，你想了解更多的勾股定理的驗證方法嗎？讓我們下節(jié)課繼續(xù)探討“勾股

定理”，一起走進神秘的勾股世界吧！

拼圖與勾股定理第二課時

一、引入

回顧上節(jié)課所學習的勾股定理的驗證方法。

二、動手操作，合作探究

1.利用五巧板拼“青朱出入圖”（教師利用課件介紹“青朱出入圖”的歷

史）。你能利用“青朱出入圖”驗證勾股定理嗎？（給學生提供充分實踐、探

索和交流的時間，鼓勵他們積極思考解決問題的方法，并與他人進行合作與交

流。）

2.教師可以利用課件介紹一些國外的勾股定理驗證方法，重點介紹意大利

文藝復興時代著名畫家達?芬奇對勾股定理的驗證方法。

步驟：

（1）在一張長方形的紙板上畫兩個邊長分別為a、b的正方形，并連結BC、

FEo

（2）沿ABCDEF剪下，得兩個大小相同的紙板I、II。

（3）將紙板II翻轉后與I拼成其它的圖形。

（4）比較兩個多邊形ABCDEF和的面積，你能驗證勾股定理

嗎？（給學生充足的時間，進行獨立思考，鼓勵學生交流合作，教師巡視幫助,

引導學習困難的學生。最后，驗證方法讓學生進行講解、板演、敘述，教師做

簡單的總結。）

你還想了解其他的驗證方法嗎？

三、課堂總結

1.從兩節(jié)課的課題學習中你有哪些收獲？

2.你學到了哪些數學方法和數學思想？

（給出學生兩個問題，讓學生充分討論、交流，得出結論，最后教師小結

本課題。）

四、鞏固

教科書第179頁，習題第2題。

勾股定理有著悠久的歷史，古巴比倫人和中國人看出了這個關系，古希臘

畢達哥拉斯學派首先驗證了這個關系。同學們，你們對勾股定理感興趣嗎？你

想嘗試自己驗證勾股定理嗎？請發(fā)揮你的才智，去探索勾股定理、去研究勾股

定理吧！

§2.1數怎么又不夠用了（一）

教學目標

（一）知識目標：

1.通過拼圖活動，讓學生感受無理數產生的實際背景和引入的必要性.

2.能判斷給出的數是否為有理數；并能說出現由.

（二）能力訓練目標：

1.讓學生親自動手做拼圖活動，感受無理數存在的必要性和合理性，培養(yǎng)

大家的動手能力和合作精神.

2.通過回顧有理數的有關知識，能正確地進行推理和判斷，識別某些數是

否為有理數，訓練他們的思維判斷能力.

（三）情感與價值觀目標：

1.激勵學生積極參與教學活動，提高大家學習數學的熱情.

2.引導學生充分進行交流，討論與探索等教學活動，培養(yǎng)他們的合作與鉆

研精神.

3.了解有關無理數發(fā)現的知識，鼓勵學生大膽質疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^

斗的精神.

教學重點

1.讓學生經歷無理數發(fā)現的過程.感知生活中確實存在著不同于有理數的

數.

2.會判斷一個數是否為有理數.

教學難點

1.把兩個邊長為1的正方形拼成一個大正方形的動手操作過程.

2.判斷一個數是否為有理數.

教學方法

教師引導，主要由學生分組討論得出結果.

教學過程

一、創(chuàng)設問題情境,引入新課

［師］同學們,我們學過不計其數的數,概括起來我們都學過哪些數呢？

［生］在小學我們學過自然數、小數、分數.

［生］在初一我們還學過負數.

［師］對，我們在小學學了非負數，在初一發(fā)現數不夠用了，引入了負數,

即把從小學學過的正數、零擴充到有理數范圍，有理數包括整數和分數，那么

有理數范圍是否就能滿足我們實際生活的需要呢？下面我們就來共同研究這

個問題.

