專(zhuān)題16 等差數(shù)列“函數(shù)性質(zhì)”及綜合應(yīng)用-【巔峰課堂】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）（解析版）

專(zhuān)題16等差數(shù)列“函數(shù)性質(zhì)”及綜合應(yīng)用目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】等差數(shù)列前n項(xiàng)和對(duì)稱(chēng)性 1【題型二】通項(xiàng)公式線性（零點(diǎn)正負(fù)） 3【題型三】等差數(shù)列不等式范圍 4【題型四】最值與范圍1：通項(xiàng)最值 6【題型五】最值與范圍2：前n項(xiàng)和最值 8【題型六】求和應(yīng)用1：正負(fù)相間求和 10【題型七】求和應(yīng)用2：奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和 11【題型八】求和應(yīng)用3：絕對(duì)值型和 13【題型九】求和應(yīng)用4：取整函數(shù)型數(shù)列 15【題型十】求和應(yīng)用5：等差裂項(xiàng)相消型 17【題型十一】求和應(yīng)用6：無(wú)理等差型 19【題型十二】數(shù)列中函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用 20【題型十三】等差數(shù)列與三角函數(shù) 22培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練 24培優(yōu)第二階——能力提升練 27培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 30【題型一】等差數(shù)列前n項(xiàng)和對(duì)稱(chēng)性【典例分析】在各項(xiàng)不全為零的等差數(shù)列中，是其前n項(xiàng)和，且，，則正整數(shù)k＝（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征，即可根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為，則，所以可看成關(guān)于n的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及，，可得，解得k＝2022．故選：C【提分秘籍】基本規(guī)律．等差數(shù)列與函數(shù)關(guān)系：(1)經(jīng)整理an＝dn＋(a1－d)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列?通項(xiàng)an為一次函數(shù)：即an＝kn＋b(a、b為常數(shù))；(2)經(jīng)整理Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn為無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)：即Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))．【變式訓(xùn)練】1.已知遞減的等差數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和取最大值時(shí)n=（

）A．4或5 B．5或6 C．4 D．5【答案】A【解析】由，可得，從而得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值即可【詳解】解：設(shè)遞減的等差數(shù)列的公差為（），因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，對(duì)稱(chēng)軸為，因?yàn)?，，所以?dāng)或時(shí)，取最大值，故選：A2.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則取最大值時(shí)的值為（

