同濟大學第六版高等數(shù)學課后答案全集

同濟六版高等數(shù)學課后答案全集

第一章

習題1-1

1.設(shè)A=(—8,—5)u(5,+oo),B=[—10,3),寫出及A\(AW)的表達

式.

解Au5=(-oo,3)u(5,+oo),

AnB=[-10,-5),

A\B-(-ao,-10)u(5,+oo),

A\(A\B)=[-10,-5).

2.設(shè)A、8是任意兩個集合，證明對偶律:(ACB)C=ACUBC.

證明因為

xw(Ac8)CoxeAc8=x^A或x史8=x&Ac或x&Bc^>xeAc\JBC,

所以(AnB)c=AcuBc.

3.設(shè)映射了:XfRAcXBuX.證明

(iy(AuB)=/-(A)u/(B);

(2次4cS)UC).

證明因為

*eAu民使_/(x)=y

=(因為xeA或xeB)ye犬A)或⑻

oye/(A)5⑻，

所以AAuB)或4)5⑻.

(2)因為

使式X)=)，=(因為xeA且x&B)y/A)且y48)nye

AA)Q/(B),

所以項CS)U(A)M6).

4.設(shè)映射/:XTT,若存在一個映射g:y->X,使g°/=/x，fog=1Y，其中/x、

/y分別是X、y上的恒等映射，即對于每一個xeX,有/xx=x；對于每一個ye匕有

lyy^y.證明:/是雙射，且g是/的逆映射:g4T

證明因為對于任意的)小匕有4g(y)wX,且於月根0)]名產(chǎn)y,即丫中任意元

素都是X中某元素的像，所以/為X到丫的滿射.

又因為對于任意的X1WX2,必有/(X1)可(X2),否則若1Ax1)寸(⑹^^/但力二8伏檢)]

=>X\=X2.

因此/既是單射，又是滿射，即/是雙射.

對于映射g：yfX,因為對每個yeY,有g(shù)(y)=xeX,且滿足於E/Ig(y)]=4y=y,

按逆映射的定義,g是/的逆映射.

5.設(shè)映射/:X-?y,AcA.證明：

(1尸姓))04;

(2)當/是單射時，有/T(/(A))=A.

證明(1)因為xeAn於)=y/4)=>f-\y)=xef-l(f(A)),

所以/T(?A))nA.

⑵由⑴知尸(M))=>A.

另一方面，對于任意的xw尸翼4))=存在y/A),使/(y)=x=/(x)=y.因為

yw/(A)且/是單射，所以xeA.這就證明了尸(M))u4.因此尸(M))=A.

6.求下列函數(shù)的自然定義域：

(l)y=j3x+2;

解由3x+220得x>-].函數(shù)的定乂域為+8).

解由1-fM得存±1.函數(shù)的定義域為

(3)y=-■-y/1—x~;

X

解由xM且l-x2>0得函數(shù)的定義域￡>=[-1,0)u(0,1].

⑷產(chǎn)91；

V4-x2

解由4-』>0得l.rl<2.函數(shù)的定義域為(-2,2).

(5)y=sin-/x;

解由電0得函數(shù)的定義。=[0,+8).

(6)y=tan(x+l);

解由x+lwg6=0,±1,±2,?/)得函數(shù)的定義域為x,kn+R-'(k=0,±1,±2,-?

(7)y=arcsin(x-3);

解由k-31。得函數(shù)的定義域。=[2,4].

(8)y=A/3-X+arctan—;

解由3-x>0且xM得函數(shù)的定義域0=(-8,0)5。,3).

(9)y=ln(x+l);

解由》+1>0得函數(shù)的定義域。=(-1,+8).

1

(10)y=ex.

解由并0得函數(shù)的定義域0=(-8,0)50,+8).

7.下列各題中，函數(shù)式x)和g(x)是否相同？為什么？

(iy(x)=lgx2,g(x)=21gx;

(2)/(x)=x,g(x)=G;

(3)/(x)=Vx4-%3,g(x)=x^/x-i.

(4?(x)=l,g(x)=sec2x-tan2x.

解(1)不同.因為定義域不同.

(2)不同.因為對應法則不同,x<0時,g(x)=-x.

(3)相同.因為定義域、對應法則均相相同.

(4)不同.因為定義域不同.

IsinxlIxk—

8.設(shè)*(x)={3,求奴勺，夕(5),0(_9，彼一2),并作出函數(shù)產(chǎn)姓)

0lx垮644

的圖形.