二、講授新課

1.問題的提出

［師］請大家四個人為一組，拿出自己準備好的兩個邊長為1的正方形和

剪刀，認真討論之后，動手剪一剪，拼一拼，設法得到一個大的正方形，好嗎？

［生］好.（學生非常高興地投入活動中）.

［師］經過大家的共同努力，每個小組都完成了任務，請各組把拼的圖展

示一下.

同學們非常踴躍地呈現自己的作品給老師.

［師］現在我們一齊把大家的做法總結一下：

下面請大家思考一個問題，假設拼成大正方形的邊長為a,則a應滿足什

么條件呢？

［生甲］a是正方形的邊長，所以a肯定是正數.

［生乙］因為兩個小正方形面積之和等于大正方形面積，所以根據正方形

面積公式可知a2=2.

［生丙］由a=2可判斷a應是1點幾.

［師］大家說得都有道理，前面我們已經總結了有理數包括整數和分數，

那么a是整數嗎？a是分數嗎？請大家分組討論后回答.

［生甲］我們組的結論是：因為22=4,3?=9,…整數的平方越來越

大，所以a應在1和2之間，故a不可能是整數.

［生乙］因為LXL=L2X2=±，X'=L,…兩個相同因數的乘積都為

224339339

分數，所以a不可能是分數.

［師］經過大家的討論可知，在等式a?=2中，a既不是整數，也不是分數,

所以a不是有理數，但在現實生活中確實存在像a這樣的數，由此看來，數又

不夠用了.

2.做一做

投影片§2.1.1A

(1)在下圖中，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？

(2)設該正方形的邊長為8,則6應滿足什么條件？8是有理數嗎？

［師］請大家先回憶一下勾股定理的內容.

［生］在直角三角形中，若兩條直角邊長為a,b,斜邊為c,則有且2+毋=上

［師］在這題中，兩條直角邊分別為1和2,斜邊為。，根據勾股定理得

^=12+22,即典5,則I是有理數嗎？請舉手回答.

［生甲］因為2?=4,32=9,4<5<9,所以b不可能是整數.

［生乙］沒有兩個相同的分數相乘得5,故8不可能是分數.

［生丙］因為沒有一個整數或分數的平方為5,所以5不是有理數.

［師］大家分析得很準確，像上面討論的數a,8都不是有理數，而是另

一類數——無理數.關于無理數的發(fā)現是付出了昂貴的代價的.早在公元前，古

希臘數學家畢達哥拉斯認為萬物皆“數"，即''宇宙間的一切現象都能歸結為

整數或整數之比”，也就是一切現象都可用有理數去描述.后來，這個學派中的

一個叫希伯索斯的成員發(fā)現邊長為1的正方形的對角線的長不能用整數或整數

之比來表示，這個發(fā)現動搖了畢達哥拉斯學派的信條，據說為此希伯索斯被投

進了大海，他為真理而獻出了寶貴的生命，但真理是不可戰(zhàn)勝的，后來古希臘

人終于正視了希伯索斯的發(fā)現.也就是我們前面談過的才=2中的a不是有理數.

我們現在所學的知識都是前人給我們總結出來的，我們一方面應積極地學

習這些經驗，另一方面我們也不能死搬教條，要大膽質疑，如不這樣科學就會

永遠停留在某處而不前進，要向古希臘的希伯索斯學習，學習他為捍衛(wèi)真理而

勇于獻身的精神.

三、課堂練習

（一）課本P25隨堂練習

如圖，正三角形4%的邊長為2,高為力"可能是整數嗎？可能是分數嗎？

解：由正三角形的性質可知陟1,在Rt△/劭中，由勾股定理得力2=3.力

不可能是整數，也不可能是分數.

（二）補充練習

為了加固一個高2米、寬1米的大門，需要在對角線位置加固--條木板，

設木板長為a米，則由勾股定理得，=-+22,即a?=5,a的值大約是多少？這個

值可能是分數嗎？

解：a的值大約是2.2,這個值不可能是分數.