）A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可解出值為－2，從而可知數(shù)列前11項(xiàng)為正；第12項(xiàng)為0；從第13項(xiàng)起，各項(xiàng)為負(fù)，所以取得最大值時(shí)n的值可確定.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，即，又，所以，所以，令，可得，所以數(shù)列滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以取得最大值時(shí)，的取值為11或12.3.已知等差數(shù)列中，，且公差，則其前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意判斷出，即可得到答案.【詳解】由等差數(shù)列的公差，知，，所以，故，則數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為.故選：B【題型二】通項(xiàng)公式線性（零點(diǎn)正負(fù)）【典例分析】在等差數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，，，則無(wú)法判斷正負(fù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列，，，可以求出，且，，，從而判斷出，，的正負(fù)，選出正確答案.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，可知：，且，，所以，從而，不確定正負(fù)，，。故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列通項(xiàng)公式an為一次函數(shù)：即an＝kn＋b(a、b為常數(shù))，具有直線性質(zhì)，當(dāng)k即公差d不為零時(shí)，具有單調(diào)性，且首項(xiàng)的正負(fù)，還決定是否有“零點(diǎn)?！?，即正負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)【變式訓(xùn)練】1.數(shù)列中，已知，該數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)積為負(fù)數(shù)的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而求出即可求解【詳解】由題意得，解得，又，∴，∴滿(mǎn)足條件的相鄰兩項(xiàng)為，．故選：C2.首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程求解即可【詳解】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，∵從第10項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，∴，解得，∴公差的取值范圍是，故選：D.3.數(shù)列{}中，則該數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)乘積為負(fù)數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合等差數(shù)列的知識(shí)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而判斷出正確答案.【詳解】依題意，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，由得，所以。故選：C【題型三】等差數(shù)列不等式范圍【典例分析】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為．已知，，，則選項(xiàng)不正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為第項(xiàng) B．C． D．時(shí)，的最大值為【答案】D【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式依次分析選項(xiàng)，綜合即可得出答案．【詳解】解：由題意，又，所以，故選項(xiàng)正確；由，且，，，得，解得，選項(xiàng)正確；由題意當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，故時(shí)，的最大值為10，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于，數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列中最小的項(xiàng)為第6項(xiàng)，選項(xiàng)正確．故選：．【提分秘籍】基本規(guī)律等差女?dāng)?shù)列關(guān)于首項(xiàng)和公差的等式或者不等式（不定方程），會(huì)涉及到范圍的取值，大多數(shù)情況下，其不等式組是老教材“線性規(guī)劃”的應(yīng)用，只是改成了解不等式組而已?！咀兪接?xùn)練】1.的前n項(xiàng)和為，若是公差為d（）的等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，對(duì)于AB，令，可得，即，由于正負(fù)不確定，無(wú)法比較大?。粚?duì)于CD，令，可得，即，令，可得，即，作差法比較，進(jìn)而得到選項(xiàng).【詳解】是公差為d（）的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為。，即對(duì)于AB，當(dāng)時(shí)，，整理得：，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故AB錯(cuò)誤；對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，，整理得：，又，，當(dāng)時(shí)，，整理得：，即，顯然為減函數(shù)，且，又，，即，故D正確；故選：D2.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，再根據(jù)立方和公式可得進(jìn)而求得，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)結(jié)合一正一負(fù)判斷即可.【詳解】，，，設(shè)，則，化為，，，，又說(shuō)明一正一負(fù)，而，，說(shuō)明，。故選：D.3.．設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足，若是等差數(shù)列.則的取值范圍是___________.【答案】【分析】作出函數(shù)圖象，討論的范圍，根據(jù)，再討論公差的范圍，判斷是否滿(mǎn)足等差數(shù)列，得出答案.【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象如如圖所示.當(dāng)時(shí)，，，…數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為-4的等差數(shù)列，符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，若其公差，則，使得，這與矛盾；若其公差，則，解得或.則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列.當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，此時(shí)為等差數(shù)列，符合題意；若其公差，則，使得且，則等差數(shù)列的公差必為-4，因此，∴，解得(舍去)或.又當(dāng)時(shí)，這與是等差數(shù)列矛盾.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題，關(guān)鍵在于運(yùn)用函數(shù)的圖象，值域，以及等差數(shù)列的定義及性質(zhì)，討論首項(xiàng)，公差的范圍，問(wèn)題得以解決.【題型四】最值與范圍1：通項(xiàng)最值【典例分析】數(shù)列滿(mǎn)足，，且對(duì)任意正整數(shù)，有，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造法求的通項(xiàng)公式，再用累加法求出的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由得，，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以，對(duì)稱(chēng)軸，所以當(dāng)或8時(shí)，有最小值為.故選:D.【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列或者等差數(shù)列前n項(xiàng)和通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化求最值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值與范圍，要注意對(duì)應(yīng)的自變量是正整數(shù)n，所以多把自變量限制在正實(shí)數(shù)或者[1,+）內(nèi)【變式訓(xùn)練】1.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*.若S12>0，S13<0，則數(shù)列{|an|}的最小項(xiàng)是（

）A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)C．第12項(xiàng) D．第13項(xiàng)【答案】B【分析】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可得a6＋a7>0，a7<0，從而可得a6>0，根據(jù)公差d<0即可得出答案.【詳解】由題意S12>0，S13<0及S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)，S13＝13a7，得a6＋a7>0，a7<0，所以a6>0，a6>|a7|，且公差d<0，所以|a7|最小.故選：B2.已知函數(shù)．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，則的最大值為（

）A．9 B．12 C．20 D．【答案】C【分析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，為負(fù)數(shù)且最小或?yàn)檎龜?shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，當(dāng)是公差為2的等差數(shù)列，且時(shí)，最小，最大，此時(shí)，所以，此時(shí)；當(dāng)且是公差為2的等差數(shù)列時(shí)，最大，最大，此時(shí)，所以，此時(shí)綜上：的最大值為20。故選：C3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，.記，則數(shù)列的（