解。(為Tsi嗤H，^(y)=lsinyl=^-,夕(一多小皿一5)1=4，9(-2)=0.

oo2442442

9.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：

⑴產(chǎn)產(chǎn)，(一8,1)；

1-X

(2)y=x+lnx,(0,+8).

證明(1)對于任意的孫必￡(-8,1),有l(wèi)-Xl>0,1-%2>0.因為當％1<%2時,

%-為=9--工=—^_<0,

12If1一巧(1一七)(1一巧)

所以函數(shù)丁=丁工在區(qū)間(-8,1)內(nèi)是單調(diào)增加的.

1-X

(2)對于任意的孫應￡(0,+℃),當修<%2時，有

y->，2=(x+lnx)-(x+lnx)=(-；ti-x2)+ln—

11122x2

所以函數(shù)y=x+\nx在區(qū)間(0,+8)內(nèi)是單調(diào)增加的.

10.設(shè)犬X)為定義在(-/,/)內(nèi)的奇函數(shù)，若7U)在(0,/)內(nèi)單調(diào)增加，證明7U)在

(-Z,0)內(nèi)也單調(diào)增加.

證明對于Vxi,必€(-/,0)且Xi<X2,有-X1,-必€(0,1)BL-X[>-X2.

因為犬X)在(0,/)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù)，所以

f(-X2)<f(-Xl),dX2)</Xl),_/(X2)/XI),

這就證明了對于Vxi,X2e(-/,0),有兀川<兀12),所以/(x)在(T,0)內(nèi)也單調(diào)增加.

11.設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(T,/)上的，證明：

(1)兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；

(2)兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函

數(shù)的乘積是奇函數(shù).

證明(1)設(shè)尸(X)寸(x)+g(x).如果/(x)和g(x)都是偶函數(shù)，則

尸(T)4-x)+g(-x)Mx)+g(x)=F(x),

所以F(x)為偶函數(shù)，即兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù).

如果/(X)和g(x)都是奇函數(shù)，則

F(-x)》(-x)+g(-x)=dx)-g(x)=-F(x),

所以F(x)為奇函數(shù)，即兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù).

(2)設(shè)/(x)Mx>g(x).如果犬x)和g(x)都是偶函數(shù)，則

F(-x)*x>g(T)/x>g(x)=F(x),

所以F(x)為偶函數(shù)，即兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果犬x)和g(x)都是奇函數(shù)，則

H-X)子：-x>g(-x)=[V(x)l[-g(x)]^x>g(x)=F(x),

所以F(x)為偶函數(shù)，即兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果/(x)是偶函數(shù)，而g(x)是奇函數(shù)，則

尸x>g(—x)寸(x)[—g(x)]=TU>g(x)=—F(x),

所以F(X)為奇函數(shù)，即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).

12.下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非奇函數(shù)又非偶函

數(shù)？

(l)y=x2(l-x2);

(2)y=3x2-%3;

l-x2

(3)y=IT?’

(4)y=x(x-l)(x+l);

(5)y=sinx-cosx+1;

⑹產(chǎn)T21.

解(1)因為八一%)=(-幻2口-(-劃勺=/(1一7)4口)，所以八X)是偶函數(shù).

⑵由A-x)=3(-幻2-(-4=3￥+｛可見於)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).

(3)因為/(-X)=LJ￥=*W=/(X),所以/㈤是偶函數(shù).

l+(-x)1+X

(4)因為4―x)=(-x)(—x—1)(—x+l)=-x(x+l)(x—l)=/x),所以/(x)是奇函數(shù).

(5)由/(—x)=sin(-x)—cos(—x)+l=—sinx—cosx+l可見/(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).

(6)因為/(—)=Q^E=*Q=/(x),所以Ax)是偶函數(shù).

13,下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期：

(l)y=cos(x-2);

解是周期函數(shù)，周期為/=2九

(2)y=cos4x;

解是周期函數(shù)，周期為/=半

(3))'=l+sin;zx;

解是周期函數(shù)，周期為/=2.

(4)y=xcosx;

解不是周期函數(shù).

(5)>-sin2x.

解是周期函數(shù)，周期為/=兀

14.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

(l)y=Vx+T;

解由y=Vx+T得x=y3-l,所以丁江仃的反函數(shù)為y=x3-l.