四、課堂小結

1.通過拼圖活動，經歷無理數產生的實際背景，讓學生感受有理數又不夠

用了.

2.能判斷一個數是否為有理數.

五、課后作業(yè)：見作業(yè)本。

六、教后反思：

1.教學過程中充分讓學生動手、動口、動腦，讓學生成為課堂的主人、主

體，老師成了教學活動的導演、組織者、參與者。適時對學生積極評價，體現

了平等的師生關系，張揚了學生的個性，體現了《標準》的人文化。

2.“活動”貫穿整個教學過程，學生拿出自己準備好的兩個邊長為1的正

方形和剪刀，認真討論之后，動手剪一剪，拼一拼，設法得到一個大的正方形,

使“靜”的知識“動”起來，多層次、多角度的解決問題，體現了動靜結合、

數形結合的數學思想。

3.探究、發(fā)現中，讓學生分組討論，合作、交流，培養(yǎng)了學生新的學習方

法，加強了學生團結、協作的能力；討論中充分展示學生語言的零亂性，培養(yǎng)

了學生良好的思維能力、語言運用能力。

4.需要進一步研究的問題：活動多，不怕課堂失控嗎？課堂很熱鬧，學生

真的掌握了知識嗎？

所以，如何安排活動，怎樣在活動讓學生掌握知識，是我們實施《標準》

值得關注、研究的問題。

§2.1數怎么又不夠用了（二）

教學目標

（-）知識目標：

1.借助計算器探索無理數是無限不循環(huán)小數，并從中體會無限逼近的思

想.

2.會判斷一個數是有理數還是無理數.

（二）能力訓練目標：

1.借助計算器進行估算，培養(yǎng)學生的估算能力，發(fā)展學生的抽象概括能力，

并在活動中進一步發(fā)展學生獨立思考、合作交流的意識和能力.

2.探索無理數的定義，以及無理數與有理數的區(qū)別，并能辨別出一個數是

無理數還是有理數，訓練大家的思維判斷能力.

（三）情感與價值觀目標：

1.讓學生理解估算的意義，掌握估算的方法，發(fā)展學生的數感和估算能力.

2.充分調動學生的積極性，培養(yǎng)他們的合作精神，提高他們的辨識能力.

教學重點

1.無理數概念的探索過程.

2.用計算器進行無理數的估算.

3.了解無理數與有理數的區(qū)別，并能正確地進行判斷.

教學難點

1.無理數概念的建立及估算.

2.用所學定義正確判斷所給數的屬性.

教學方法

老師指導學生探索法

教學過程

一、創(chuàng)設問題情境，引入新課

［師］同學們，我們在上節(jié)課了解到有理數又不夠用了，并且我們還發(fā)現

了一些數，如且2=2,力2=5中的a,8既不是整數，也不是分數，那么它們究竟是

什么數呢？本節(jié)課我們就來揭示它的真面目.

二、講授新課

1.導入：［師］請看圖

大家判斷一下3個正方形的邊長之間有怎樣的大小關系？說說你的理由.

［生］因為3個正方形的面積分別為1,2,4,而面積又等于邊長的平方,

所以面積大的正方形邊長就大.

［師］大家能不能判斷一下面積為2的正方形的邊長a的大致范圍呢？

［生］因為才大于1且a?小于4,所以a大致為1點幾.

［師］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示為l<a<2.那么a究竟是1

點幾呢？請大家用計算器進行探索，首先確定十分位，十分位究竟是幾呢？如

1.1=1.21,1.2J1.44,L3J1.69,1.42=1.96,1.52=2.25,而3=2,故a應比

1.4大且比1.5小，可以寫成1.4VaV1.5,所以a是1點4幾，即十分位上

是4,請大家用同樣的方法確定百分位、千分位上的數字.

［生］因為L4P=L9881,1.422=2.0164,所以a應比1.41大且比942

小，所以百分位上數字為1.