）A．最小項(xiàng)為 B．最大項(xiàng)為 C．最小項(xiàng)為 D．最大項(xiàng)為【答案】C【分析】根據(jù)題意求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，得到，結(jié)合，可排除A、D，再求得數(shù)列的單調(diào)性，得到B不正確，C正確.【詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，可得，所以，，則，可得，所以，可排除A、D；設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間和上都是單調(diào)遞增函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列也為遞增數(shù)列，其中，例如當(dāng)時(shí)，可得，所以B不正確，C正確.故選：C.【題型五】最值與范圍2：前n項(xiàng)和最值【典例分析】已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，是和的等比中項(xiàng)，則（

）A．有最大值9 B．有最大值25 C．沒(méi)有最小值 D．有最小值-24【答案】D【解析】根據(jù)條件列出方程組求出首項(xiàng)與公差，由求和公式與通項(xiàng)公式得出，求最值【詳解】設(shè)公差為d，則有，解得：，.則，可令，可得，則，當(dāng)，，；當(dāng)，，，可得在到遞增；當(dāng)，，，，，，，可得在遞增，則有最小值，而無(wú)最大值，故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可得，通過(guò)令換元可轉(zhuǎn)化為，考查函數(shù)的單調(diào)性，注意，求函數(shù)最值，屬于中檔題.【提分秘籍】基本規(guī)律與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的最值，大致有以下：1.Sn為無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)：即Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))．涉及到最值即可從二次函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)軸來(lái)求解。2.涉及到等差數(shù)列首項(xiàng)和公差異號(hào)，則可以從正（或者負(fù)項(xiàng)）和最大（?。┤胧帧＂?當(dāng)a1>0，d<0且滿(mǎn)足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))時(shí)，Sm最大；Ⅱ.當(dāng)a1<0，d>0且滿(mǎn)足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))時(shí)，Sm最小.3.涉及到與1/n有關(guān)，可以從構(gòu)造對(duì)鉤函數(shù)，雙曲函數(shù)等構(gòu)造函數(shù)入手。.【變式訓(xùn)練】1.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【答案】B【解析】根據(jù)題意計(jì)算，，，計(jì)算，，，得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，故，，，，故，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，故前項(xiàng)和最大.故選：.2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且，.設(shè)，則當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時(shí),的值為A．23 B．25 C．23或24 D．23或25【答案】D【分析】先依據(jù)條件知等差數(shù)列的前25項(xiàng)為正數(shù)，從第26項(xiàng)起各項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，所以可以判斷的前23項(xiàng)為正數(shù)，為負(fù)數(shù)，為正數(shù)，從第27項(xiàng)起各項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，而，故的前項(xiàng)和取得最大值時(shí)，的值為23或25．【詳解】，等差數(shù)列的公差，且則，且，由，知的前23項(xiàng)為正數(shù)，為負(fù)數(shù)，為正數(shù)，從第27項(xiàng)起各項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，而與是絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，相加為零，，之后越來(lái)越小，所以數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時(shí),的值為，故選D.3.已知數(shù)列滿(mǎn)足，若不等式恒成立，則的最大值為A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)已知判斷出為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)不等式，根據(jù)一元二次不等式有解，判別式大于或等于零列不等式，由此求得的最大值.【詳解】由于，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，故，即，此不等式有解，其對(duì)應(yīng)一元二次方程的判別式，即，，解得，故的最大值為.【題型六】求和應(yīng)用1：正負(fù)相間求和【典例分析】數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的前60項(xiàng)和等于（

）A．1830 B．1820 C．1810 D．1800【答案】D【分析】當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，可推出，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，可推出，將該數(shù)列的前項(xiàng)和表示為，結(jié)合前面的規(guī)律可計(jì)算出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，由題意可得，，兩式相加得；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，由題意可得，，兩式相減得.因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律形如，多可以通過(guò)奇偶取，再二次消去，得到奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)累加法（或者跳項(xiàng)等差等比數(shù)列）的通項(xiàng)公式【變式訓(xùn)練】1.數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的前48項(xiàng)和為（

