初中數(shù)學(xué)常見的12個(gè)幾何模型的新認(rèn)識(shí)

專題01截長補(bǔ)短模型證明問題

【專題說明】

截長補(bǔ)短法在初中幾何教學(xué)中有著十分重要的作用，它主要是用來證線段的和差問題,而且這種方法一直貫

穿著整個(gè)幾何教學(xué)的始終.那么什么是截長補(bǔ)短法呢?所謂截長補(bǔ)短其實(shí)包含兩層意思,即截長和補(bǔ)短.截長

就是在較長的線段上截取一段等于要證的兩段較短的線段中的一段，證剩下的那一段等于另外一段較短的

線段.當(dāng)條件或結(jié)論中出現(xiàn)a+b=c時(shí)，用截長補(bǔ)短.

【知識(shí)總結(jié)】

1、補(bǔ)短法：通過添加輔助線"構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，在證所構(gòu)造的線段和求證中那

一條線段相等；

2、截長法：通過添加輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，在證明截剩部分與線

段中的另一段相等。

3、截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之

與特定線段相等，再利用三角形全等有關(guān)性質(zhì)加以說明，這種做法一般遇到證明三條線段之間關(guān)系時(shí)常用。

BTD

*E,F01

*E*G*F圖2

*A*H圖3

如圖1,若證明線段之間存在EF=AB+CD,可以考慮截長補(bǔ)短法

截長法：如圖2,在EF上截取EG=AB,在證明GF=CD即可；

補(bǔ)短法：如圖3,延長AB至”點(diǎn)，使8H=CD,再證明即可.

【類型】一、截長

“截長”是指在較長的線段上截取另外兩條較短的線段，截取的作法不同，涉及四種方法。

方法一：

如圖2所示，在8尸上截取8例=。凡

易證ABMC出ADFC(SA5),

貝ijMC=FC=FG,NBCM=/DCF,

可得為等腰直角三角形，

又可證NCFE=45°,ZCFG=90°,

NCFG=NMCF,FG//CM,

可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF,

于是BF=BM+MF=DF+CG.

圖2

方法二：

如圖2所示，在8尸上截取尸M=GC

可證四邊形GCFM為平行四邊形

可得CM=FG=CF

可得乙8FC=NBDC=45°”得NMCF=90°

又得NBMC=NDFC=135。

于是△BMC絲△/)/<1(AAS),BM=DF

T是BF=FM+BM=CG+DF

上述兩種方法中都利用了兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰R/ABCD和

方法三：

如圖3所示，在BF上截取FK=FQ,得等腰R/ZXQFK,

可證得/DFC=ZKFG=135°,

所以△￡)FCg/\KFG(SAS),

所以KG=DC=BC,

NFKG=NFDC=NCBF,KG//BC,

得四邊形BCGK為平行四邊形，BK=CG,

于是BF=BK+KF=CG+DF

圖3

方法四

如圖3所示，在8尸上截取8K=CG,

可得四邊形2CGK為平行四邊形，

BC=GK=DC,BC//KG,

NGKF=ZCBF=ZCDF

根據(jù)四邊形8CFC為圓的內(nèi)接四邊形，

可證得NBFC=45。.，NDFC=NKFG,

于是ADCF咨AKGF(4AS),DF=KF,

于是BF=BK+KF=CG+DF.

上述兩種方法中都利用了兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰口△BDC和△陽心

【類型】二、補(bǔ)短

“補(bǔ)短”指的是選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長，使得較短。的兩條線段共線并尋求解題突破，根據(jù)輔助

線作法的不同也涉及四種不同的方法。

.方法五：

如圖4所示，延長GC至N,使CN=O尸，

易證△CD-ABCN(SAS),

可得CF=FG=BN,NDFC=NBNC=135。,

乂知/FGC=45。，可證BN〃FG,

于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG,

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

圖4

方法六：

如圖4所示，延長GC至M使NG=8尸，

得四邊形8FGN為平行四邊形，

所以BN=GF=CF,

又ZDCF+4CDF=2CBN+ZBCN=45°,

得NDCF=NCBN,

XCD=BC,可證△CDF絲△8CN(SAS),

DF=CN,以下從略.

方法七：

如圖5所示，延長CG至P,使CP=B凡連接尸F(xiàn),

則四邊形CPFB為平行四邊形，PF=BC=DC,

又NBFC=45°,NPFE=NDEC,

因?yàn)镹PFG=NFGC—ZP=45°-NP,

/DCF=NCFE—ZCDF=45°-NCDF,

又可證NP=NC8尸=NCOF,于是NPFG=NDCF,

所以△PFG也△QCF(SAS),PG=DF,

于是BF=CP=CG+PG=CG+DF.

方法八：

如圖5所示，延長CG至P,使GP=CF,連接P凡

可證/C=NPGF=135°,FC=CF,

所以△￡>":絲△PGF(SAS),

所以DC=PF=BC,

NP=NCDF=NCBF=NPCE,BC//FP,

所以四邊形8CPF為平行四邊形，

所以BF=CP=CG+PG=CG.+DF.

方法九：

如圖6所示，延長。E至。，

使凡連接C。，GQ,

可證△BC尸注△OC。（SAS）,

CF=CQ,ZBCF=ZDCQ,

于是可得/FCQ=Z8c￡）=90。，

所以△尸C。為等腰直角三角形，

可得四邊形FCQG為正方形，F(xiàn)Q=CG,

所以BF=DQ=DF+FQ=DF+CG.