⑵*；

解由廠修得行信所以尸修的反函數(shù)為尸爵

(3)y=^±4(ad"M);

cx+d

解由尸結(jié)邛得X=*幼，所以),=絲”的反函數(shù)為產(chǎn)也幽

cx+dcy-acx+dcx-a

(4)y=2sin3x;

解由y=2sin3x得x=garcsin],所以y=2sin3x的反函數(shù)為y=garcs嗚.

(5)y=l+ln(x+2);

解由y=l+ln(x+2)得x=e'T—2,所以y=l+ln(x+2)的反函數(shù)為y^-l.

⑹尸梟

解由尸三得^^^白，所以尸三的反函數(shù)為廠題2戶.

2工+1i-y2'+11-x

15.設(shè)函數(shù)人處在數(shù)集X上有定義，試證：函數(shù)Ax)在X上有界的充分必要條

件是它在X上既有上界又有下界.

證明先證必要性.設(shè)函數(shù)段)在X上有界，則存在正數(shù)M,使")KM,即

-M<f{x)<M,這就證明了八x)在X上有下界-朋和上界M.

再證充分性.設(shè)函數(shù)式x)在X上有下界Ki和上界K2,即Ki<f(x)<K2.取

M=max{IKI,IKd},則-M<K\<f{x)<K2<M,

即!/(x)l<M.

這就證明了/(x)在X上有界.

16.在下列各題中，求由所給函數(shù)復合而成的函數(shù)，并求這函數(shù)分別對應于

給定自變量值X|和X2的函數(shù)值：

(1)y=u?w=sinx,x,=—,x2='r；

oJ

22222

解y=sinx,y1=sin^-=(^),y2=siny=(^)=1.

(2)y=sinu,u=2x,國=d,巧=_T；

o4

解y=sin2x,=sin(2~)=sin-^=^-,y2=sin(2~)=sin^=l.

o4242

(3)y=&,w=l+x2,Xi=l,%2=2;

解y=Jl+\2,yj=V14-l^=\/2,y2=y/l+2^=y/5.

(4)y=el\M=X2,x\=0,%2=1；

解y=ex2,兇=6。2=1,當二^二即

(5)y=u,u=e,x)=1,X2=—1.

在笈y=e2A",yi=e2,1=e2>yr=e2,(—1)'=e—2.

17.設(shè)Ax)的定義域。=。1],求下列各函數(shù)的定義域：

⑴/2);

解由0白幺1得及隆],所以函數(shù)/(f)的定義域為[-1,1].

⑵於加)；

解由0<sinx<l得2〃&<(2〃+1)](〃=0,±1,±2---),所以函數(shù)人sinx)的定義域

為

[2〃石(2”+1)川(〃=0,±1,±2---).

⑶/(x+a)(a>0);

解由00+七1得-a&Wl-a,所以函數(shù)/+a)的定義域為[-a,l-a].

(4)/(x+a)+/(x-a)(?>0).

解由0仝+a?l且(Kx-a41得：當時,aWl-a;當?時，無解.因此

當時函數(shù)的定義域為[a,1-a],當a>g時函數(shù)無意義.

1Ixkl

18.設(shè)/&)=(0!xLl,g(x)=",求力g(x)]和g[/(x)],并作出這兩個函數(shù)的圖

-1lxl>l

形.

1lexkl1x<0

解/[g(x)]=,0Ie*1=1,即/[g(x)]=，0x=0.

-1\ex\>l-1x>0

exIxkleIxkl

g[/(x)]=e"x)=\e01x1=1,即g[f(x)]=<11x1=1

e~xlxl>le~xlxl>l

19.已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角竹40。(圖1-37).當過水斷面ABCD

的面積為定值&)時，求濕周

L(L=AB+BC+CZ))與水深力之間的—An—

函數(shù)關(guān)系式，并指明其定義域.X--------------------1—三z-%

8

b

圖1-37

解AB=DC=—^,又從^[5C+(BC+2cot400-//)]=S0得

sin402

6C=%-cot40°d,所以

h

3+2-40%

hsin40

自變量h的取值范圍應由不等式組

h>0,學-cot404>0

確定，定義域為0</?<"S()cot40°.

20.收斂音機每臺售價為90元，成本為60元.廠方為鼓勵銷售商大量采購,

決定凡是"購量超過100臺以上的，每多訂購1臺，售價就降低1分，但最低價為

每臺75元.

(1)將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數(shù)；

(2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù)；

(3)某一商行訂購了1000臺，廠方可獲利潤多少？

解⑴當0幺W100時,p=90.