）A．1006 B．1176 C．1228 D．2368【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知，分別列出各項(xiàng)，再整理得出，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項(xiàng)之和為2，相鄰的偶數(shù)項(xiàng)之和為等差數(shù)列，首項(xiàng)為8，公差為16，利用分組求和法，即可求出的前48項(xiàng)和.【詳解】解：由題可知，，即：，則有：，，，，，，，，，，.所以，，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項(xiàng)之和為2，相鄰的偶數(shù)項(xiàng)之和為等差數(shù)列，首項(xiàng)為8，公差為16，設(shè)數(shù)列的前48項(xiàng)和為，則，，所以數(shù)列的前48項(xiàng)和為：1176.故選：B.2.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，且，則的值為（

）A．5050 B．2600 C．2550 D．2450【答案】B【分析】討論為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列通項(xiàng)，根據(jù)奇偶數(shù)項(xiàng)分組求和，即可求的值.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列，即常數(shù)列.則.故選：B.3.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．351 B．353 C．531 D．533【答案】B【分析】根據(jù)題意討論的奇偶，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得，按等差數(shù)列理解處理，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得，按并項(xiàng)求和理解出來(lái)，則按奇偶分組求和分別理解處理．【詳解】依題意，，顯然，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有，即有，，…，，令，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，故；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有，即，，…，，于是，，故選：B．【題型七】求和應(yīng)用2：奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和【典例分析】含項(xiàng)的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，則，，，．故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律含項(xiàng)的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為．【變式訓(xùn)練】1.一個(gè)等差數(shù)列共有2n+1項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為512，偶數(shù)項(xiàng)的和為480，則中間項(xiàng)的值為（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，對(duì)奇數(shù)項(xiàng)的和、偶數(shù)項(xiàng)的和列式.通過(guò)等差數(shù)列的性質(zhì)，都轉(zhuǎn)化為的形式，然后兩式相減，可得到的值.【詳解】中間項(xiàng)為.因?yàn)椋?，所?故選C.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列中第__________項(xiàng)最?。敬鸢浮?【詳解】分析：由題可得到數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．可得數(shù)列滿(mǎn)足利用累加求和方法即可得出．可得，利用不等式的性質(zhì)即可得出．詳解：由題時(shí)，化為時(shí)，，解得∴數(shù)列a1=1，a2=2的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差都為2，．進(jìn)而得到數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足時(shí)，時(shí)也成立．則數(shù)列中第4項(xiàng)最?。创鸢笧?.3..已知數(shù)列、，，，其前項(xiàng)和分別為，，記最接近的整數(shù)為，則______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件利用裂項(xiàng)相消法求出，探討值的范圍，確定的表達(dá)式即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，則，即有，從而有，因此，，若，則，若，則，，所以.故答案為：2550【題型八】求和應(yīng)用3：絕對(duì)值型和【典例分析】已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，則的最大值為（

）A．18 B．16 C．12 D．8【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)分析題中數(shù)列變化規(guī)律，計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】不為常數(shù)列，且數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)為則，一定存在正整數(shù)k使得或不妨設(shè)，即，從而得，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，，且，，同理即，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，。所以n的最大值為12，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤故選：C.【變式訓(xùn)練】1.等差數(shù)列，滿(mǎn)足，則（）A．的最大值為50 B．的最小值為50C．的最大值為51 D．的最小值為51【答案】A【分析】首先數(shù)列中的項(xiàng)一定滿(mǎn)足既有正項(xiàng)，又有負(fù)項(xiàng)，不妨設(shè)，由此判斷出數(shù)列為偶數(shù)項(xiàng)，利用配湊法和關(guān)系式的變換求出的最大值.【詳解】為等差數(shù)列，則使，所以數(shù)列中的項(xiàng)一定有正有負(fù)，不妨設(shè)，因?yàn)闉槎ㄖ担试O(shè)，且，解得.若且，則，同理若，則.所以，所以數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，所以，由于，所以，解得，故，故選A.2.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，則正整數(shù)的最大值為_(kāi)_______【答案】62【分析】設(shè)，等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，則，且，即，根據(jù)，得到即有，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得，從而得出，即可求解.【詳解】解：由題意知：等差數(shù)列滿(mǎn)足，故等差數(shù)列不是常數(shù)列，且中的項(xiàng)一定滿(mǎn)足或，且項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)，等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，則，且，即，由，則，即，即有，則，可得，解得，即有的最大值為，的最大值為.故答案為：.3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，則其前項(xiàng)的和為_(kāi)_____.【答案】【分析】利用分組求和直接計(jì)算.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：.【題型九】求和應(yīng)用4：取整函數(shù)型數(shù)列【典例分析】．為不超過(guò)x的最大整數(shù)，設(shè)為函數(shù)，的值域中所有元素的個(gè)數(shù).若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題意求出，進(jìn)而用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，故，即，當(dāng)時(shí)，，，，故，即，當(dāng)時(shí)，，，，故，即，以此類(lèi)推，當(dāng)，時(shí)，，，故可以取的個(gè)數(shù)為，即，當(dāng)n=1時(shí)也滿(mǎn)足上式，故，所以，，所以.故選：D【變式訓(xùn)練】1.正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（