圖6

方法十：

如圖6所示，延長FE至。，使尸0=CG,

通過證明四邊形FCQG為正方形，ZXBCF絲△OCQ,

同樣可以證明結(jié).論成立。

感興趣的讀者可以自行證明，詳細(xì)思路從略。

方法十一:

如圖7所示，延長FO至從使QH=CG,

可證得NBDF=NBDC+NCDF,ZECF=ZFCG+ZCEG,

于是NBDF=ZECF,則ZBDH=ZBCF,

所以(SAS),得N4=/8FC=45。,

所以為等腰直角三角形,

于是B.F=HF=DF+DH=DF+CG.

圖7

方法十二:

如圖7所示，延長F。至“，使FH=8凡

可得為等腰直角三角形,

于是NHBD=NFBC,

又NH=/BFC=45°,

所以ABOHsABCF,

所以BF=HF=DF+DH=DF+CG.

經(jīng)過上述分析，可知采取不同的切入點(diǎn)，解題思路會(huì)有差異。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1、如圖，AC平分NBA。，CE_LA8于點(diǎn)E,.NB+NQ=180。，求證：AE=AQ+8E.

解析：如圖，在E4上取點(diǎn)尸,使EF=5E,連接CF,

：：CELAB,:.CF=CB,NCFB=NB

,：ZAFC+ZCJFB=ISO0,,Z￡>+ZB=180°,AZD=ZAFC

：AC平分NBA。，即NZMCnN/^C

ND=ZAFC

在△AC。和△4CT中，<ZDAC=ZFAC,.?.ACO名△ACF(AAS),：.AD^AF,：.AE^AF+EF^AD+BE

AC=AC

2、如圖，已知在△ABC中，ZC=2ZB,Z1=Z2,求證：AB=AC+C￡>

解析：在AB上取一點(diǎn)E,使AE=AC,連接。E,

\'AE=AC,Z\=Z2,AD=AD,△ACC/△4ED,：.CD=DE,ZC=Z3

VZC=2ZB,.?./3=2/B=/4+/B,.?.N4=/8,:.DE=BE,CD=BE

'：AB=AE+BE,：.AB=AC+CD

3、如圖，在五邊形A8CDE中，AB=AE,BC+DE=CD,ZB+ZE=180°,求證：AO平分NCOE

解析：延長CB至點(diǎn)尸，使3尸二。瓦連接3F二QE,連接AFAC

VZl+Z2=180°,ZE+Zl=180°,AZ2=ZE

,/AB=AE,Z2=ZE,BF=DE

???/\ABF^/\AED

ZF=Z4,AF=AD

?：BC+BF=CD,BPFC=CD

又,.?4C=AC

???AACF^AACD

/.ZF=Z3

ZF=Z4

AZ3=Z4

???A。平分NCOE

4、已知四邊形48co中，ZABC+ZADC=180°，AB=BC如圖2,點(diǎn)P,Q分別在線段AD,DC上，滿足尸。=AP+C。,

求證：ZPBQ=90°-^ZADc

B

解析：如圖2,延長。C,在上面找一點(diǎn)K,使得CK=4P,連接8K,

B.........*K

：：ZABC+ZADC=\80°,：.ZBAD+ZBCD=\80°

,.'/BC￡>+/8CK=180°,:.NBAANBCK

AP=CK

在454尸和△8KC中，■NBAP=NBCK,：./\BPA^/\BKC(SAS),:.NABP=NCBK,BP=BK

AB=BC

VPQ^AP+CQ,：.PQ=Q>K

BP=BK

?.,在△BPQ和△8KQ中,<BQ=BQ,：.ABPQ^/\BKQ(SSS),：.ZPBQ=ZKBQ

PQ=KQ

ZPBQ=^ZABC

ZABC+ZADC=iSO°

：.ZABC=18O0-ZADC

：

.-2ZABC=9002-ZADC

：.ZPBQ=9G°^ZADC

5、如圖，在aABC中，ZB=60°,△4BC的角平分線A￡＞、CE相交于點(diǎn)0,求證：AE+CE^AC.

解析：由題意可得NAOC=120。

ZA0E=ZZX)C=1800-ZAOC=l80°-l20°=60°

在AC上截取AF=AE,連接0凡如圖

AE=AF

在△AOE和△AO尸中,\ZOAE=Z.OAF,AAO￡^AAOF(SAS),/.ZAOE=ZAOF,

OA=OA

4OF=60。

，ZCOF=ZAOC-ZAOF=60°

又NCOD=60。，

ZCOD=ZCOF

同理可得：ACOD咨ACOF(ASA)

CD^CF

)L'：AF=AE

：.AC=AF+CF=AE+CD

即AE+CD=AC

6、如圖所示，AB〃CD,BE,CE分別是的平分線，點(diǎn)E在A。上，求證：BC=AB+CD.

解析：在8c上取點(diǎn)F,使2F=A3

,:BE,CE分別是/A8C2BCO的平分線

/.NABE=NFBE,NBCE=NDCE

'JAB//CD

ZA+.ZD=180°

AB=FB

在△ABE和△FBE中，ZABE=Z.FBE,：.^ABE^/\FBE(SAS),：.ZA=ZBFE

BE=BE

.,.ZBFE+ZD=180°

,/ZBFE+ZEFC=\SO°

：.ZEFC=ZD

ZEFC=ND

在和△E￡>C中，ZBCE=ZDCE,：.^EFC^^EDC(MS),：.CF=CD

CE=CE

,?BC=BF+CF

：.BC=AB+CD

7、四邊形ABC。中，8。＞48/。=。（7,?！阓18€；8。平分/4^^

(1)證明：ZBAD+ZBCD=\SO°

(2)DE=3,BE=6,求四邊形ABCD的面積.