［生］因為1.4112=1.990921,1.4/L993744,1.4132=1.996569,

1.414=1.999396,1.415=2.002225,所以a應比1.414大而比1.415小，即

千分位上的數字為4.

［生］因為1.41422=1.99996164,1.4143?=2.00024449,所以a應比1.4142

大且比1.4143小，即萬分位上的數字為2.

［師］大家非常聰明，請一位同學把自己的探索過程整理一下，用表格的

形式反映出來.

［生］我的探索過程如下.

邊長a面積s

l<a<21<5<4

1.4<a<1.51.96<5<2.25

1.41<a<1.421.9881<S<2,0164

1.414<a<1.4151.999396<S<2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449

［師］還可以繼續(xù)下去嗎？

［生］可以.

［師］請大家繼續(xù)探索，并判斷a是有限小數嗎？

［生］a=L41421356…，還可以再繼續(xù)進行，且a是一個無限不循環(huán)小數.

［師］請大家用上面的方法估計面積為5的正方形的邊長b的值.邊長b

會不會算到某一位時，它的平方恰好等于5?請大家分組合作后回答.(約4分

鐘)

［生］G2.236067978…，還可以再繼續(xù)進行，力也是一個無限不循環(huán)小數.

［生］邊長6不會算到某一位時，它的平方恰好等于5,但我不知道為什

么.

［師］好.這位同學很坦誠，不會就要大膽地提出來，而不要冒充會，這

樣才能把知識學扎實，學透，大家應該向這位同學學習.這個問題我來回答.如

果6算到某一位時，它的平方恰好等于5,即6是一個有限小數，那么它的平

方一定是一個有限小數，而不可能是5,所以8不可能是有限小數.

2.無理數的定義

請大家把下列各數表示成小數.

3,并看它們是有限小數還是無限小數，是循環(huán)小數還是不

594511

循環(huán)小數.大家可以每個小組計算一個數，這樣可以節(jié)省時間.

45,

［生］3=3.0,^=0.8,^=0.5,

Q?o??

—=0.17,—=1.818

4511

［生］3,9是有限小數，3色是無限循環(huán)小數.

594511

［師］上面這些數都是有理數，所以有理數總可以用有限小數或無限循環(huán)

小數表示.反過來，任何有限小數或無限循環(huán)小數都是有理數.

像上面研究過的3=2,4=5中的a,8是無限不循環(huán)小數.

無限不循環(huán)小數叫無理數(irrationalnumber).

除上面的a,6外，圓周率7=3.14159265…也是一個無限不循環(huán)小數，

0.5858858885…(相鄰兩個5之間8的個數逐次加1)也是一個無限不循環(huán)小數，

它們都是無理數.

3.有理數與無理數的主要區(qū)別

(1)無理數是無限不循環(huán)小數，有理數是有限小數或無限循環(huán)小數.

(2)任何一個有理數都可以化為分數的形式，而無理數則不能.

4.例題講解

下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？

A??

3.14,0.57,0.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數逐次加1).

3

4??

解：有理數有3.14,0.57.

3

無理數有0.1010010001….

三、課堂練習

(一)隨堂練習

下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？

?1

0.4583,3.7,一萬，,18.

7

?1

解:有理數有0.4583,3.7,18.

7

無理數有一刀.

(二)補充練習

投影片(§2.1.2A)

判斷題

(1)有理數與無理數的差都是有理數.

(2)無限小數都是無理數.

(3)無理數都是無限小數.

(4)兩個無理數的和不一定是無理數.

解：(1)錯.例”-1是無理數.

(2)錯.例1.W是有理數.

(3)對.因為無理數就是無限不循環(huán)小數，所以是無限小數.

(4)對.因為兩個符號相反的無理數之和是有理數.例五一〃=0.

投影片(§2.1.2B)

下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？

2??

0.351,--,4.96,3.14159,-5.2323332-,123456789101112…(由相繼的

3

正整數組成).