令0.01(x()—100)=90—75,得M)=1600.因此當眾1600時,p=75.

當100<r<1600時，

p=90—(x—100)x0.01=91—0.Olx.

綜合上述結(jié)果得到

'900<x<100

p=<91-0.0lx100<x<1600.

75x>1600

30x0<x<100

(2)P=(p-60)x=<31x-0.0U2100<x<1600.

I5xx>1600

(3)P=31xl000-0.01x100()2=2]ooo(元).

習題1-2

1.觀察一般項斯如下的數(shù)列｛x.｝的變化趨勢，寫出它們的極限:

⑴為得；

解當〃-00時，x.=/fO,lim^=0.

(2)xz?=(-l)"i;

n

解當〃-00時，/=(—lim(-l)fli=0.

nn->con

⑶X”=2+3；

n

解當〃—>8時，x〃=2+4■-?2,lim(2+4r)=2.

"一"Too

⑷蒼尸篇；

解當〃->00時，x=^-=\一一^7-0,iim^z4=l.

M+1〃+]n-?oo/i+l

(5)5(-1)”.

解當〃->8時,x”="(-l)"沒有極限.

cos等

設(shè)數(shù)列｛與｝的一般項招=..-.問求出使當〃時,與其

2.n〃li一m>8x”=?N,>NX"

極限之差的絕對值小于正數(shù)￡,當￡=0.001時，，求出數(shù)N.

解lim=0.

Icos-^l]1i

lx?-OI=——2_<-.V^>0,要使%—0l<￡,只要工<￡,也就是心L取

nnn￡

N=內(nèi)，

8

則V〃〉N,有l(wèi)x〃-OI<￡.

當f=0.001時，N=p]=1000.

￡

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:

(1)lim—=0;

分析要使0匕」<￡，只須〃2>L即〃>」.

nzn1￡Jg

證明因為VGO^NY[],當〃〉N時，有/—Oke,所以lim4=0.

n〃-?8相

(2)lim1l±l=!；

〃->oo2n+l2

分析要使?寺斗一目1=而二<：<￡，只須d<￡，即

2〃+122(2〃+1)4〃4/14s

證明因為VoO^Ng；],當〃>N時，有1科-4<￡,所以lim學斗=2.

4e2〃+122〃+12

(3)lim加+標=]；

n—>oon

分析要使|^￡_g^^^-〃=層<貯<￡,只須“〉犬.

nnn(y/n2+a2+n)n&

證明因為VQO「N=[Q],當W〃〉N時，有|J〃2+"2-ll<￡,所以

￡n

lim近三1.

n->oo〃

⑷lim0.999…9=1.

n->oo'v'

"個

分析要使只須/<￡,即〃>i+igL

10“T102-1￡

證明因為V￡>O,mN=[l+lg』，當V〃>N時,有10.99…9-11<￡,所以

￡

limO.999…9=1.

4.limw?=a,證明并舉例說明：如果數(shù)列｛lx“l(fā)｝有極限，但數(shù)列

n->co"T8

｛x.｝未必有極限.

證明因為〃所以當〃〉時,有心從而

〃l一im>8“=a,V￡>0,3NeN,N-ake,

\\un\-\a\\<\u,-a\<￡.

這就證明了limlw\4a\.

8

數(shù)列也/｝有極限，但數(shù)列數(shù)｝未必有極限.例如但不

lim8l(-〃l一i?m8(-1)"

存在.

設(shè)數(shù)列｛法｝有界，又證明：

5.〃一>li8my”=0,〃一>li8mx“%=0.

證明因為數(shù)列｛X"｝有界，所以存在M,使\/〃€乙有Ix/M.

又limy”=0,所以Vfi>0,^VwN,當〃〉N時，有l(wèi)%k芻.從而當〃〉N時，有

〃->00M

'%-Q\^xnyn\<M\yn\<M.言=￡,

所以limxy=0.

n—>oo

6.對于數(shù)列｛x”｝,若X2k-ifa(kfco),Mkfa(kfco),

證明：x?—>a(n—>oo).

證明因為X2k-iTa(kT8),X2kTa(k-8),所以VQO,

3K\,當2bl>2Ki-l時，^1X2k-i-a\<￡;

3K2,當兼>2a時，有IX2LQI<￡.

取N=max｛2K|-l,2K2｝,只要〃〉N,就有又一nice.

因此Xn->a(〃—^oo).