D

解析:

M：

VZABC+ZMDE^lSO°,ZADC=ZMDE,ZABC+ZADC=180°,AZBAD+ZBCZ>=180°

(2)S四邊形A8O>2SZ\8Eg8

8、已知：在△ABC中，AB=CQ-BD求證：ZB=2ZC.

解析：在CO上取一點(diǎn)M使得。

則CD-BD=CM=AB,：.ZAMD-NB=2NC

9、如圖，△ABC中，8O_L4C于點(diǎn)。，CE_LAB于點(diǎn)E,且BD,CE交于點(diǎn)F,點(diǎn)G是線段CD上一點(diǎn)，連

接AF,GF,若AF=GF,BD=CD.

（1）求/CAF的度數(shù)

（2）判斷線段FG與BC的位置關(guān)系，并說明理由.

解析：(1)延長4尸與8c交于點(diǎn)例，可知A凡L8C

,:BD=DC,BDVDC,；.NFBC=45。

,:AF=FG,FD±AG,；.NAF氏GFD=45。,：.AFLGF,.：.ZCAF^450

(2)由(1)可證FG〃BC

【鞏固提升】

1.如圖,在△ABC中，NA=60°,BD,CE分別平分NA8C和乙4c8,BD,CE交于點(diǎn)。，試判斷BE,

CD,BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

證明：在8c上截.取8/=8E,連接OF.

,.?8。平分/48(7,：.ZEBO=ZFBO,:.△EBO0MBO,：.ZEOB=ZFOB.

VZA=60°,BD,CE分別平分/ABC和/AC5,

：.NBOC=180。-NOBC-.NOCB=180°180°-1(180°-/A)=120。.

：.ZEOB^ZDOC=60°,.?.NBOF=60°,ZFOC=ZDOC^60°

「CE平分/DCB,:.NDCO=/FCO,:.△DCOQ^FCO

：.CD=CF,：.BC=BF+CF=BE+CD

2.如圖，AD//BC,DCLAD,AE平分NBA。，E是DC的中點(diǎn).問：AD,BC,AB之間有何關(guān)系？并說明

理由.

解析：48=4O+8C.理由：作于凡連接8E.

平分/BAO,DCLAD,EFLAB,

：.EF=DE.

,:DE=CE,

：.EC=EF.

Rt^BFE^Rt/\BCE(HL).

:.BF=BC,同理可證：AF—AD.

：.AD+BC=AF+BF=AB,即AB=AD+BC

3.如圖，已知。E=AE,點(diǎn)E在BC上，AELDE,ABA.BC,DCVBC,請問線段AB,C。和線段8c有一何

大小關(guān)系？并說明理由.

解析：線段A8,CD和線段BC的關(guān)系是：BC^AB+CD.

理由：在△DCE中，NEDC+NDEC=90。,

VZAEB+ZDEC=90°,AZAEB=ZEDC,

又,.?EO=AE,NABE=NECD=90。,

：.△48E<△EC￡>(A4S),

：.AB=EC,BE=CD,

：.BC=BE+EC=CD+AB.

4.如圖，AB//CD,B.E,CE分別是乙ABC和NBC。的平分線，點(diǎn)E在AO上.

求證：BC=AB+CD.

證明：在8c上取點(diǎn)尸，使8尸=84,連接￡片如圖,

,:BE,,CE分別是NABC和NBCQ的平分線,

二NABE=ZFBE,ZECF=ZECD.

：.Z\ABEg△尸BE(SAS),

：.NA=NBFE,

?：AB//CD,

：.ZA+/D=180°,

ZBFE+ZD=180°.

ZBFE+ZEFC=180.0,

二NEFC=ZD.

：.△COE絲△CFE(4AS),

:.CF=CD.

；BC=BF+CF,

：.BC=AB+CD.

5.如圖，在中，ZC=90°,BC=AC,ZB=ZCAB=45°,AD平分NB4C交BC于。,

求證：AB=AC+CD.

證明：如圖，延長AC到E,使CE=C。，連接。E.

則NE=NCDE=45°,

ZB=ZE.

平分/BAC

/.ZI=Z2,

在△A8O和△AEO中,

NB=NE,/2=N1,AD=AD,

：.△"/)嶺△AEO(AAS).

：.AE=AB.

'：AE=^AC+CE^AC+CD,

：.AB^AC+CD.

6.如圖，在△ABC中，NA8C=60。，AD,CE分別平分NBA。，NAC8,AD,CE交于。

(1)求NAOC的度數(shù)；

(2)求證：AC=AE+CD.

⑴解析：VZABC=60°,AD,CE分別.平分N3AC,ZACB,

11800-60°

???ZAOC=\80°~(ZOAC+ZOCA)=180°~2(^BAC+ZACB)=\8J0°-;------豆------=120°；

(2)證明：VZAOC=\20°,

：.NAOE=60。，

如圖，在AC上截取4b=A￡；連接OF,

???AO平分NA4C,

：.ZBAD=,ZCAD.