2??

解：有理數有0.351,--,4.96,3.14159,

3

無理數有一5.2323332…，123456789101112-.

投影片(§2.1.2C)

a

無理數集合填一萬，--n,0.323323332….

2

四、課時小結

本節(jié)課我們學習了以下內容.

1.用計算器進行無理數的估算.

2.無理數的定義.

3.判斷一個數是無理數或有理數.

五、課后作業(yè)：見作業(yè)本。

§2.2平方根(1)

教學目標：

1、了解算術平方根的概念，會用根號表示一個數的算術平方根。

2、會求一個正數的算術平方根。

3、了解算術平方根的性質。

教學重點：算術平方根的概念、性質，會用根號表示一個正數的算術平方根。

教學難點：算術平方根的概念、性質。

教學過程：

一、問題引入

1.教師活動：回顧上節(jié)課的拼圖活動及探索無理數的過程，提出問題：面

積為13的正方形的邊長究竟是多少？

學生活動：

(1)完成課本P32的填空：

a2=b2：

c2=____d2=_____e2=

f2=

（2）a,b,c,d,e,f中哪些是有理數，哪些是無理數？你能表示它們嗎？

2.師生互動

集體交流后，說明無理數也需要一種表示方法。

二、講授新課：

算術平方根的概念：一般地，如果一個正數x的平方等于a,即/=a,那么,

這個正數x就叫做。的算術平方根。記為：“心”讀做根號特別地，0的

算術平方根是0。

那么“2=2,則”=拒b、3,則6=百;……

這樣的話，一個非負數的算術平方根就可以表示為右。

例1分別寫出下列各數的算術平方根

4

81,—,0.09,1,23,-5,0

25

（要求一個數的算術平方根，一般的方法是先按平方的概念來找哪個數的平

方等于這個數。）

例2自由下落物體的高度h（米）與下落時間t（秒）的關系為h=4.9t2.有一鐵

球從19.6米高的建筑物上自由下落，到達地面需要多長時間？

學生活動：一個同學在黑板上板演，其他同學在練習本上做，然后交流。

師生互動：完成引例中的*2=13,則x=屈,以后我們可以利用計算器

求出這個數的近似值。

三、隨堂練習：P331

四、小結：

（1）內容總結：

①算術平方根的定義、表示；

②人的雙重非負性。

（2）方法歸納：

轉化的數學方法：即將陌生的問題轉化為熟悉的問題解決。

五、作業(yè)：

P34習題2.3試一試

六、教后反思

主要收獲：按照教學設計進行實施后達到了教學目標，由于舉出的例子是

學生十分熟悉的知識和具有實際含義的問題，所以本節(jié)課的課堂氣氛活躍，學

生的參與度高，主動性得到了發(fā)揮，特別是學生活動總結時，相當一部分學生

紛紛主動舉手回答，雖然有的學生說得不太完整、全面，語言表述不太流暢，

但他們的態(tài)度是積極的，思維是活躍的，互相之間的交流是多向的。

不足之處：要求學生進行小結時學生的能力不足，這要求教師在平時的教

學中要注意引導。

§2.2平方根（二）

教學目標：

1、了解平方根的概念，會用根號表示一個數的平方根。

2、會求一個正數的平方根。

3、了解平方根和算術平方根的性質。

4、了解乘方和開方是互逆運算，會利用這個互逆運算求某些非負數的算

術平方根和平方根。

教學重點：了解平方根和開平方的概念、性質，會用根號表示一個正數的算術

平方根和平方根。

教學難點：平方根和算術平方根的區(qū)別。負數沒有平方根，即負數不能進行開

平方運算。

教學過程：

一、復習提問

1、算術平方根的概念，任何一個有理數都有算術平方根嗎？算術平方根

有什么性質。

2、9的算術平方根是,3的平方是,

還有其他的數的平方是9嗎？

二、講授新課：

1.想一想

平方等于3的數有幾個？平方等于0.64的數呢？

25

學生活動：學生思考，然后交流，得出平方根的定義。