習題1-3

1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：

(l)lim(3x-l)=8;

彳73

分析因為

I(3x-l)-8l=l3x-9l=3lx-3l,

所以要使l(3x-l)-81<￡,只須"3%.

證明因為V￡>O,mb=<￡,當0<k-31<5吐有

l(3x—1)—81<￡,

所以lim(3x—l)=8.

Xf3

(2)lim(5x+2)=12;

x-?2

分析因為

l(5x+2)-12H5x-lOI=5N—21,

所以要使l(5x+2)-121<￡,只須x-2k%.

證明因為V￡>O,mS=%,當0<lx-21<5時，有

l(5x+2)—12l<￡,

所以lim(5x+2)=12.

(3)lim=-4;

x+2X+2

分析因為

I一—4

-(-4)|=|，:段|=lx+2Hx-(-2)l,

Ix+2'

所以要使|4)|<￡,只須lx—(-2)k￡.

證明因為V￡>O,ms=￡,當0<lx-(―2)1<5時，有

片臼落

所以lim^^=—4.

工―>一2X+2

分析因為

Ij^-2|=ll-2x-2l=2lx-(-l)l,

12x+l?2

所以要使I與暮-2|<￡,只須lx—(母亭.

證明因為V￡>o,四十,當04-（管⑹寸，有

1一4/oI

-2

2x+l1

所以lim且=2.

2x4-1

2

2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

1+x3_1.

(1)lim3

X—>002x-2,

分析因為

I14-X31|_|1+/一，3?[

?五廠5門2x3-21肝'

所以要使|1+X31乩只須志<￡'即出出

2

證明因為V￡>o,mx=霜，當Ld>X時，有

N2s

里-撲打

12x21

*A31

所以lim

XT82x32

⑵lim皂#=0.

XT+8y/x

分析因為

塞-葉Isinxl

所以要使|竽-0卜￡,只須—7=-<￡,,Bpx>—y.

y/x

證明因為“°TX=去當日時,有

|用-。|<￡,

1y/xI

所以lim牛=o.

Xf+sVx

3.當x->2時，y=f-4.問S等于多少，使當x—2I<3時,lyTkO.OOl?

解由于當xf2時,lx-2l—>0,故可設(shè)Ix-2I<1,即l<r<3.

要使

2

|X-4I=IX+2IIX-2I<5IX-2I<0.001,

只要lx—2l<^^=0.0002.

取應0.0002,則當0<lx—2l<b時，就有k2Tl<o.ooi.

4.當x->8時,尸笆131,問X等于多少,使當lxl>X時,1k11<0.01?

x'+3

解要使|24T|=Y~7<0.01,只要lx"息口=廝，故乂=屈7.

1x2+31x2+3V0.01

5.證明函數(shù)/(x)=lxl當xf0時極限為零.

證明因為

貝x)—Ol=lbd—Ol=bd=lx—01,

所以要使貝X)-0k￡,只須lxl<￡.

因為對VQ0「辰其使當0<lx-Okb,時有

貝)x-01=1聞一01<￡,

所以lim1x1=0.

x70

6.求/。)==e(x)=區(qū)當x-0時的左、右極限，并說明它們在xf0時的極

XX

限是否存在.

證明因為

lim/(x)=lim—=lim1=1,

xf0-x—>0~Xx—>0-

lim/(x)=lim—=lim1=1,

10+D+Xx-0+

lim/(x)=limf(x),

Xf0-10+

所以極限lim/(x)存在.

x->0

因為

lime(x)=lim—=lim—=-l,

XT。-X—>0-XXT?！猉

lim(p(x)=lim—=lim—=1,

10+XT0+XXfo+X

lim°(x)wlim(p(x),

1-o-x->0+

所以極限lim°(x)不存在.

x->0

7.證明：若Xf+8及Xf-8時，函數(shù)式X)的極限都存在且都等于4則

limf(x)=A.

j->00

證明因為limf(x)=A,limf(x)=A,所以VGO,

X—>-00Xf+8

mX|〉O,使當x<-X|時，有貝X)-AI<￡；

翅>0,使當x>X2時，有儀x)—Al<￡.

WX=max{X|,X2},則當Ld>X時,有次x)—Al<￡,即limf(x)=A.

X->QO

8.根據(jù)極限的定義證明：函數(shù)段)當xfxo時極限存在的充分必要條件是左

極限、右極限各自存在并且相等.

證明先證明必要性.設(shè)/(x)->A(x->x()),則V￡>o,m&O,使當0<k-x()l<5時,

有

貝)X—AI<￡.