）其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù).A．18 B．17 C．19 D．20【答案】A【分析】討論、，根據(jù)關(guān)系可得且，應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，利用放縮法有，注意不等式右側(cè)，進(jìn)而根據(jù)的定義求目標(biāo)式的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，整理得，又，故，當(dāng)時(shí)，，可得，而，所以是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，則，又，故，由，即，同理可得且，，，綜上，.故選：A2.若表示不超過(guò)的最大整數(shù)（例如：），數(shù)列滿(mǎn)足：，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由遞推公式利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由可得，再利用等差數(shù)列求和公式求和即可.【詳解】，，，，，，累加可得，又，，，，.故選：A3.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，記表示不超過(guò)的最大整數(shù)，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則使得成立的的最小值為（

）A．1179 B．1178 C．2019 D．2018【答案】B【分析】利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式，以2019的整數(shù)倍數(shù)作為分類(lèi)依據(jù)求出部分的值，可得，由即可得解.【詳解】因?yàn)棰?，令得，．又②，①式減②式可得，整理得，根據(jù)可知，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，．，當(dāng)且時(shí)，，；當(dāng)且時(shí)，，；當(dāng)且時(shí)，，.，，所以使成立的的最小值為1178.故選B．【題型十】求和應(yīng)用5：等差裂項(xiàng)相消型【典例分析】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】.【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，再利用裂項(xiàng)求和法求得，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為，即，利用基本不等式求得不等式右邊的最小值即可，另外要注意.【詳解】依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，故，則，又，故，故，故，則，所以，所以，所以，因?yàn)?，即，顯然，所以恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故.所以，即.故答案為：.【提分秘籍】基本規(guī)律常用的數(shù)列裂項(xiàng)公式有：①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)； ②eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))； ③eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)；④eq\f(2n,2n－12n＋1－1)＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1－1)； ⑤eq\f(n＋1,n2n＋22)＝eq\f(1,4)×eq\f((n+2)2－n2,n2(n+2)2)＝eq\f(1,4)×[eq\f(1,(n+2)2)－eq\f(1,n2)]【變式訓(xùn)練】1..等差數(shù)列中，，它的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，再利用裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】∵等差數(shù)列中，，它的前項(xiàng)和，，解得，，，．故選：A．2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，為整數(shù)，且，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出等差數(shù)列的公差，可得其通項(xiàng)公式，繼而得表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，，解得,為整數(shù)，，，，數(shù)列的前9項(xiàng)和為,故選：B3.在等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和滿(mǎn)足，，2，…，則_____________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得，利用裂項(xiàng)求和法求得所求表達(dá)式的值.【詳解】依題意，，所以，所以，所以，所以.故答案為：【題型十一】求和應(yīng)用6：無(wú)理等差型【典例分析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則的值為_(kāi)_________.【答案】【分析】先分析的性質(zhì)，再由直線方程轉(zhuǎn)化出的表達(dá)式，進(jìn)而求出的前n項(xiàng)和．【詳解】由可得，，為等差數(shù)列，，為等差數(shù)列，，又，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，=，=【提分秘籍】基本規(guī)律無(wú)理型多以分子有理化，以及分母有理化為主要轉(zhuǎn)化方向：eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)；【變式訓(xùn)練】1.數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意，利用裂項(xiàng)相法求和即可；【詳解】解：記的前項(xiàng)和為，則；故選：B2.等差數(shù)列中，，設(shè)，則數(shù)列的前61項(xiàng)和為（