2.教師活動：

一般地，如果一個數x的平方等于“，即/=“，那么，這個數x就叫做。

的平方根。也叫做二次方根。

3和一3的平方都是9,即9的平方根有兩個3和一3；9的算術平方根只

有一個，是3。

3.學生活動：

求出下列各數的平方根。

4

16,0,—,—25,

9

三、議一議：

(1)一個正數的有幾個平方根？

(2)0有兒個平方根？

(3)負數呢？

★教師活動：

一個正數有兩個平方根，0只有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根。

☆學生活動：

正數的兩個平方根有什么關系嗎？

討論，交流得出：

一個正數。有兩個平方根,一個是。的算術平方根,“6”,另一個是“-&”,

它們互為相反數。這兩個平方根合起來，可以記做“土人”，讀作“正、負根

號a

開平方：求一個數。的平方根的運算，叫做開平方。其中。叫做被開方數。

(已知指數和累，求底數的運算是開方運算)

★教師活動

開平方和平方互為逆運算，我們可以利用平方運算來求平方根。

四、例題精析：

例1求下列各數的平方根：

49

(1)64,(2)—,(3)0.0004,

121

(4)(-25)2,(5)11

注意書寫格式。

五、隨堂練習：P361、2

例2若/+4()2=4億求不

★教師活動：

通過例2,要學生進一步明白平方根與算術平方根在應用上的區(qū)別。

六、想一想

⑴(癇產等于多少｛幡)等于多少?

(2)(阮1等于多少?

(3)對于正數④(、石)2等于多少?

師生互動，討論交流得出：(6)2=4(420)

.七、小結，

1.平方根的定義、表示方法、求法、性質。平方根和算術平方根的區(qū)別和

聯系。

2.使學生學到由特殊到一般的歸納法。

八、作業(yè)：

P36習題2.4和試一試P533

補充：

你能求出下列各式中的未知數x嗎？

(1)x2=49

(2)(x-1)2=25

§2.3立方根

教學目標

1.使學生了解一個數的立方根概念，并會用根號表示一個數的立方根；

2.理解開立方的概念；

3.明確立方根個數的性質，分清一個數的立方根與平方根的區(qū)別.

教學重點和難點

重點：立方根的概念及求法.

難點：立方根與平方根的區(qū)別.

教學過程設計

一、復習：請同學回答下列問題：

(1)什么叫一個數a的平方根?如何用符號表示數a(20)的平方根？

(2)正數有幾個平方根?它們之間的關系是什么？負數有沒有平方根?0平方

根是什么？

(3)當a20時，式子a,—a,±a,的意義各是什么？

答：(1)如果一個數x的平方等于a,即x2=a,那么x叫做a的平方根，

表示為x=±a.

(2)正數有兩個平方根，它們互為相反數，負數沒有平方根，。的平方根是

0.

(3)a20,a表示a的算術平方根，一a表示a的負平方根，土a表示a的

平方根.

二、引入新課

1.計算下列各題：

3

(1)0.1；(2)(—23)3；(3)03

答：⑴O.13=O.001；(2)(-23)3=-827；(3)O3=0.

指出：上面各題是已知底數和乘方指數求三次寢的運算，也叫乘方運算.

怎樣求下列括號內的數?各題中已知什么?求什么？

(1)()3=18;(2)()3=-27125;(3)()3=0.

答：已知乘方指數和3次累，求底數，也就是“已知某數的立方，求某數”.

設某數為x,貝卜1)式為1=18,求x；(2)式為1=-27125,求x；(3)

式為x3=0求x?

2.立方根的概念.

一般地，如果一個數的立方等于a,這個數就叫做a的立方根(也叫做三次

方根).

用式子表示，就是，如果/二a,那么x叫做a的立方根.數a的立方根用

符號“磊”表示，讀作“三次根號a,其中a是被開方數，3是根指數.(注意:

根指數3不能省略).