???AO=AO,

???/\AOE^/^AOF(SAS)f

：.ZAOE=NAO尸，

VZAOE=60°,ZAOC=120°f

???ZAOF=ZCOD=ZCOF=60°.

■:NFOC=NDOC,CO=CO,NDCO=NFCO,

J△CO修△COO(ASA),

:?CF=CD,

：.AC=AF+CF=AE+CD.

專題02倍長中線模型構(gòu)造全等三角形

【專題說明】.

倍長中線是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對應(yīng)角對應(yīng)邊

都對應(yīng)相等。常用于.構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SA歹

證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫中線的時(shí)候）。

【知識(shí)總結(jié)】

題干中出現(xiàn)三角形一邊的中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段），或中點(diǎn)，通?？紤]倍長中線或.類中線，構(gòu)造全等三角

形.把該中線延長一倍，證明三角形全等，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法.

主要思路：倍長中線（線段）造全等

在中AO是BC邊中線

,E

延長AO到E,使QE=AO,連接BE

E

作CF_LA￡＞于凡作BEJ_A￡＞的延長線于E連接BE

A

延長到N,使DN=MD,連接C￡＞

1、如圖，已知在△ABC中，。為AC中點(diǎn)，連接BD若AB=10tro,BC=6cm,求中線的取值范圍。

'*E

解析：如圖，延長BD至E,使瓦連接CE,

為4c中點(diǎn)

：.AD=DC?

在△ABQ和△€■￡￡>中，

BD=DE,

NADB=NCDE

AD=CD

:AABDmACED(SAS)

，EC=AB=10

在△BCE中，CE-BC<BE<CE+BC

10-6<BE<10+6

r.4<2BD<1.6

.*.2<.BD<8

2、已知I,.如圖△ABC中，AM是8c地上的中線，求證：AMC/AB+AC)

解析：延長AM到力，使"慶連CO

..?AM是BC邊上的中線，

：.BM=CM

又AM=DM,NAMB=NCMD

：.：.AB^CD

在△ACQ中，則A￡)<AC+C。

即2AM<AC+AB

：.AM<^AB+AC)

3、如圖，在△ABC中，A￡＞交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)石是8c的中點(diǎn)，E/〃A。交。的延長線于點(diǎn)F,交EF于

點(diǎn)G,若3G=C￡求證：A。為AABC的角平分線.

解析：延長尸￡截取EH=EG,連接“

可證得：/XBEG經(jīng)4CEH(SAS)

:.NBGE=NH、BG=CH

,:CF=BG,

:?CH=CF、：?ZF=ZH=ZFGA

YEF//AD

：.ZF=ZCAD,ZBAD=ZFGA

：.ZCAD=ZBAD

???A。平分N84C.

4、如圖，AD為△ABC的中線，NAOB和/ADC的平分線分別交A8、AC于點(diǎn)E、F,求證：BE+CF>EF.

解析：延長ED到，，使￡>E=O凡連接C4.F”,

是△A8C的中線，；.BIADC

":DE、OF分別為/AO8和NAOC的平分線

?*.Z1=Z4=|ZADB,Z3=Z5=1ZADC

又?.?/1=N2,.\Z4=Z2

/4+/5=N2+N3=90°

A△EFD^.AWFDCAAS)

：.EF=FH

DE=DH

在△5￡>E和△GDH中，<Z1=Z2,：.4BDE^ACDH(SAS),：.BE=CH

BD=DC

在△CF”中，由三角形三邊關(guān)系定理得：CF+CH>FH

,:CH=BE,FH=EH

：.BE+CF>EF.

5、在心△ABC中，N4=90。，點(diǎn)、D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別為AB,4c上的點(diǎn)，且以線段BE,EF,FC

為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，請判斷三角形的形狀？

解析：連接AD,作8G-〃FC,與。延長線交于G,連接EG.

?.?8G平行FC,ZFCD=ZDBG,ZCFD=ZG

ZDFC=NG

在△DFC和△BOG，,ZFCD=NDBG,/.^DFC^^BDG(AAS).

BD=CD

：.FC=BG.DG=DF,ZDBG=ZACB

又?：ED工FD,：.EF=EG

ZXfiC+ZACfi=90°,；./A8G=/ABC+NOBG=N48C+/ACB=90°

...△E8G為直角三角

.".BEEF,FC為邊能構(gòu)成一個(gè)三角形，且為直角三角形

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1、如圖，已知在△ABC中，4。是3c邊上的中線，E是AO上一點(diǎn)，延長3E交AC于F,AF=EF,求證:

AC=BE.

【解J斤】倍長AO至點(diǎn)M,得8字全等空△CA。(A4S)

?:AF=EF

：.ZFAE=ZFEA,BE=BM

：.AC=BM=BE

2、如圖所示，已知△ARC中，A。平分NB4C,瓦廠分別在BDAO上，DE二CD,EF=AC.求證EF〃AB.

解析：倍長/。至點(diǎn)M得8字全等△f￡：￡>0△MCD(A4S),

所以"二CM=4C

/.ZCAD=ZEFD=ZBAD

：.EF//AB

3、已知△48C中，A8=AC,C尸是A8邊上的中,線，延長48至I」使8。二4氏求證：CD=2CE.