）A． B．7 C． D．8【答案】C【分析】首先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到，利用裂項(xiàng)相消法求和即可；【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列滿(mǎn)足，所以，所以，所以，令數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以．故選：C．【題型十二】數(shù)列中函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用【典例分析】已知數(shù)列滿(mǎn)足，，是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，則__________．【答案】【分析】先判斷，，可得，相加得到，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】是遞增數(shù)列，，，，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴，解得：或0，∵是遞增數(shù)列，∴，∴，∴成立，由是遞減數(shù)列，，同理可得，，，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故.故答案為：.11.【變式訓(xùn)練】1.已知數(shù)列為遞增數(shù)列，前項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可求，要使為遞增數(shù)列只需滿(mǎn)足即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故為遞增數(shù)列只需滿(mǎn)足，即故選：B2.下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題其中的真命題為A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)．遞增，p1真．a(chǎn)n＋3nd＝4dn＋(a1－d)遞增，p4為真命題．若{an}的首項(xiàng)a1＝－3，d＝1，則an＝n－4，此時(shí)nan＝n2－4n不單調(diào)，則p2為假命題．若等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＝n，則＝1為常數(shù)，p3錯(cuò)．因此p1，p4正確；p2，p3錯(cuò)誤．3.設(shè)函數(shù)，，（，n≥2）．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】##8.2【分析】由題設(shè)，討論n的奇偶性求的通項(xiàng)公式，再確定的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)確定其最小值.【詳解】由題設(shè)，，所以，即且n≥2，則，故，又在遞減，在遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，顯然，綜上，的最小值為.故答案為：【題型十三】等差數(shù)列與三角函數(shù)【典例分析】數(shù)列滿(mǎn)足，，則數(shù)列的前80項(xiàng)和為（

）A．1640 B．1680 C．2100 D．2120【答案】A【分析】利用周期性以及等差數(shù)列進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)榈闹芷跒?，所以的周期?又，，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.又，所以，，，于是得到，同理可求出，…，設(shè)，則數(shù)列是以6為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前80項(xiàng)和為數(shù)列的前20項(xiàng)和.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律借助三角函數(shù)的周期性，特別是正余弦函數(shù)角度是相間角時(shí)，為特殊的周期數(shù)列【變式訓(xùn)練】1.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，記，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C．200 D．400【答案】C【分析】利用關(guān)系及等差數(shù)列的定義求的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性并討論，求得，即可求.【詳解】由題設(shè)，則，所以，又為正項(xiàng)數(shù)列，則，由，可得，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，故，當(dāng)且，；當(dāng)且，；當(dāng)且，；當(dāng)且，；則，由.故選：C2..已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，且，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則A．1 B． C． D．-1【答案】C【分析】由題設(shè)條件以及等差數(shù)列的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，利用誘導(dǎo)公式求出，即可求得.【詳解】，，數(shù)列是等差數(shù)列，公差與首項(xiàng)都為1，，，，，，，，.故選：C3.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B．20 C．25 D．100【答案】C【解析】根據(jù)的形式，可以利用三角代換的方法，令，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后利用輔助角求出最大值即可.【詳解】因?yàn)?，所以令，因此公差，，因此有，其中，因?yàn)?，所以的最大值?5.故選：C分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，第k項(xiàng)滿(mǎn)足５＜＜８，則k=A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】先利用公式an求出an，再由第k項(xiàng)滿(mǎn)足5＜ak＜8，求出k．【詳解】解：an∵n＝1時(shí)適合an＝2n﹣10，∴an＝2n﹣10．∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8，∴k＜9，又∵k∈N+，∴k＝8，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要注意公式an的合理運(yùn)用．2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【詳解】分析：條件已提供了首項(xiàng)，故用“a1，d”法，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)解得．解答：解：設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，所以Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以當(dāng)n=6時(shí)，Sn取最小值．故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查二次函數(shù)最值的求法及計(jì)算能力．3．已知，，則，的等差中項(xiàng)為A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知，的等差中項(xiàng)為，代入即可求解【詳解】解：由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知，的等差中項(xiàng)為故選：A．4．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（