因此當xo-Acao和xo<r<xo+b時都有

這說明犬x)當XfX0時左右極限都存在并且都等于A.

再證明充分性.設(shè)人的-。)寸5)+0)=4則V￡>o,

曾>0,使當刈-6|<￥。0吐有1段)-4<￡；

3心>0,使當x()<x<x()+<%時，有Ifix)-A\<￡.

取應min{bi,⑻，則當O<lx-xol<b時，有xo-^i<v<?o&xo<x<xo+&,從而有

\f(x)-A\<e,

即/(X)—>A(x—>xo).

9.試給出Xf8時函數(shù)極限的局部有界性的定理，并加以證明.

解Xf8時函數(shù)極限的局部有界性的定理：如果/)當％-8時的極限存在，則

存在X〉0及M>0,使當lxl>X時，1Ax)l<M.

證明設(shè)Ax)-A(x-8),則對于￡=l「X>0,當bd>X時，有貝X)—AI<￡=L所以

\J(x)\=y(x)-A+A\<^x)-A\+\A\<l+\A\.

這就是說存在X>0及M〉0,使當lxl〉X時,\f(x)\<M,其中M=\+\A\.

習題1-4

1.兩個無窮小的商是否一定是無窮?。颗e例說明之.

解不一定.

例如，當xf0時，a(x)=2x,"x)=3x都是無窮小，但lim架=/,嚶不是無

xfo伙x)3/(x)

窮小.

2.根據(jù)定義證明：

當x-3時為無窮小；

(2)y=xsin—當x-?0時為無窮小.

x

證明⑴當沖3時1>1=|[^口工一31.因為\/玲07是￡,當0<反一31Vb時，有

lyl=||士-31<6=￡,

所以當Xf3時尸E為無窮小.

（2）當今。時lyl=lxllsin』Mx-OI.因為%>0產(chǎn)。￡,當0<a-01<3時，有

X

lyHxllsin—l<lx-OI<^=￡,,

x

所以當%—>0時y=xsin—為無窮小.

x

3.根據(jù)定義證明：函數(shù)y=應為當xf0時的無窮大.問x應滿足什么條件,

x

能使1）”>1（）4?

證明分析1止|"|=|2+“2土-2,要使aM,只須92〉"，即

XXIXIIXI

1

lxl<

M+2

證明因為VM〉O,曲=7T二，使當0<lx-0l<b時，有|上生\>M,

M+2?x?

所以當x-0時，函數(shù)y=9是無窮大.

X

取M=l（）4,貝當O^X-Ok^^L^時,|），|〉1。4

1UI41V/I乙

4.求下列極限并說明理由：

xeX

1_2

（2）ii聯(lián)產(chǎn)T.

10l-x

解⑴因為2=2+L而當X->8時,是無窮小，所以lim2_=2.

XXXxeX

（2）因為;^=l+x（xwl）,而當x~M時x為無窮小，所以

l-xDi-x

5.根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義，填寫下表：

J（X）T8/(x)->+oo式X)T~8

VQO,三蘇0,使

X->%0當0<dx-x（）l<倒寸，

有恒如）-川<￡.

X—>%0+

X—>的

V6>0,3X>0,使當Ld>X時，

X—>8

有恒心)I>M.

X—>4-00

X—>-00

解

人0.00式X)f+00y(x)->-oo

WQOT&O,使T”>0「歷0,使VM>0,3^0,使VA/>0,m&>0,使

X-^Xo當0<lx-x（）l<環(huán)寸，當O<lx-xok刷，當O<k-xol?M,當0<lx-x（）l〈搦寸，

有恒！Ax）-川<￡.有恒風x）l>M.有恒有恒式x）<-

WGO「否0,使VM>0,3^0,使VM>0,3(^0,使VM>0,三蘇0,使

、+

x-^x（）當0<1-沏<加寸，當O<x-xo<<5n寸，當O<x-xo<^t,當O<x-xo〈溯寸，

有恒火X）—Ak￡.有恒火有恒/(x)〉M.有恒

VQO石金0,使VM〉O「蘇0,使VM〉0「&0,使V例>0凸尾0,使

xfx（）-當O<xo-寸，當0<￥0-冗<加寸，當0<X（）T<麗，當0<%（）-冗<加寸，

有恒［/（X）-Al<￡有恒心）卜M.有恒有恒/（x）v-M

\/Q07X>0,使Vi>0,3X>0,使V6>o,3X>0,使VQO「X〉O,使

X—>00當Ld>X時，有恒當lxl>X時，有恒當lxl>X時，有恒當lxl>X時,有恒

\fix)-A\<s.