分析：倍長CE至點(diǎn)M,連6M,證△OCBTAMCB

如圖所示，N84GND4E=90。，M是3E的中點(diǎn)，AB=AC^D=AEr求證:AMLCD

AB=AC

解析：倍長AW至點(diǎn)尸，連3尸和EF,<ZABF=ZCAD

BF=AD

可證△AB尸名△CAD(SA5)

ZC+ZCAF=ZBAF+ZCAF=90°

：.AMLCD

4、如圖，在正方形ABC。中，AD//BC,E為邊的中點(diǎn)，G,尸分別為40,8C邊上的點(diǎn)，且AG=1,

BF=2,若GE_LER.則GF的長為多少？

解析：如圖，延長GE交C3的延長線于點(diǎn)“

?:AD//BC

：./GAE=NHBE

???￡：為AB邊的中點(diǎn)

：.AE=BE

ZAEG=ZBEH

在△AGE和中.，＜AE=BE.,.AAGE^ABHECASA),；.BH=AG,HE=GE

ZGAE=ZHBE

■:GELEF

：.GF=HF

*：BF=2,AG=A

：.GF=HF=BF+BH=BF+AG=2+1=3

5、如圖，在△ABC中，平分N8AC,且8O=C3,求證：AB=AC.

方法1：

如圖，延長AO到E,使DE=AD,連接BE

BD=CD

在△BOE和△CZM中，＜ZBDE=ZCDA:ABDEm4CDA(SAS),：.A,C^BE,ZE=Z2

DE=DA

TAn平分NB4C

.?.Z.1=Z2

AZ1=Z￡

：.AB=BE

：.AB=AC

方法2：

如圖，過點(diǎn)8作BE〃AC,交人。的延長線于點(diǎn)E

'：BE//AC

AZ￡=Z2

ZE=Z2

在.△BDE和△CDA中，《NBDE=ZCDA：.△BDE段△CDA(A45),：.BE=AC

BD=CD

9

???A。平分N84C

A.Z1=Z2

AZ1=ZE

：.AB=BE

：.AB=AC

【鞏固提升】

1、如圖，在△A8C中，AO為BC邊上的中線.

(1)按要求作圖：延長到點(diǎn)E,使。連接BE.

(2)求證：△ACD&Z\EBO.

(3)求證：AB+AC>2AD..

(4)若AB=5,AC=3,求A。的取值范圍.

(2)證明：如圖，?.'A。為8c邊上的中線，??.8O=CD

BD=CD

在4BDE和△(；加中，-Z1=Z2Z.△BOE絲△COA(SAS)

ED=AD

9

(3)證明：如圖，

'：^\BDE^/\CDA,：.BE=AC,X，：DE=AD,：.AE=2AD

在△ABE中，AB+BE>AE,：.AB+AO2AD

(4)在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE

由(3)得AE=2AD,BE=AC

：AC=3,AB=5,：.5-3<AE<5+3,：,2<2AD<8,：.1<AD<4

2、如圖，在△ABC中.，AO平分/BAC,5.BD=CD.

求證：AB=AC.

證明：如圖，延長A￡＞到E,使。咫AO,連接BE

CD=BD

在△ADC和4EDB中，\ZADC=NEDB：./\ADC2EDB(S4S)

AD=ED

:?AC=EB,Z2=ZE

?.,AO平分N84C

AZ1=Z2

AZ1=ZE

:?AB二BE

：.AB=AC

3、如圖，CB是△4EC的中線，C￡＞是△ABC的中線，且4B=AC.

求證：①CE=2C￡）；②CB平分NQCE.

C

證明：如圖，延長CO到尸，使。F=CO,連接8F

C

r.CF=2CD

,:CD是△ABC的中線，：.BD=AD

BD=AD

在△BO尸和△ADC中，＜NADC=NBDF：.^BDF^/\ADC(SAS),：.BF=AC,Z1=ZF

DF=DC

f

'：CB是△AEC的中線，，BE=AB

\'AC=AB,：.BE=BF

=N尸，：.BF//\C,AZl+Z2+Z5+Z6=180°

又?.?AC=A8,.,.Z1+Z2=Z5

XVZ4+Z5=180°,AZ4=Z5+Z6

即/C8E=NC8F

CB=CB

在ACBE和A.CBF中，,NCBE=NCBF:.ACBEmACBF(SAS)

BE=BF

：.CE=CF,Z2=Z3

/.CE=2CD

CB平分NOCE

3、如圖，在△ABC中，。是的中點(diǎn)，E是AO上一點(diǎn)，BE=AC,BE的.延長線交AC于點(diǎn)F,求證:

ZAEF=ZEAF.

證明：如圖，延長AO到M,使。M=A。，連接8M

?.,。是BC邊的中點(diǎn)

：.BD=CD

CD=BD

在△ADC和△MO8中，ZADC=NMDB：.△ADgAMDB(SAS)

AD=MD

AZ1=ZA/,AC=MB

\'BE=AC

:,BE=MB

AZM=Z3

AZ1=Z3

VZ3=Z2

/.Z1=Z2

即ZAEF=ZEAF

4、如圖，在△48C中，A3交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，E尸〃A3交CA的延長線于點(diǎn)尸，交AB

于點(diǎn)G,BG=CF,求證：AO為△ABC的角平分線.