3.開立方.

求一個數的立方根的運算，叫做開立方.開立方與立方也是互為逆運算，

因此求一個數的立方根可以通過立方運算來求.

三、講解例題：

例1求下列各數的立方根：

(1)8；(2)-8；(3)0.125；(4)-27125；(5)0.

分析：求一個數的立方根，我們可以通過立方運算來求.

解(1)因為23=8,所以8的立方根是2,即我=2.

問：除2以外，還有什么數的立方等于8?也就是說，正數8還有別的立方

根嗎？

答：除2以外，沒有其它的數的立方等于8,也就是說，正數8的立方根

只有一個.

(2)因為(-2尸=8,所以一8的立方根是一2即二=一2

問：除一2以外，還有什么數的立方等于8?,也就是說，負數一8還有別

的立方根嗎？

答：除一2以外，沒有其他的數的立方等于一8,也就是說，一8的立方根

只有1個.

(3)因為0.5J0.125,所以0.125的立方根是0.5,即如0.125=0.5.

3273

(4)因為(一￡)3=一木，所以一27125的立方根是一35,即,I~一~27半~二—最

(5)因為()3=0,所以0的立方根是0,即V5=o.

問：一個正數有幾個立方根?一個負數有幾個立方根?零的立方根是什么？

答：正數有一個正的立方根；負數有一個負的立方根；零的立方根仍舊是

指出：立方根的個數的性質可以概括為立方根的唯一性，即一個數的立方

根是唯一的.

例2求下列各式的值:

⑴V27；(2)/行；⑶

解(1)327=3；(2)VZ64=-4；

四、隨堂練習

1.判斷題：

(1)4的平方根是2；()(2)8的立方根是2；()

(3)—0.064的立方根是一0.4；()(4)127的立方根是±13()

⑸一人的平方根是±4；()；

(6)—12是144的平方根.()

16

2.選擇題：

⑴數0.000125的立方根是().

A.0.5B.±0.5C.0.05D.0.005

⑵下列判斷中錯誤的是()

A.一個數的立方根與這個數的乘積為非負數

B.一個數的兩個平方根之積負數

C.??個數的立方根未必小于這個數

D.零的平方根等于零的立方根

3.求下列各數的立方根：

(1)27；(2)-38；(3)1；(4)0.

4.求下列各式的值：

(1)100；(2)V1000；

五、小結

請思考下面的問題:

1.什么叫一個數的立方根?怎樣用符號表示數a的立方根?a的取值范圍是

什么？

2.數的立方根與數的平方根有什么區(qū)別？

答：1.如果一個數的立方等于a,這個數就叫做a的立方根，用符號3a

表示，a為任意數.

2.正數只有一個正的立方根，但有兩個互為相反數的平方根；負數有一

個負的立

方根，但沒有平方根.

3.求一個數的立方根，可以通過立方運算來求.

六、作業(yè)：見作業(yè)本。

§2.4公園有多寬

教學目標

（一）教學知識點

1.能通過估算檢驗計算結果的合理性，能估計一個無理數的大致范圍，并

能通過估算比較兩個數的大小.

2.掌握估算的方法，形成估算的意識，發(fā)展學生的數感.

（二）能力訓練要求

1.能估計一個無理數的大致范圍，培養(yǎng)學生估算的意識.

2.讓學生掌握估算的方法，訓練他們的估算能力.

（三）情感與價值觀要求

估算也是現實生活中一種常用的解決問題的方法，比如在工廠工人師傅要

做一個正方體，使它的體積為900立方米，現有邊長為5米，8米，10米的三

種正方形材料，問用哪一種材料作為正方體的表高比較合適，而工作師傅在領

材料之前并不曉得材料的規(guī)格，那么在領材料時必須經過估算大致確定用哪一

種材料?，這就是估算的用處.這樣的例子隨處可見，有時問題是突然出現.因此

有必要對學生進行這方面的訓練，使他們在以后的工作中能處世不驚、沉著應

戰(zhàn)，用學到的知識去順利解決實際生活中的難題.