VQO,WO,使VQO,mx>o,使"0,mX>0,使V￡>o,mx>o,使

x—>+oo當x〉X時，有恒當x〉X時，有恒當x〉X時，有恒當x〉X時，有恒

\f[x)-A\<￡.KX）〈-M.

x/6>o,mx>o,使VQO,mX>0,使V6>0「X>0,使V￡>o,mx〉o,使

X-^-00當x<-X時，有恒當x<-X時，有恒當無<-X時，有恒當x<-X時，有恒

\fix)-A\<￡.心）1>麻

6.函數(shù)y=xcosx在（f,+oo）內(nèi)是否有界？這個函數(shù)是否為當x->+oo時的無窮

大?為什么?

解函數(shù)y=xcosx在（-8,+oo）內(nèi)無界.

這是因為VM>0,在（-00,+00）內(nèi)總能找到這樣的工，使得1>。）1>”.例如

y（2k力=2k兀cos2km2k兀（k=0,1,2,…），

當k充分大時，就有Iy（2k沖〉M.

當xf+oo時，函數(shù)y=xcosx不是無窮大.

這是因為VM>0,找不到這樣一個時刻N,使對一切大于N的x,都有墳（x）l〉M.

例如

y（及%+］）=（狹］+/際（北萬+9=0/=0,1,2,…）,

對任何大的N,當女充分大時，總有x=2版'+5>N,但ly（x）l=O<M.

7.證明：函數(shù)y=Lin!在區(qū)間(0,1］上無界，但這函數(shù)不是當xf0+時的無窮

XX

大.

證明函數(shù)y=LinL在區(qū)間(0,1］上無界.這是因為

XX

VA/>0,在(0,1］中總可以找到點使例如當

xk=-------也=0,1,2,???)

2^+-

2

時，有

y?)=2火4+5，

當k充分大時,y(x*)>M.

當x-0+時，函數(shù)產(chǎn)Lin!不是無窮大.這是因為

XX

VM>0,對所有的企>0,總可以找到這樣的點A，使0<r*<a但例如可

取

4=(4=0,1,2,…)，

ZK7T

當k充分大時,Xk<6,但y(x?)=2Rzzsin2A；F=0<M.

習題1-5

1.計算下列極限:

⑴呵頭；

12X-3

22

解啊Xx-+35_2+5=-9.

2-3

丫2_o

⑵外鬲;

解㈣舄焉得孤

o\!,—2x+l

(z3)hm—5——

XTlXZ-1

解四f=四渭高=四號=3=0-

4%3-2/+工

⑷㈣

3x2+2x

1.4x3-2x2+x4x2-2x4-11

解11m--z--------=hmr——-——-——=—

io3x2+2xD3x+22

⑸%h

解lim(x+〃)__'L-lim^包:+比H2.=]im(2x+〃)=2x.

hfOhOfOhhrO

(6)lim(2--;

28xx

解lim(2--+-V)=2-lim-+lim\=2.

Z

XT8XXXf8XXT8

元2-1

(7)lim—------;

IS2X2-X-1

(8)lim/丁；i；

xfoo元—]

解1加告今=0(分子次數(shù)低于分母次數(shù)，極限為零).

Xf8尤—3片_1

1---,---1-1----

/13

或lim——二lim=0.

Xf8x4-3xz-\XT8i_A_±

zrx\1??/_6x+8

叫丁；

(9)1141/一57工—+4T

limx^-6x+8=lim(x-2)(x-4)=limx-2=^-2

xf412_5x+4x^4(X-l)(X-4)14%一14-13

(10)lim(l+l)(2—V);

18XX

(11)lim(l+H…

〃一＞824

解lim(l+^-+—4----1■--)=lim-----——-2.

"78、242,!”f811

1-2

(12)lim1+2+3+；+5-1)；

〃一>8幾2

(n-l)n

々力[.1+2+3++(〃—1)[.?11-九一11

角牛hm----------彳--——-=lim—《—hm------二g.

〃一>8幾ZH—>00幾Z2〃一>8n2

(13)lim(〃+l)("+乎+3)；

〃->85相

解Hm(竺1)("?(葉3)=!(分子與分母的次數(shù)相同，極限為

285〃5

最高次項系數(shù)之比).