證明：如圖，延長FE到M,使EM=EF,連接

二

B、；E~DC

\\

\\

\\J

\\

\\

\\

\?點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，，BE=CE

FE=ME

在△CFE和△8ME中，＜NCEF=NBEM:.ACFE咨ABME(SAS),:.CF=BM,NF=NM

CE=BE

?：BG=CF

:.BG=BM

AZ1=ZM

AZ1=ZF

9：AD//EF

.\Z3=ZF,Z1=Z2

AZ2=Z3

即AD為AABC的角平分線

5、如圖，在四邊形ABCD中，A力〃BC,點(diǎn)E在8C上，點(diǎn)尸是C3的中點(diǎn)，BLAFLAB,已知A￡)=.2.7,

AE=BE=5,求CE的長.

解析：如圖，延長4/交BC的延長線于點(diǎn)G

AD

z

BECG'

,:AD〃BC,

AZ3=ZG

?.?點(diǎn)尸是CO的中點(diǎn)

：.DF=CF

23=NG

在△AO尸和△GC7?中，＜ZAFD=NGFC：./\ADF^^GCF(A4S),C.AD^CG

DF=CF

?

\'AD=2.7

：.CG=2.7

\'AE=BE

AZ1=ZB

?：AB±AF

AZ1+Z2=9O°,ZB+ZG=90°

AZ2=ZG

：.EG=AE=5

AC￡=EG-CG=5-2.7=2.3

6、如圖，在正方形ABC￡＞中，CD=8C,NOC8=90。，點(diǎn)E在CB的延長線上，過點(diǎn)E作EFLBE,且EF=BE.連

接8尸，F(xiàn)D,取ED的中點(diǎn)G,連接EG,CG.

求證：EG^CGS.EG1.CG.

證明：如圖，延長EG交CO的延長線于點(diǎn)M

由題意，NFEB=90°,ZDCB=9.0°,：.ZDCH+ZFEB=180o

J.EF//CD,：.ZFEG=ZM

；點(diǎn)、G為FD的中點(diǎn)，F(xiàn)G=DG

N1=NM

在△FGE和△OGM中，＜ZFGE=ZDGM.'.AFGE^ADGM(AAS),：.Ef=MD,EG=MG

FG=DG

「△FEB是等腰直角三角形

:.EF=EB,：.BE=MD

在正方形A8C。中，BC=CD

：.BE+BC=MD+CD,B|JEC=MC

.?.△EC例是等腰直.角三角形

"：EG=MG,J.EGVCG,Z3=Z4=45°

Z2=Z3=45°

：.EG=CG

專題03一線三垂直模型構(gòu)造全等三角形

【專題說明】

一線三垂直問題，通常問題中有一線段繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°,或者問題中有矩形或正方形的情況下考慮，作輔

助線，構(gòu)造全等三角形形或相似三角形，建立數(shù)量關(guān)系使問題得到解決。

【知識(shí)總結(jié)】

過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)或者正方形直角頂點(diǎn)的一條直線。

過等腰直角三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)作該直線的垂線段，會(huì)有兩個(gè)三角形全等（A4S）

常見的兩種圖形:

1、如圖，在直角梯形48CD中，AD//BC,AB±BQAD=2f8c=3,設(shè)/BCZ＞a,以。為旋轉(zhuǎn)中心，將腰

DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至DE.

當(dāng)a=45。時(shí)，求△E4Q的面積.

當(dāng)a=30。時(shí)，求△H￡＞的面積

當(dāng)0。＜。＜90。，猜想△"￡＞的面積與a大小有無關(guān)系，若有關(guān)，寫出△EA。的面積S與。的關(guān)系式，若無

關(guān)，請證明結(jié)論.

解析：*：AD//BC.DGLBC

：.ZGDF=90°

XVZEDC=90°

AZ1=Z2

在△CGO和中

ZDGC=ZDFE

Z1=Z2

CD=DE

:?△DCGQADEF

：.EF=CG

■:AD〃BCABLBC,

AD=2,BC=3

：,BG=AD=2

：.CG=1,EF=1,/XEAQ的面積與a無關(guān)

2、如圖，向△ABC的，外側(cè)作正方形A8￡＞反正方形A"G,過A作A〃_LBC于〃，A"的反向延長線與EG

交于點(diǎn)P,求證：BC=2AP

解析：過點(diǎn)G作GMLAP于點(diǎn)M過點(diǎn)E作ENLAP交AP的延長線于點(diǎn)N

???四邊形ACFG是正方形

：.AC=AG,ZCAG=90°

：.ZCAH-^ZACH=90°

：.ZACH=ZGAM

在△AC”和△GAM中

ZAHC=ZGMA

/ACH=/GAM

AC=GA

：.△ACH經(jīng)△GAM

:?CH=AMrAH=GM

同理可證△A8〃且△E4M△EPNm△GPM：.NP=MP

：.BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP

3、己知：在△ABC中，N8AC=90。，AB=AC,AE是多點(diǎn)A的一條直線，且于。，CE_LAE于點(diǎn)

E當(dāng)直線AE處于如圖1的位置時(shí)，有5O=OE+CE,請說明理由.當(dāng)直線AE處于如圖2的位置時(shí)，則BD、DE、

CE的關(guān)系如何？請說明理由.

解析：(1)VBDLAE.CE.LAE

???ZBDA=ZAEC=900

:.NABD+NBAD=9。。

VNBAC=90。

，N34D+NE4c=90。

,ZABD=ZEAC

在△48。和△CAE中

ZADB=ZCEA=90°

ZABD=ZEAC

AB=CA

???/^ABD^ACAE(AAS)

AD=CE,BD=AE

'：AE=AD^DE

：.BD=DE+CE

(2)在△A3。和△CAE中

ZADB=ZCEA=90°

AB=CA

：.AABD^ACAE(AAS)

:?AD;CE,BD=AE

?:AE=DE-AD

：.BD=DE-CE.