教學重點

1.讓學生理解估算的意義，發(fā)展學生的數感.

2.掌握估算的方法，提高學生的估算能力.

教學難點

掌握估■的方法，并能通過估算比較兩個數的大小.

教學過程

導入新課

同學們，請大家說出咱們班男生和女生的平均身高.你又是怎樣得出結果

的呢？

（我猜的.）

“猜”字的意思就是根據自己的判斷而估計得出的結果，它并不是準確值,

但也不是無中生有，是有一定的理論根據的，本節(jié)課我們就來學習有關估算的

方法.

講授新課

問題：某地開辟了一塊長方形的荒地，新建一個以環(huán)保為主題的公園，已知這

塊荒地的長是寬的2倍，它的面積為400000米；

（1）公園的寬大約是多少？它有1000米嗎？

⑵如果要求誤差小于10米，它的寬大約是多少？

⑶該公園中心有一個圓形花圃，它的面積是800米）你能估計它的半徑嗎？

（誤差小于1米）

提示：要想知道公園的寬大約是多少，首先應根據已知條件求出已知量與未

知量的關系式，那么它們之間有怎樣的聯系呢？

（因為已知長方形的長是寬的2倍，且它的面積為40000米,根據面積

公式就能找到它們的關系式.可設公園的寬為x米，則公園的長為2x米，由面

積公式得：

2/=400000.\T2=200000O所以公園的寬x就是面積200000的算

術平方根）.

在估算時我們首先要大致確定數的范圍，因此有必要做一些準備工作.請

大家先計算出20以內正整數的平方和10以內正整數的立方.并加以記憶，對

我們的估算很有幫助.

12=1；2?=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；

112=121；122=144；132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；

14=381；20M00.

13=1；2，=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；6=512；93=729；103=1000.

下面我們可以進行估算，請同學們分組討論而后回答.

（1）公園的寬沒有1000米，因為1000的平方是1000000,而200000小

于1000000,所以它沒有1000米寬.

大家能不能具體確定一下公園的寬是幾位數呢？

因為100的平方是10000,1000的平方是1000000,而200000大于10000

小于1000000,所以公園的寬比100大而比1000小，是三位數.

大家在估算時就可用這樣的方法大致估算一下是兒位數，這樣使范圍縮

小，為下一步的估算作準備.由此看來公園的寬大約是幾百米，下面請大家繼

續(xù)討論做⑵題.

因為400的平方等于160000,500的平方為250000,所以公園的寬x應比

400大比500小.

所以x應為400多，再繼續(xù)估算，估計十位上的數字是幾.

因為440的平方為193600,450的平方為202500,所以x應比440大比

450小，故十位上的數為4.

因為題目要求誤差小于10米，好應精確到十位，所以我們估算出十位上的

數就行了，即公園的寬x應為440米，現在我們可以根據剛才的估算來總結一

下步驟.

1.估計是幾位數.

2.確定最高位上的數字（如百位）.

3.確定下一位上的數字.（如十位）

4.依次類推，直到確定出個位上的數，或者按要求精確到小數點后的某一位.

在以后的估算中我們就可按這樣的步驟進行.再看（3）題，先列出關系式.

（設半徑為x米，則有re^=800A—=-^2.%255.即x&255

7t3.14

因為1()2=100,10()2=10000,所以X應是兩位數，又因為15?=255,16?=256,所

以x就比15大比16小，應為15點幾，所以應為15米.)

在題目中要求誤差小于1,而不是精確到1,所以15米和16米都滿足要求,

即x應為15米或16米.

二、議一議

(1)下列計算結果正確嗎？你是怎樣判斷的？與同伴交流.

7043^0.066；V900^96；J2536七60.4

(2)你能估算師的大小嗎？(誤差