）．A． B．C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【答案】C【分析】依題意可得，即可得到數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，即可判斷.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，故A、B錯(cuò)誤；因?yàn)椋詳?shù)列是等差數(shù)列，故C正確；顯然數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，若，則，則不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤；故選：C5．首項(xiàng)為的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列式求解作答.【詳解】依題意，令該等差數(shù)列為，則有，因數(shù)列從第10項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，因此，即，解得：，所以公差d的取值范圍是.故選：D6．已知等差數(shù)列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則()A．S5>S6 B．S5<S6C．S6=0 D．S5=S6【答案】D【詳解】∵d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0，且a3＋a9＝0，∴a6＝0，a5>0，a7<0，∴S5＝S6.7．若數(shù)列滿(mǎn)足：，而數(shù)列的前項(xiàng)和最大時(shí)，的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】方法一：∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為19，公差為-3的等差數(shù)列．則．所以時(shí)，取最大值．選B．方法二：∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為19，公差為-3的等差數(shù)列．∴，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以時(shí)，取最大值．選B．點(diǎn)睛：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的常用方法：①利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；②利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；③將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(A、B為常數(shù))看作關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．8．已知等差數(shù)列中，是它的前項(xiàng)和．若且，則當(dāng)最大時(shí)的值為()A．8 B．9 C．10 D．16【答案】A【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及下標(biāo)和的性質(zhì)可得、，進(jìn)而有、，根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性即可確定最大時(shí)的值.【詳解】由題設(shè)，，即，同理，可得，即，所以．所以，當(dāng)時(shí)取最大值．故選：A．9．等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則的值是A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，，又，，所以，，故選A．考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．10．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，且它們的前n項(xiàng)和為有最大值，則使得的的最小值為A．11 B．19 C．20 D．21【答案】C【分析】方法一：先列出關(guān)于的不等式組，求出的取值范圍，進(jìn)而求出使得的的最小值方法二：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式與性質(zhì)，分析得到，，結(jié)合分析即可【詳解】方法一：由題意知，由，得.因?yàn)?，由得或，因?yàn)?，故使得的的最小值?0.方法二：由題意知，由知，由知，由知，故使得的的最小值為20.故選：C培優(yōu)第二階——能力提升練1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，且它們的前n項(xiàng)和為有最大值，則使得的的最小值為A．11 B．19 C．20 D．21【答案】C【分析】方法一：先列出關(guān)于的不等式組，求出的取值范圍，進(jìn)而求出使得的的最小值方法二：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式與性質(zhì)，分析得到，，結(jié)合分析即可【詳解】方法一：由題意知，由，得.因?yàn)?，由得或，因?yàn)椋适沟玫牡淖钚≈禐?0.方法二：由題意知，由知，由知，由知，故使得的的最小值為20.故選：C2．已知等差數(shù)列的公差，若，則該數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：，又，，所以，所以，所以，故前或項(xiàng)的和最大，.考點(diǎn)：等差數(shù)列.3．已知等差數(shù)列中，，公差，則使前項(xiàng)和取最大的正整數(shù)是（