4、如圖，在△A8C中，NA8C=45。，點(diǎn)尸是△ABC的高A。、BE的交點(diǎn),已知CO=4.,AF=2,則線段8C

的長為（）

解析:是△ABC的高

???ZADB=90°

ZABC=45°

：.ZBAD=45°

：.ZABC=ZBAD

：.AD=BD

???ZCAD+ZAFE=90°,ZCAD+ZC=90°,ZAFE=ZBFD

J/AFE;NC

在/XBDF和△4。。中

ZCAD=ZFBD

AD=BD

ZBDF=ZADC

：./\BDF^/\ADCCASA)

：.DF=CD=4

：.AD=A產(chǎn),+。產(chǎn)=2+4=6=80

：.BC=BD+CD=6+4=\0

5、如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABC。的頂點(diǎn)A,分別過頂點(diǎn)8,0作OEJ_a于點(diǎn)凡若DE=4,BF=3,則

EF的長為（）

解析：是正方形，AB=AD,ZABC=ZBAD=90°

'：NBAF+NABF=NBAF+NDAE,：.ZABF^ZDAE

在△AFB和△AEZ)中，NABF=ZDAE,ZAFB=ZAEDAB=AD

：.AAFB^AAED

：.AF^DE^4,BF=AE=3

.\EF=AF+AE=4+3=1

6、如圖，矩形A8C￡＞中，E在AO上，且EFLEC,EF=EC,DE,=2,矩形的周長為16,則AE的長是（）

解析：?.?矩形"CD中，EFLEC,

：.ZDEC+ZDCE=90°,ZDEC+ZAEF=90°,ZAEF=ZDCE,

又"：EF=EC,:./XAEFmIXDCE(AAS),:.AE=CD

?矩形的周長為16,即2CD+2AD=\6,

：.CD+AD=8

,：.AD-2+AD=S

AD^5

：.AE=AD-DE=5-2=3.

7、如圖，在AABC中，NA=90。，AB=4C,NA8C的平分線BD交AC于。，CE_LB。的延長線于點(diǎn)E,求

證：CE=*D

解析：延長氏4相交于點(diǎn)?

?；NEBF+NF=9U。,ZACF+ZF=90°

???NEBF=NACF.

又,.?AB=AC,ZBAC=ZCAF

：./XABD^/^ACF(ASA)

：.BD=CF

在△BCE和△3PE中，ZEBF=ZCBE,BE=BE,ZCEB=ZFEB

.\/\BCE^ABFE(ASA)

：.CE=EF

i1

：..CE=-CF=-BD

2r2

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

.1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰R/4ABC有兩個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解析:

⑴過點(diǎn)8作BD±x軸于點(diǎn)D,

ZBCD+ZDBC=90°

由等腰Rt^ABC可知，8c=4C,ZACB=90°

/.ZBCD+ZAC0=90°

：.ZDBC=ZACO

在△BCD和△CAO中

ZBDC-ZAOC

NDBC=NACO

BC=AC

/.△BCD^ACAO

，CD=OA,HI)=OC

(2)的證明方法一樣

2、己知點(diǎn)尸為NEA尸平分線上一點(diǎn)，PB_L4E于點(diǎn)B,PCJ_AF于C,點(diǎn)例、N分別是射線AE、AF上的

點(diǎn).

如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段4。的延長線上，且PM=PN,求證5M二CN.

在（1）的條件.下，直接寫出線段AM、CN與AC的數(shù)量關(guān)系_______

解析：

(1),??點(diǎn)P為NE4F平分線上?點(diǎn)，PBJ_AE于氏PCJ_AF于C,

：.PB=PC

在RrAPBM和R/△尸CN中

PB=PC

PM=PN

：.RiAPBMmRMCN

:?BM=CN

(2)在RtAPBA和Rt^PCA中

PB=PC

AP=AP

：.Rt^PBA^Rt^PCA

.：.AB=AC

：.AM+CN=AM+BM.=AB=AC

3、如圖，在△ABC中，AB=AC=2,ZB=ZC=40°,點(diǎn)。在線段BC上運(yùn)動(dòng)（。不與8,C重合），連接AO,

作ZADE=40°,DE交線段AC于點(diǎn)E.

當(dāng)。。等于多少是，△ABO絲△￡＞（7￡?請證明你的結(jié)論.

解析:

?/ZB=40°

：.ZBAD+ZBDA=140°

ZADE=4()Q

/.ZCDE+ZBDA=140°

???/BAD=/CDE

在△48。和△￡>(；￡中

ZB=ZC

ZBAD=ZCDE

AB=DC

4、如圖，在△ABC中，AB=AC,乙4=90。，點(diǎn)。在線段BC上，NBDE總NC,BELDE,垂足為E,DE與AB

交于點(diǎn)尸，求證：BE=^DF.