或Hm(H+l)(n+2)(n+3)=1iim(i+l)(i+2)(1+2)=1

〃->85〃、’58nnn5

(14)1101(-^---^);

XT1\-X1一爐

解limM---')=liml+x+，-3,.limJ)”

Xfll-x1一爐XT1(l-x)(l+x+x2)4fl(l-x)(l+x+x2)

=-limx+21.

111+x+x，

2.計算下列極限:

⑴!喘凈;

解因為lim(「?：.=、=(),所以lim上筆=8.

1213+2121612。-2)2

比2

XT82X4-1

2

解iim〈y=8(因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)).

X->82x+l

(3)lim(2x3-x+l).

XT8

解limQ^-x+lAsl因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)).

XT8

3.計算下列極限：

(1)limx2sin—;

XTOx

解Iimx2si/=O(當x-0時,》2是無窮小，而sin^是有界變量).

x-?oxx

(2)lim膽也二

38X

解lim里也^=limLarctanx=O(當xfoo時，，是無窮小，

Xf8xXT8xx

而arctanx是有界變量).

4.證明本節(jié)定理3中的(2).

習題1-5

1.計算下列極限:

⑴呵頭；

.12X-3

解22+5=-9.

J^-2-3

⑵LW；

解%交

o\Vx?―2x+l

⑶Z.不廠

解四fd)2

=督比忒而=四含=3=0?

(4)lim4x3-2x2+x;

XTO3/+2x

32

解lim4x-2x+x=iim4^-2x+l=l

2

io3x+2xD3x+22

(x+h)2-x2,

⑸%h

此j(x+h)2-x2x2+2//x+/z2-x2

解lrim-----；----=lim=lim(2x+/i)=2x.

/?->0hh—>0hhrO

(6)lim(2--+-^-);

18xx

解lim(2—1+-V)=2-1汕1+1加4=2.

X->8XX2X-8XA^00XZ

r2-1

⑺lim

x->82xz-x-l

l-±

解lim―:I-=lim/I

X—>002x2-x-lXf8112,

乙0---------不

XX，

(8)lim

ISX4-3X2-1

2

解lim告受『0(分子次數(shù)低于分母次數(shù)，極限為零).

Xf8x^-3xz-l

j_2-_Lr

或螞苗3X1lim=0.

]32%__

聲一7

⑼媽M誓;

解理如=!吧容豺=!吧x1-2_一4~一2_丁2

(10)lim(l+l)(2-^);

XT8Xx

解lim(l+-)(2—V)=lim(l+-)-lim(2—V)=lx2=2.

XTCCXXT8XXT8XL

(11)lim(1+^+4-+???

>824

解lim(1+!+[+-??+—)=lim1=2.

zi—>oo242，n->oc

1-2

1+2+3H----F(n-1).

(12)lim

n->con2

(〃一1)〃

hnr1+2+3+???+(〃—1)[.21i-n—\1

角牛lim--------5--——-=lim—%—二支hm--二々.

〃一>8及/H—>00及/2〃一>8H2

(13)lim正如畢葉；

解]jm(〃+1)([+乎+3)耳(分子與分母的次數(shù)相同，極限為

5〃5

最高次項系數(shù)之比).

或lim(?+1)(/?+2)(/?+3)=1iim(i+l)(l+2)(1+3)=1

858nnn5

(14)lim(-4--

Xfll-x1-x3

解linj(]1-3.lim-2),

Xfl(l-x)(l+x+x2)

=-limx+2=_].

Xf1l+x+xz

2.計算下列極限：

⑴媽告條;

解因為媽痣=上肛所以:吧評=8.

(2)lim六1

x-82x4-1

2

解lim盧7=8(因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)).

282x4-1

(3)lim(2x3-x+l).

X->00

解limQx3-x+l）=8（因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)）.

Xf8

3.計算下列極限：

（l）limx2sin-;

10X

解lim/sinL。（當x->0時,/是無窮小，而sin^是有界變量）.

x->0XX

⑵lim三強

X->8X

解lim現(xiàn)以衛(wèi)史=limLarctanx=O(當xfoo時，是無窮小,

XT8xXT8xx

而arctanx是有界變量).

4.證明本節(jié)定理3中的(2).

習題1-7

23

1.當xf0時,2x-f與x-x相比，哪一個是高階無窮小？

232

解因為limlvfim守=0,

A->O2X-X2IO2-x

所以當x