）A．或 B．或 C．或 D．不存在【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知條件求得，結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】由可得，所以，，，則，故數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)或時(shí)，取最大值.故選：B.4．已知實(shí)數(shù)a，，a，b的等差中項(xiàng)為，設(shè)，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】試題分析：由題意得，．最小值為5考點(diǎn)：1．等差中項(xiàng)；2．均值不等式求最值5．在等差數(shù)列{an}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則使Sn＞0的n的最小值為A．10 B．11 C．20 D．21【答案】C【詳解】試題分析：由題意可得：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S20=＞0，S19=19?a10＜0，所以使Sn＞0的n的最小值為20．解：由題意可得：因?yàn)閍10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S20=＞0，S19=19?a10＜0，所以使Sn＞0的n的最小值為20．故選C．6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且，.記，如果存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，都成立.則M的最小值是_______【答案】2【詳解】分析;先根據(jù)求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而數(shù)列的前項(xiàng)和可得．進(jìn)而代入根據(jù)的范圍確定的范圍．詳解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，解得．可解得，若對(duì)一切正整數(shù)恒成立，則只需的最大值即可．又∴只需.即的最小值是2．．點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7．等差數(shù)列中，是它的前項(xiàng)之和，且，，則：①數(shù)列的公差；②一定小于；③是各項(xiàng)中最大的一項(xiàng)；④一定是中的最大值．其中正確的是______________（填入你認(rèn)為正確的所有序號(hào)）．【答案】①②④【分析】試題分析：根據(jù)，,可知,則等差數(shù)列是遞減數(shù)列,所以并且等差數(shù)列從第8項(xiàng)起為負(fù)數(shù)．所以①④正確,③錯(cuò)誤;因?yàn)?所以②正確．考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)．8．記等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)原點(diǎn)O），則S200＝_________.【答案】【詳解】試題分析：依題意，，故.考點(diǎn)：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及共線向量定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解答本題時(shí)部分考生找不到解題思路，根本原因是對(duì)題目條件的挖掘不夠，“且三點(diǎn)共線”，由共線向量定理的推論可知，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出的值.9．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，則____________．【答案】【詳解】試題分析：，為等差數(shù)列，，公差，由得，，.所以答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、求數(shù)列的前項(xiàng)和．【思路點(diǎn)睛】由數(shù)列的通項(xiàng)為可知為等差數(shù)列，先求出首項(xiàng)和公差，欲求的值需先判斷數(shù)列中哪些項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)，哪些為正項(xiàng)，由得，，可知數(shù)列的前三項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)，從而去掉絕對(duì)值，再用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和.本題主要考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，去絕對(duì)值是求和的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則的取值范圍是________.【答案】【分析】記，表示成首項(xiàng)和公差后可解的x、y，然后可得所求.【詳解】∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，首項(xiàng)為，記S9＝9a1＋36d＝x(a1＋2d)＋y(a1＋5d)，所以，解得x＝3，y＝6.因?yàn)椋?＜3a3＜3，0＜6a6＜18，所以即－3＜S9＜21.故答案為：培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，(且)，等比數(shù)列公比，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.【答案】【分析】由遞推關(guān)系可得，解方程即可求出，代入遞推關(guān)系式可得，證明數(shù)列為等差數(shù)列，即可求解，根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】因?yàn)椋?且)，①當(dāng)時(shí)，，即，由等比數(shù)列的的公比為，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即，解得，又(，且)，②①-②可得，，即，化為，又，所以為等差數(shù)列，且公差，則，所以，，上面兩式相減可得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由遞推關(guān)系式可得出，再由遞推關(guān)系式得出為等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵，求出后利用錯(cuò)位相減法求和，屬于難題.2．已知一組雙曲線，設(shè)直線與在第一象限的交點(diǎn)為，點(diǎn)在的兩條漸近線上的射影分別為點(diǎn)，記的面積為則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為_(kāi)_________．【答案】230【解析】根據(jù)題意表示出的面積，即可求出的前20項(xiàng)的和.【詳解】解：設(shè)，由題意知：，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在的兩條漸近線上的射影分別為點(diǎn)，，不妨設(shè)點(diǎn)在直線上，在直線上，，，由兩條漸近線相互垂直，可得，的面積為：，數(shù)列的前20項(xiàng)的和為：．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是讀懂題意，利用題意表示出的面積.3．已知數(shù)列和滿(mǎn)足，，，.則＝_______.【答案】【解析】求出，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，求出，進(jìn)一步推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出和，由此可求得結(jié)果.【詳解】，，且，，則，由可得，代入可得，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，在等式兩邊同時(shí)除以可得，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，所以，，，則，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】數(shù)列的遞推關(guān)