解析：過點(diǎn)。做OG〃AC交BE的延長線于點(diǎn)G

8E與的延長線交于G點(diǎn)，如圖，

'JDH//AC,NBDH=NC=45。

..?.△”8。為等腰直角三角形

：.HB=HD,而NEBF=22.5°

'：NEDB=2L/C=22.5。

平分N6OG

liuDELBG,，詆GE,即8E=gBG

VZDFH+ZFDH=Z.G+ZFDH=9Q°,：.ZDFH=ZG

丫NGBH=90°-NG,NFDH=90°-NG

：.ZGBH=ZFDH

NG=NDFH

在△BGH和△OFH中，＜NGB”=絲：,￡G=DF,

BH=DH

.?.密觀

5、己知：在等腰直角△ABC中，NR4c=90。，AB=AC,E是AC邊上的點(diǎn)，AFJ_BE交8C于點(diǎn)O,如果4E=C。

證明：8尸平分N48C

證明：AB+AE=BC

解析：（1）作4c的垂線交AD的延長線于點(diǎn)M,易證8AE絲△ACM（AS4）得CM^AE^CD

；.NM=NCDM=NAEB=NBAD,AB=BD,平分乙48。（等腰三角形三線合一）

(2)AB+AE=BD+DC=BC

【鞏固提升】

1、如圖，AB_LB。于點(diǎn)8,CDLBD于點(diǎn)、D,P是8。上一點(diǎn)，且AP=PC,APJLPC,求證：AABP^APDC

解析：'：AP1PC,：.ZAPB+ZCPD^9(f,

?.?A8LBO于點(diǎn)B,CO_L8。于點(diǎn)

D,.'.Zfi=ZD=90°

?*.ZCPD+ZPCD=9^,：.ZAPB^/PC。,又AP=PC,：.△ABPg叢PDC

2、如圖，二次函數(shù)產(chǎn)?+尿+。的圖象與無軸交于點(diǎn)A(.1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)N,以AB為

邊在x軸上作正方形ABCD,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過點(diǎn)尸作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E。

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段08(點(diǎn)p不與O,B重合)上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長有最大值？并求出這個(gè)最大

值；

(3)在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)連接MN,MB,請問：△MBN的面積是否存在最大值？若存在

解析：(1)將點(diǎn)4(-1,0)和點(diǎn)8(3,0)代入拋物線解析式可求得，6=-2,c=-3,所以產(chǎn)己緘4.

EOOP

⑵通過同.角的余角相等得NEPO=NPCB,NEOP=/P8C-90°n,得△EPOSAPCB,所以=—.設(shè)OE=y,

rDBC

1313.9

QP=x,則尸--f+-x=--(x--尸+―(0<x<3)

4442lo

139

又-7<0,所以當(dāng)產(chǎn)彳時(shí)，OE有最大值為77。

4216

⑶過點(diǎn)M作MG〃y軸，交8N于點(diǎn)G,

設(shè)M(加即2.2*3)。由M8兩點(diǎn)?？汕蟮弥本€BN的解析式:

Y=x-3,可得G(m,m-3),

1、33127

則GM=?//+3m,所以SawjAk7x(-//+3m)x3=-~(tn--)

2228

315

當(dāng)M(7，-丁)時(shí)，△8MN的面積取得最大值。

24

3、如圖，直線y=-3x+3與無軸、y軸分別交于4,8兩點(diǎn)，拋物線產(chǎn)-f+fer+c與直線y=c分別交y軸的正半

軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)p,連接P8,得△PC8絲△BOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))。若拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)為

點(diǎn)凡設(shè)M是點(diǎn)C,尸間拋物線上的.一點(diǎn)(包括端點(diǎn))，其橫坐標(biāo)為，九

(1)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

(2)當(dāng)，"為何值時(shí)，的面積S取得最小值和最大值？請說明理由;

(3)求滿足NMP0=/P04的點(diǎn)M的坐標(biāo)。

解析：(1)由可得PC=OB=3,8C=OA=1,所以P(3,4),(0,4).將P(3,4),C(0,4)代

入解析式得，b=3,c=4,所以拋物線y=-d+3x+4。

(2)過點(diǎn)M作MNLx軸.，垂足為M則除4“8=5梯形MNOB-SAQ-SAAMN,代入整理得；(m-3)2+5,

11

又知，0<w<4,且。=-彳<0,所以當(dāng)"2=3時(shí)，有最大值為5,當(dāng)〃?=0時(shí)，面積最小為Q。

(3)此間分兩種情況①當(dāng)M點(diǎn)在OP左側(cè)，當(dāng)/MPO=/POA時(shí)，M點(diǎn)與P重合，此時(shí)M(0,4).②當(dāng)

例點(diǎn)在OP的右側(cè)，當(dāng)/MPO=NPOA時(shí)，有PG=OG,設(shè)G(x,0)

25

(4)由勾股定理得PG?：(x-3)2+16,所以f=(x-3)?+16,解得尸丁，這樣可求得的解析式：

6

24100,24124

Y=-—x+~y-與y=-x~+3x+4建立方程組可.求得M(")

24124

當(dāng)NMPO=NPOA時(shí),M(0,4)或M(—,—)

4、如圖，線段A8=8,射線BG_L4B,P為射線8G上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APC。，且點(diǎn)C、。與點(diǎn)8

在AP兩側(cè)，在線段。尸上取一點(diǎn)E,使NEAP=/8AP,直線CE與線段A8相交于點(diǎn)尸(點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不

重合)。

(1)求證：△AEPg^CEP；

(2)判斷C尸與AB的位置關(guān)系，并說明理由"

(3)求△AEF的周長。

解析：(1):四邊形APCD是正方形，Q